Aksjimat
bezendu:
Udowodni, że dla a,b∊R zachodzi nierówność
5a2+4a−2ab+b2+2>0
4a2+a2+4a−2ab+b2+2>0
(a−b)2+4a2+4a+2>0
(a−b)2+4a(a+1)+2>0
czy to jest poprawnie rozwiązane ?
(jeśli nie proszę o jakąś wskazówkę, nie chcę rozwiązania )
8 lip 22:17
Saizou : ja bym pokazał za pomocą delty że 4a2+4a+2 przyjmuje tylko wartości dodatnie
8 lip 22:32
Mila: 4a2+4a+2 to przedstaw inaczej.
8 lip 22:34
bezendu:
(a−b)2+(2a+1)2+1>0
Mila o to chodziło ?
w zbiorze nie ma odpowiedz niestety..
8 lip 22:37
Mila: Tak.
8 lip 22:42
bezendu: i to jest koniec zdania ? nie trzeba pisać żadnego komentarza ?
8 lip 22:43
Saizou : komentarz musi być
8 lip 22:47
Saizou : np. lewa strona nierówności jest sumą dwóch kwadratów liczb rzeczywistych i liczby jeden, zatem
na pewno jest >0
8 lip 22:52
Godzio:
Suma kwadratów dowolnych liczb rzeczywistych jest nieujemna, jeżeli dodamy do niej liczbę
dodatnią, otrzymamy w rezultacie liczbę większą od 0
8 lip 22:52
bezendu: @Godzio będziesz miał jutro chwilę na tego typu zadania?
8 lip 22:55
bezendu:
Wykaż, że dla każdego n∊N n
3+5n jest podzielne przez 6
n
3+5n=n(n
2+5)
Jakaś podpowiedź
9 lip 20:50
Saizou : n
2+5=n
2−1+6
wystarczy
9 lip 20:52
bezendu: n(n−1)(n+1)+6n
są to trzy kolejne liczby naturalne więc wyrażenie jest podzielne przez 3
Saizou zabije Cię
miała być wskazówka a Ty podajesz gotowca
9 lip 20:58
Saizou : ucieknę za granicę
przecie to była wskazówka
9 lip 20:59
ZKS:
bezendu nic jeszcze nie udowodniłeś.
9 lip 21:01
Saizou : właśnie miałem pisać że komentarz jest Zły
witaj
ZKS
9 lip 21:02
ZKS:
Witam
Saizou.
9 lip 21:04
bezendu: jak to nic nie udowodniłem
(n−1)n(n+1)+6n
są to trzy kolejne liczby całkowite,wśród nich jest co najmniej jedna parzysta
i dokładnie jedna podzielna przez 3 zatem iloczyn takich liczb jest podzielny przez 2 i 3,
czyli to wyrażenie jest podzielne przez 6
teraz ok ?
9 lip 21:04
bezendu: Saizou i tak kiedyś będziesz musiał wrócić
9 lip 21:05
Saizou : no to polecę w kosmos
i masz ode mnie zadanko
Punkt P(x;y) nazywamy punktem kratowym, jeśli obydwie jego współrzędne są liczbami całkowitymi.
Uzasadnij że jedynym punktem kratowym, którego współrzędne spełniają nierówność
jest punkt (0:0)
9 lip 21:10
ZKS:
Tam masz jeszcze 6n więc też powinieneś napisać dlaczego jest to podzielne przez 6.
9 lip 21:12
Trivial: Saizou, mogę spróbować zrobić?
9 lip 21:14
Saizou : ależ bardzo proszę
9 lip 21:14
bezendu:
ZKS czyli jeszcze dopisać że 6n jest podzielne przez 6 ?
9 lip 21:15
ZKS:
Ale dlaczego?
9 lip 21:17
Trivial:
| 1 | |
| x2 + 3y2 − √6xy ≤ 0 /* 2 |
| 2 | |
x
2 + 6y
2 − 2
√6xy ≤ 0
Zapisujemy wyrażenie za pomocą "pełnych kwadratów".
(x −
√6y)
2 ≤ 0
Nawet nie ma reszty.
Nierówność ta jest spełniona jedynie dla prostej o równaniu
x =
√6y
Liczby x,y są całkowite tylko dla x = y = 0.
9 lip 21:18
bezendu:
''bo tak jest i koniec''
9 lip 21:18
ZKS:
Wychodzi że jedyną liczbą spełniającą tę nierówność jest x =
√6y teraz tylko należy udowodnić
że aby liczby x ; y były całkowite to x = y = 0.
9 lip 21:18
Saizou : bo to zadanko maturalne
wiec nie może być za trudne
a metodą nie wprost zrobisz?
9 lip 21:20
Trivial:
ZKS, to oczywiste.
Liczba niewymierna * wymierna = niewymierna z wyjątkiem mnożenia
przez 0.
9 lip 21:20
ZKS:
No jest tak ale dlaczego no pomyśl chwilę.
9 lip 21:20
bezendu: Saizou o którym zadaniu mówisz ?
9 lip 21:20
Basia: to chyba dość oczywiste
jeżeli y∊C i y≠0 ⇒ √6y ∉W ⇒ x∉W (a więc tym bardziej do C)
9 lip 21:21
ZKS:
Oczywista oczywistość.
Tam to było do
bezendu jakby co.
9 lip 21:21
bezendu: ZkS mam 6n gdzie n jest dowolną liczbą naturalną więc dzieli się przez 6 ?
9 lip 21:22
Saizou : no to jeszcze jedno
wykaż że n5−n jest podzielne przez 30, gdzie n∊N
9 lip 21:25
bezendu:
n(n
4−1)=n(n
2−1)(n
2+1)=n(n−1)(n+1)(n
2+1) hmm
9 lip 21:30
Basia: zdaje mi się, że najłatwiej indukcyjnie, ale bez indukcji też się zapewne da zrobić
9 lip 21:30
9 lip 21:30
Eta:
Zobacz dowód
zajaczka
9 lip 21:31
ZKS:
Po prostu 6n to wielokrotność liczby 6 zatem dzieli się to przez 6 o coś takiego mi
chodziło.
Spróbuj rozbić nawias n
2 + 1 = n
2 − ... + ...
9 lip 21:32
Basia:
(n+2)(n+3) = n2+5n+6 = n2+5n+5+1 ⇒
n2+1 = (n+2)(n+3) − 5(n+1)
n5−n = n(n−1)(n+1)(n+2)(n+3) − 5n(n−1)(n+1)2
już widzisz bezendu ?
9 lip 21:33
bezendu: właśnie wydawało mi się że kiedyś już robiłem to zadanie
9 lip 21:34
Eta:
9 lip 21:34
Saizou : eh......... i się wszyscy od razy rzucili
a zadanie miał zrobić
bezendu
9 lip 21:34
bezendu: Można prosić jeszcze jakieś zadanko w tym ''stylu'' ?
9 lip 21:34
Saizou : bezednu, ale nie pamiętałeś 'tricku'
9 lip 21:35
bezendu: Saziou 
mam nadzieję, że masz już 18
9 lip 21:35
Saizou : eeee............ no trochę jeszcze brakuje, w sierpniu będę mieć dopiero te 18−naście lat
9 lip 21:39
ZKS:
Którego sierpnia?.
9 lip 21:42
Saizou : 6 liczba pierwsza
9 lip 21:43
9 lip 21:43
Saizou : takie proste
Wykazać, że jeśli liczba naturalna n jest sumą kwadratów dwóch różnych liczb naturalnych
dodatnich, to również liczba 2n jest sumą kwadratów dwóch różnych liczb naturalnych dodatnich
9 lip 21:45
Eta:
1/ Wykaż,że n€N liczba n6+n4−2n2 jest podzielna przez 18
9 lip 22:00
bezendu:
(a+b)
2+(a−b)
2=a
2+2ab+b
2+a
2−2ab+b
2=2a
2+2b
2
2(a
2+b
2)
9 lip 22:01
5-latek: | | 6 | |
bezendu i ostatnie dzisiaj Uzasadnij z e rownanie |5−x|= |
| ma 3 rozwiazania |
| | x | |
x
1,x
2 i x
3 takie ze jedno z nich jest iloczynem dwoch pozostalych.
9 lip 22:02
Saizou : przedstaw to jakoś w ładnej formie dowodu
9 lip 22:08
bezendu:
n
6+n
4−2n
2 n∊C
n
2(n
4+n
2−2)
t=n
2
n
2(t
2+t−2)
Δ=1
2−4*(−2)=9
√Δ=3
x
2=1
x=1 lub x=−1
n
2(n−1)(n+1)(n
2+2)
n
2(n−1)(n+1)(n
2−4)+2
(n
2+2)(n−1)(n+1)(n−2)(n+2)
czy @zajączek może spojrzeć ?
9 lip 22:09
Dominik:
1
o x < 5
x
2 − 5x + 6 = 0
x = 2 v x = 3
2
o x > 5
x
2 − 5x − 6 = 0
x = 6 v x = 1 − sprzecznosc
x = 6
ostatecznie x∊{2, 3, 6}
QED
9 lip 22:10
ZKS:
Dominik ale 5 z przedziału się na Ciebie pogniewała że ją pominąłeś.
9 lip 22:12
Saizou : Eta może być taka postać tego równania
[(n−1)n(n+1)]
2+3(n−1)n
2(n+1) i teraz stosowny komentarz
9 lip 22:12
bezendu: Dzięki Dominik, że robisz zadania za mnie
9 lip 22:13
Saizou : ale na maturce
Dominika nie będzie
9 lip 22:14
Eta:
Zajączek ?
....hasa po zielonej łące
Rozkład na czynniki poprawny, ale brak jeszcze komentarza .........
9 lip 22:14
Dominik: ZKS, hm?
bezendu, wybacz, czasem mi sie wlacza moj nalog trzaskania zadanek na forum.
moge ci czyms
zarzucic, jaki dzial preferujesz?
9 lip 22:14
ZKS:
Saizou tylko to musi być stosowny komentarz.
9 lip 22:15
bezendu: tak jak na zamieszczonym obrazku dowody typu podzielność+jakieś tam wzory skróconego mnożenia
9 lip 22:16
Eta:
@
Saizou ... oczywiście,że może i....... koniecznie odpowiedni komentarz
9 lip 22:16
Saizou : przecież napisałem 'stosowny komentarz'
9 lip 22:16
ZKS:
Rozbiłeś na x < 5 oraz x > 5 a gdzie x = 5 uciekł.
9 lip 22:16
bezendu:
właśnie ale tu nie ma kolejnych liczb naturalnych więc jak z tego wybrnąć ?
9 lip 22:17
Eta:
9 lip 22:17
ZKS:
Dlatego to powtarzam że musi być stosowny a nie trzy po trzy.
9 lip 22:17
Dominik: ZKS, a no tak! dawno postow nie pisalem tutaj i sie troche juz gubie w interfejsie. nawet nie
wiesz ile czasu szukalem znaku ∊.
9 lip 22:18
Dominik: moga byc dowody z geometrii?
9 lip 22:18
Saizou : [(n−1)n(n+1)]2 kwadrat iloczynu trzech kolejnych licz naturalnych podzielny jest na pewno
przez 36=2*18, bo (n−1)n(n+1) jest na pewno podzielne przez 6, bo 3 kolejne liczby naturalne
to liczba parzysta i nieparzysta i parzysta
3(n−1)n2(n+1) iloczyn 3 kolejnych liczb naturalnych i liczby 3 jest podzielny przez 18
9 lip 22:21
bezendu: 
geometria i planimetria to zło
9 lip 22:21
Saizou : to trzeba ją ćwiczyć
a czym się różni geometria od planimetrii
bezendu
9 lip 22:22
Dominik: tez tak mowilem, a potem planimetrie wrecz pokochalem (no, troche przesadzilem). moze dlatego
warto pocwiczyc?
9 lip 22:22
bezendu: @DOminik
n
2(n−1)(n+1)(n
2+2)
n
2(n−1)(n+1)(n
2−4)+2
(n
2+2)(n−1)(n+1)(n−2)(n+2)
a jak mam taką postać ?
@zajączek ma teraz chyba wolne do Wielkanocy ?
9 lip 22:23
Dominik: to moze cos latwego.
wykaz, ze jesli a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac, to a = b = c.
9 lip 22:30
Saizou : Dominik nie za proste
9 lip 22:30
Eta:
9 lip 22:32
Dominik: przeciez napisalem, ze latwe
9 lip 22:33
9 lip 22:35
bezendu:
a2 + b2 + c2 = ab+bc+ac /2
2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac
2a2−2ab+2b2−2bc+2c2−2ac=0
a2+a2−2ab+b2+b2−2bc+c2+c2−2ac=0
(a−b)2+(b−c)2+(a−c)2=0
@Dominik to zadanie chyba jest z kiełbasy ?
9 lip 22:36
bezendu: Eta sprawdź jak możesz komentarz w innym temacie
9 lip 22:37
Dominik: z pazdry.
udowodnij, ze jesli α i β są dwoma kątami trójkąta i sin(α − β) = sin2α − sin2β, to trojkat
ten jest trojkatem prostokatnym lub rownoramiennym.
9 lip 22:45
Trivial: No to pazdro.
9 lip 22:47
bezendu: nie chciałem planimetrii
na dziś i tak to koniec, jak będziesz mieć czas to proszę o
zadania jutro po 20
9 lip 22:47
Dominik: tam oczywiscie ma byc sin(α − β) = sin
2α − sin
2β. zadanie nie wymaga zadnych rysunkow,
jedynie znajomosc podstawowych tozsamosci i wykresu funkcji trygonometrycznych. chociaz moze
juz za duzo podpowiedzialem.
9 lip 22:49
Eta:
2/ Wykaż,że iloczyn kolejnych liczb całkowitych powiększony o 1
jest kwadratem liczby całkowitej
9 lip 22:59
Saizou : a ilu kolejnych liczb
9 lip 23:00
Eta:
Sory ,nie zauważyłam
........czterech koejnych
9 lip 23:32
bezendu:
n∊C
(n−1)n(n+1)(n+2)+1=(n
2−n)(n
2+3n+2)+1=n
4+3n
3+2n
2−n
3−3n
2−2n+1
=n
4+2n
3−n
2−2n+1=(n
2+n+1)
2
Eta jak będziesz mieć czas to wrzuć jeszcze jakieś dowody po
20 z góry dziękuję
10 lip 16:29
5-latek: Zadania tylko dla bezendu
Zadanie nr 1.
Uazsadnij z eliczba 318−218 jest podzielna przez19.
Zadanie nr 2.
Wykaz ze dla kazdej liczby calkowitej liczba x=n5−5n3+4n−120 jest podzielna przez 30
10 lip 17:42
Piotr: bezendu dowód dla Ciebie: Wykaż, że dla dowolnych a,b∊R zachodzi nierówność:
a
2+b
2+2≥2(a+b)
10 lip 20:25
ICSP: Pokaż że 30 | ab(a4 − b4)
10 lip 20:44
bezendu: zadanie od 5−latek
318−218
(36)3−(26)3
(36−26)(312+66+212)
(33−33)(33+23)(312+66+212)
19(33+23)(312+66+212)
C.N.D
ale jaki komentarz dać żeby to było poprawnie ?
10 lip 21:40
Saizou : 3
18−2
18=...=19t, gdzie t∊c
10 lip 21:43
bezendu:
a2+b2+2≥2(a+b)
a2+b2+1+1−2a−2b≥0
(a−1)2+(b−1)2≥0
C.N.D
10 lip 21:44
Saizou : a komentarz
10 lip 21:46
bezendu:
ab(a
4−b
4)
ab(a
2−b
2)(a
2+b
2)
ab(a−b)(a+b)(a
2+b
2)
(a−b)ab(a+b)(a
2+b
2) ?
10 lip 22:05
ZKS:
To ja dam następne. Może
Saizou zrobi sobie.
Udowodnić że dla dowolnych a , b takich, że a ; b > 0 zachodzi nierówność
| (a − b)2 | | a + b | | (a − b)2 | |
| ≤ |
| − √ab ≤ |
| . |
| 8a | | 2 | | 8b | |
10 lip 22:22
ZKS:
Oczywiście winno być a ≥ b > 0.
10 lip 22:25
Saizou : nie było mnie jakiś czas, ale zaraz postaram się coś stworzyć
10 lip 22:42
Saizou : najpierw lewa część
(a−b)
2≤4a(
√a−
√b)
2 /
√
la−bl≤2
√al
√a−
√bl a≥b →
√a≥
√b bo a,b>0
a−b≤2
√a(
√a−
√b)
a−b≤2a−2
√ab
a−2
√ab+b≥0
(
√a−
√b)
2≥0
a prawa cześć, będzie analogicznie tylko że wartość bezwzględna będzie z liczby ujemnej i
trzeba zmienić znak
10 lip 23:00
ZKS:
Jak chcesz masz kolejne.
Udowodnić że dla dowolnych a ; b ; c zachodzą nierówności
a + b4 + c4 ≥ abc(a + b + c).
10 lip 23:15
ZKS:
a4 + ...
10 lip 23:15
Saizou : na pewno nie dzisiaj, bo mi się już nie chce liczyć <leń>
10 lip 23:22
ICSP: i co w związku z tym :
(a−b)ab(a+b)(a
2 + b
2) ?
Ja tu dowodu nie widzę
10 lip 23:50
ff:
Matura czerwiec 2013
dla
bezendu
zad5/ wykaż,że jeżeli 2a+b≥0 to 2a
3+b
3≥3a
2b
11 lip 19:10
ff:
Jeszcze jedno dla
treningu
zad1/Wykaż,że dla x,y∊R zachodzi:
x2+xy+y2≥3(x+y−1)
zad2/ Wykaż,że dla liczb rzeczywistych dodatnich m i n,takich,że m≥n
zachodzi nierówność:
√m2−n2+√2mn−n2 ≥m
powodzenia
11 lip 19:17
ff: Właściwie to.......... dwa zadania
treningowe
11 lip 19:18
bezendu: ff dziękuje
ICSP własnie nie wiem jak rozpisać (a
2+b
2)
11 lip 19:18
ICSP: źle zacząłeś.
Myśl nad innym sposobem
11 lip 19:32
bezendu:
ff zadanie (post 19:10)
2a
3+b
3−3a
2b≥0
a
3+b
3−3a
2b≥0
(a+b)
3+a
3−3ab
2≥0
(a+b)
3+a(a
2−3b
2)≥0
(a+b)
3+a(a−
√3b)(a+
√3b)≥0
11 lip 19:34
ff:
Źle
11 lip 19:44
ff:
Myśl dalej .....................
11 lip 19:45
ff:
I jak tam?
11 lip 20:00
ff:
bo
Saizou aż się "pali"...... do podania dowodu
11 lip 20:01
bezendu:
2a3+b3−3a2b≥0
a3+a3+b3+3a2b−6a2b≥0
(a+b)3−3ab2+a3−6a2b≥0
dobrze myślę ?
11 lip 20:02
bezendu: to będzie musiał poczekać sobie, albo założyć swój temat
11 lip 20:02
ff:
masz podać taki rozkład na czynniki, by wystąpił :
czynnik z założenia i jeszcze jakiś czynnik
oczywisty
Myśl dalej, ja mam czas, ja poczekam
11 lip 20:04
11 lip 20:06
ff:
Aż
pięć zadań na dowodzenie
11 lip 20:08
bezendu: 
dlatego właśnie to ćwiczę
11 lip 20:09
11 lip 20:10
Piotr: Te zadanie, które
bezendu robi, to też go nie mogę jakoś zrobić. Z tej matury z czerwca
zadanie z ciągiem jest dosyć ciekawe
11 lip 20:10
ff:
Zad. z ciągiem ..........to
maluśki pikuś
11 lip 20:11
bezendu: @Piotr to zadanie od Ciebie zrobiłem, sprawdź czy się zgadza ?
ff→
Eta dwa z czego jedno tylko dobre
11 lip 20:12
ff:
Obydwa
świeżo zerwane
11 lip 20:13
Piotr: Tak, dobrze zrobiles bezendu
11 lip 20:14
ff:
Co znaczy Eta ?
11 lip 20:14
Piotr: Tylko komentarz do tego
, wiesz chyba jaki i bedzie okej
11 lip 20:14
11 lip 20:15
ff:
11 lip 20:18
bezendu:
a3+a3+b3+3a2b−6a2b≥0
(a+b)3−3ab2−6a2b+a3≥0
(a+b)3−3ab(b−2a)+a3≥0
(a+b)3+3ab(2a−b)+a3≥0
(a+b)3+(2a−b)+3ab+a3≥0
11 lip 20:21
ff:
...... no co z tego wynika , jaki podasz komentarz uzasadniający tezę?
11 lip 20:23
bezendu: wynika, że nadal źle
komentarz: do poprawki
11 lip 20:25
ff: No dobra, podpowiem:
2a3+a2b−4a2b+b3≥0
dokończ.............
11 lip 20:25
Piotr: bezendu wyłącz lepiej (2a+b)
11 lip 20:36
ff:
Echhh ..... zastosuj wskazówkę Piotra
11 lip 20:41
ff:
@
bezendu nie dało się patrzeć na te poprzednie bzdury!
Napisz wreszcie porządny dowód ! ( wierzę w Ciebie
11 lip 20:46
bezendu:
własnie zauważyłem
za 10 minut wracam
11 lip 20:48
11 lip 20:56
bezendu: ? tam nie ma tych zdań ?
11 lip 20:59
ff:
Tych co podałam , to nie ma
Chodzi mi o zad5 i zad12 z arkusza z czerwca 2013( rozszerzenie)
11 lip 21:05
bezendu: nie wychodzi coś to zadanie z 19:10
11 lip 21:08
Piotr: bezendu do momentu a2(2+b)−b(4a2−b2)≥0 miales dobrze
11 lip 21:10
ff:
Ejjj tam:
2a3+a2b− 4a2b+b3≥0
a2(2a+b) −b(4a2−b2)≥0
a2(2a+b)−b(2a+b)(2a−b)≥0
(2a+b)(a2−b(2a−b))≥0
(2a+b)(a2−2ab+b2)≥0
(2a+b)(a−b)2≥0 teraz tylko... dodaj komentarz
11 lip 21:13
11 lip 21:15
Piotr: Okej, już zabieram się
11 lip 21:16
bezendu: kwadrat różnicy jest zawsze dodatni bądź równy 0 więc iloraz będzie większy lub równy zero?
11 lip 21:18
Eta:
i z założenia 2a+b ≥0 i co trudne było?
11 lip 21:22
bezendu: iloczyn
11 lip 21:22
Eta:
iloczyn
11 lip 21:23
bezendu: było trudne
od 8 rano robię zadania i już nie myślę
11 lip 21:23
Eta:
Eeetam
11 lip 21:25
Eta:
To odpocznij
11 lip 21:26
Eta:
A swoją drogą, to zadania, jak na rozszerzenie ..... były bardzo łatwe
11 lip 21:28
bezendu: Dziękuję za pocieszanie
11 lip 21:31
Eta:
11 lip 21:32
bezendu: Większość zadań zrobiłem, więc nie jest tak źle
11 lip 21:38
Eta:
A zad. 5 i 12 ? ......... zrobione
11 lip 21:40
Piotr: Ja zrobilem
11 lip 21:43
Piotr: Eta przepraszam, ze pozno ale Tata byl na kompie. Zrobilem te zadanie z wielomianem
11 lip 21:43
Eta:
Napisz ......... to inni skorzystają
11 lip 21:43
Piotr: Ok to się zejdzie troszkę, bo dlugie
11 lip 21:44
Eta:
Ach ten Twój Tata
Pozdrów Go ode mnie i daj Mu
11 lip 21:45
ZKS:
A zadanie 4 można też zrobić tak (może kogoś zaciekawi)
3√9 + √80 +
3√9 − √80 = 3
zauważamy że
3√9 + √80 oraz
3√9 − √80 to liczby odwrotne a więc
| | 1 | |
3√9 + √80 + |
| = 3 |
| | 3√9 + √80 | |
niech
3√9 + √80 = t
t
2 − 3t + 1 = 0
Δ = 5
√Δ =
√5
| | 3 + √5 | | 1 | | 3 − √5 | |
t1 = |
| ∧ |
| = |
| |
| | 2 | | t1 | | 2 | |
albo
| | 3 − √5 | | 1 | | 3 + √5 | |
t2 = |
| ∧ |
| = |
| |
| | 2 | | t2 | | 2 | |
wstawiając do równania otrzymujemy
3 = 3
lub
3 = 3.
11 lip 21:45
Eta:
@
Piotra
jakie długie? ( dwie , trzy linijki
11 lip 21:46
11 lip 21:48
ZKS:
Witam
Eta.
Chciałem tylko pokazać właśnie troszkę inny sposób niż tutaj były pokazywane.
11 lip 21:51
Eta:
@
ZKS
Ty to wiesz, ja to wiem
....... ważne by
Inni wiedzieli
11 lip 21:53
Piotr: Zadanie 12
Pierwiastkami wielomianu stopnia trzeciego są liczby 1,3,5. Współczynnik przy najwyższej
| | 1 | |
potędze zmiennej tego wielomianu jest równy |
| . Uzasadnij, że dla każdej liczby |
| | 2 | |
całkowitej nieparzystej wartość tego wielomianu jest liczbą podzielną przez 24.
W(x)=0,5(x−1)(x−3)(x−5)
W(x)=0,5(x
2−4x+3)(x−5)=0,5(x
3−5x
2−4x
2+20x+3x−15)=0,5(x
3−9x
2+23x−15)
x=2k+1 <== taki jest zapis liczby nieparzystej, gdzie k∊C
0,5(x
3−9x
2+23x−15)=24p
0,5[(2k+1)
3−9(2k+1)
2+23(2k+1)−15]=24p
0,5(8k
3+12k
2+6k+1−36k
2−36k−9+46k+8)=24p
0,5(8k
3−24k
2+16k)=24p
0,5*8(k
3−3k
2+2k)=24p
4k(k
2−3k+2)=24p
4k(k−1)(k−2)=24p
4(k−2)(k−1)k=24p
(k−2)(k−1)k − iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych, z których na pewno jedna jest
podzielna przez 2 , a druga z tych liczb jest podzielna przez 3. A więc 2*3=6 ; 4*6=24 c.n.u
11 lip 21:55
ZKS:
To dla zdrowotności jeszcze jedno
dla Ciebie
Eta.
11 lip 21:56
Piotr: Najwidoczniej robiłem o wiele dluzszym sposobem
11 lip 21:57
Saizou : i zabrakło ci jednego założenia
11 lip 21:57
Eta:
zad 12
W(x)= 0,5(x−1)(x−3)(x−5)
x= 2n−1 −−− liczba nieparzysta , n€C
to W(2n−1)= 0,5(2n−1−1)(2n−1−3)(2n−1−5)= 0,5*2*2*2(n−1)(n−2)(n−3)= 4*(n−1)(n−2)(n−3)
i ten komentarz, który podałeś
zatem W(2n−1)= 24k, k€C
bez potrzeby wymnażałeś wszystko
11 lip 22:00
ZKS:
Piotr a nie lepiej było od razu wstawić do postaci iloczynowej.
x = 2k + 3
| 1 | |
| (2k + 3 − 1)(2k + 3 − 3)(2k + 3 − 5) |
| 2 | |
| 1 | |
| * 2 * 2 * 2(k + 1)k(k − 1) |
| 2 | |
4(k + 1)k(k − 1)
?
11 lip 22:01
ZKS:
11 lip 22:02
Eta:
11 lip 22:02
Piotr: No prosciej... Ale ze mnie.... . Juz nie powiem co
11 lip 22:02
Eta:
dla
Piotra
11 lip 22:03
Piotr: Eta a te zadanie z ciągiem z matury? Narazie nie mam pomyslu do niego
11 lip 22:05
ZKS:
Najważniejsze jest to że sam zrobiłeś bez niczyjej pomocy. Jak dojdziesz do wprawy to będziesz
wszystko widział.
11 lip 22:06
Piotr:
11 lip 22:07
Eta:
Zad. z ciągiem ?
banał nad banałami
11 lip 22:14
Eta:
Napiszę
11 lip 22:15
Piotr: Narazie nie pisz
Eta spróbuje jeszcze samemu
11 lip 22:16
Eta:
a
1*a
1*q*a
1*q
2* .... *a
1*q
n−1 = a
1n*q
1+2+3+...+(n−1)
| | n(n−1) | |
1+2+3+....+(n−1) = |
| −−− suma ciągu arytmetycznego(kolejnych(n−1) liczb naturalnych |
| | 2 | |
zatem L= (a
n*q
n(n−1)/2)
1/n= a
1*q
(n−1)/2 = (a
12*q
n−1)
1/2 =
=
√a1*a1*qn−1=
√a1*an = P
11 lip 22:21
Eta:
Hmmm
skasować?
11 lip 22:22
Piotr: Nie musisz
. Nie patrze na rozwiazanie Twoje
. Więc nie usuwaj
. Ja jeszcze nic nie
wymyslilem ciekawego do tego zadanka
11 lip 22:23
Eta:
ok
11 lip 22:24
Piotr: Dzisiaj nie zrobię już tego zadania z ciągiem. Moze jutro sie uda
11 lip 22:32
ZKS:
To ja dam też ciekawy wielomian na myślenie.
Rozwiązać równanie.
(x + 1)(x + 3)(x − 2)(x − 6) − 91x2 = 0
11 lip 22:38
5-latek: Czesc
bezendu jeszcze nie zrobiles zdania nr 2 z 10.07. godz 17.42. Bedzie ciekawy
komentarz do tego zadania
12 lip 17:22
Saizou : a to takie przyjemne zadanko
12 lip 17:23
ZKS:
Saizou zrób wielomian.
12 lip 17:26
Saizou : spróbuję , pewnie jakieś trickowe
12 lip 17:29
ZKS:
Właśnie o to chodzi żeby chwilę pomyśleć.
Takie właśnie z tych trickowych.
12 lip 17:32
5-latek: Saizou to moze dla Ciebie . Na powierzchni kuli o promieniu R =20 znajduja sie dwa okregi o
tych samych promieniach r lezace w plaszczyznach prostopadlych . Wspolna cieciwa KL tych
okregow ma dlugosc 16 . Wykaz ze dlugosc promienia r=2
√58
12 lip 17:44
Saizou : 5−latek aż tak to nie ogarniam
12 lip 17:56
ZKS:
Dobra ja będę spadał. Jak coś wymyślisz
Saizou to pisz zobaczę jaką drogę obrałeś.
Na razie.
12 lip 18:03
Saizou : za pewne ten wielomian nie ma pierwiastków wymiernych
12 lip 18:04
ZKS:
Ee jeszcze muszę poczekać z wyjściem bo pada.
No niestety nie ma pierwiastków
wymiernych ten wielomian.
12 lip 18:11
pigor: zad. 5) wykaż, że jeżeli 2a+b ≥0 to 2a
3+b
3 ≥ 3a
2b..
no to może jeszcze tak :
z założenia, oczywistej nierówności i znaku ich iloczynu mamy
2a+b ≥0 i (a−b)2 ≥0 ⇒ (2a+b)(a−b)
2 ≥0 ⇔ (2a+b)(a
2+b
2−2ab) ≥0 ⇔
⇔ 2a
3+2ab
2−4a
2b+a
2b+b
3−2ab
2 ≥0 ⇔ 2a
3+b
3−3a
2b ≥0 ⇔
⇔
2a3+b3 ≥ 3a2b . c.n.w. . ...
12 lip 20:00
xxx:
Jak się zna rozwiązanie z 11 lipca z 21:13 to rzeczywiście trzeba być tajfunem intelektu żeby
to zrobić w drugą stronę.
12 lip 22:15
Eta:
dobre
12 lip 22:19
pigor: ... tak, jasne, właśnie na to chciałem swoim rozwiązaniem zwrócić
uwagę, bo nie każdy jest takim tajfunem intelektu jak Pan , panie xxx
−−−−−−−−−−−−−
a tak poza tym wolałbym jednak − jak i już − dowód nie wprost i tyle .
12 lip 23:21
Eta:
Czyli .......jednak dowód : ad absurdum
12 lip 23:25
pigor: ...jasne,
a może jednak warto mieć na uwadze w ostatnio modnych tego typu nierównościach
tę właśnie nierówność na kwadrat różnicy, bo to ona często może "zrobić całą robotę"
taka jak np. tu , gdzie był problem jak "zrobić" te sześciany w tezie, jeśli proste
podniesienie do potęgi 3 założenia nie daje ...
12 lip 23:39
xx:
pigorze jeśli koniecznie chcesz się wykazać, to nie powielaj rozwiązań innych osób, ale
zrób zadanie z tego wątku Dominika z 9 lipca 22:49.
13 lip 09:10
pigor: ..., kurcze, muszę jednak zaprotestować, o jakim powielaniu bredzisz
xx vel
xxx,
no , ale niech ci będzie i rozwiążę − z braku innych tajfunów intelektu − twoje zadanie :
"udowodnij, że jeśli α i β są dwoma kątami trójkąta i
sin(α−β)= sin2α−sin2β ,
to trójkąt ten jest trójkątem prostokątnym lub równoramiennym",
otóż ja − tajfun intelektu, koniecznie chcący się wykazać − widzę to tak :
sin2α−sin2β= (sinα−sinβ)(sinα+sinβ)=
= 2sin
12(α+β)cos
12(α−β) * 2sin
12(α−β)cos
12(α+β)=
= 2sin
12(α+β)cos
12(α+β) * 2sin
12(α−β)cos
12(α−β)=
sin(α+β)sin(α−β),
zatem z założenia
sin(α−β)= sin2α−sin2β ⇔ sin(α−β)=sin(α+β)sin(α−β) ⇔ sin(α−β)− sin(α+β)sin(α−β)= 0 ⇔
⇔ sin(α−β)(1− sin(α+β))= 0 ⇔
sin(α−β)=0 lub
1−sin(α+β)=0 ⇒
⇒ (α−β= 0 lub sin(α+β)= 1) i α,β− kąty Δ ⇔
α= β lub
α+β= 90o c.b.d.u. ...
13 lip 15:44
ICSP: pigor jak chcesz mozesz również wykazać moje
13 lip 15:47
Eta:
Do rozwiązania zostały jeszcze 2 zadania :
11 lipca 19:17
13 lip 15:57
ICSP: a moje
13 lip 16:00
xxx:
Zad1
x
2 + xy + y
2 ≥3(x+y−1) ⇔
x
2 + xy + y
2 − 3x −3y +3 ≥ 0 ⇔
| | y−3 | | 3 | |
(x + |
| )2 + |
| (y − 1)2 ≥ 0 |
| | 2 | | 4 | |
13 lip 16:47
xxx:
Zadanie ICSP
a5 = a2*a2*a == a*a*a=a2*a == a*a=a2==a (mod2) to z MTF
a5= a3*a2== a*a2 =a3 ==a (mod3)
a5==a (mod 5)
anologicznie dla "b"
czyli
a5b − ab5 == ab − ab == 0 (mod 2; mod 3; mod 5)
c.n.w.
13 lip 17:34
pigor: ..., Wykaż, że dla liczb rzeczywistych dodatnich m i n,takich, że m ≥n zachodzi nierówność:
√2mn−n2+√m2−n2 ≥ m
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
otóż, dla m=n nierówność jest oczywista, więc niech m >n >0 , to
√2mn−n2+√m2−n2 ≥ m ⇒
√2mn−n2 ≥ m−
√m2−n2 ≥ m /
2 ⇒
⇒ 2mn−n
2 ≥ m
2+m
2−n
2−2m
√m2−n2 / :2m ⇔
√m2−n2 ≥ m−n /
2 ⇒
⇒ m
2−n
2 ≥ (m−n)
2 /: (m−n)>0 ⇔ m+n ≥ m−n ⇔ n ≥ 0 ⇔ n >0 lub n=0 ⇒
⇒
n >0 − prawda z założenia, a więc c.n.w. . ...
13 lip 18:13
xxx: a może tak
do kwadratu obustronnie:
2mn−n2 + m2−n2 + 2*iloczyn pierwiastków ≥ m2 / −m2
2mn−2n2 + 2*iloczyn pierwiastków ≥ 0
2n(m−n) + 2*iloczyn pierwiastków ≥ 0
co jest prawdą, ponieważ m−n>0
13 lip 18:41
pigor: ..., zad1/ Wykaż, że dla x,y∊R zachodzi
x2+xy+y2 ≥ 3(x+y−1)
.., no to może jeszcze inaczej :np. tak :
x2+xy+y2 ≥ 3(x+y−1) ⇔ x
2+xy+y
2−3x−3y+3 ≥0 ⇔ x
2+(y−3)x+y
2−3y+3 ≥0 i
Δy=
= (y−3)
2−4(y
2−3y+3)= y
2−6y+9−4y
2+12y−12= −3y
2+6y−3= −3(y
2−2y+1)=
−3(y−1)2< 0,
dla y∊R, a stąd i dla x∊R trójmian zmiennej x :
x
2+(y−3)x+y
2−3y+3 ≥0 ⇔
x2+xy+y2 ≥ 3(x+y−1) , a więc c.n.w.
13 lip 19:33
Eta:
@
xxx
Ciekawe... czy każdy wiedziałby,że równoważną postacią tej nierówności jest:
zatem podaję nieco inny sposób:
x
2+xy+y
2−3x−3y+3 ≥0 ⇔ x
2 +xy−3x +y2−3y+3≥0
x
2+(y−3)x +y
2−3y+3≥0
Δ= (y−3)
2−4y
2+12y−12 = y
2−6y+9−4y
2+12y−12= −3y
2+6y−3= −3(y
2−2y+1)= −3(y−1)
2
zatem dla y= 1 zachodzi równość , zaś dla wszystkich y€R\{1} zachodzi nierówność >0
bo parabola jest wówczas cała nad osią OX
czyli x
2+xy+y
2−3x−3y+3≥0 c.n.u
13 lip 19:46
Eta:
13 lip 19:46
xxx:
Masz rację
Eta 
. Stawiam, na
Vaxa.
13 lip 20:13
pigor: ..no to może teraz ktoś chciałby zostać " tajfunem intelektu" i podać przez analogię
dowód z ... Δ
x , ... co
, ja na pewno nie, bo już nim zostałem, a zresztą nie chce mi
się.
pozdrawiam
Eta
13 lip 20:19
xxx:
Nic ciekawego, a dużo pisania.
13 lip 20:23
Eta:
Skoro się tak cieszysz
xxx
To jeszcze inny sposób dowodu
zad2/ wykaż,że dla m,n€R i takich,że m≥n
zachodzi nierówność
√m2−n2+
√2mn−n2≥m
wiadomo,że
√m2−n2 ≥ m−n
i dla m≥n
√2mn−n2 ≥ n
dodając stronami −−−−−−−−−−−−−
√m2−n2+
√2mn−n2≥m c.n.u
13 lip 20:30
xxx:
Dla
Ety
13 lip 20:52
Eta:
Dzięki
13 lip 21:24
13 lip 21:28
Eta:
Gdzie?... widzę całe forum pod tym linkiem
13 lip 21:31
13 lip 21:33
Saizou : ICSP a wiem coś na temat licz a i b
13 lip 21:54
ICSP: wiesz ze są naturalne.
13 lip 22:01
pigor: ..., no i wystarczy wykazać (uzasadnić), że 5 ab(a
2+b
2)(a
2−b
2),
oraz 3 | jedną z liczb a, b, a+b, a−b . ...
13 lip 22:14
ICSP: pigor to może być troszkę za mało chyba
13 lip 22:24
pigor: .. no i przez 2 oczywiście , trochę pisania , a ja mam na dzisiaj dosyć i idę spać
13 lip 22:44
ICSP: liczą się najprostsze sposoby
Zadanie jest do udowdnienia bez używania kongurencji w jednej (max 2 linijkach)
13 lip 22:46
Saizou : ab(a
4−b
4)=a
5b−ab
5=a
5b−ab−ab
5+ab=b(a
5−a)−a(b
5−b)
i wystarczy pokazać że a
5−a lub b
5−b jest podzielne przez 30
a
5−a=a(a
4−1)=a(a
2−1)(a
2+1)=(a−1)a(a+1)(a
2−4+5)=(a−2)(a−1)a(a+1)(a+2)+5(a−1)a(a+1)
+ komentarz, ale mi się nie chce piać
14 lip 20:52
ICSP:
14 lip 21:57
Saizou : po tylu dniach zastanawiania się i po Twojej wskazówce udało się
14 lip 22:00
ICSP: Czyli jednak wskazówka nie była taka bezsensowna jak to
Trivial stwierdził
14 lip 22:06
Saizou : a no nie
14 lip 22:17