Dowód bezendu: wykaż że a) dla dowolnej liczby całkowitej n liczba n³−n jest podzielna przez 3 n³−n=n(n²−1)=n(n−1)(n+1) n∊ℂ (n−1)n(n+1) i teraz pisać komentarz, że są to 3 kolejne liczby całkowite z czego co najmniej jedna jest podzielna przez 2 i jedna podzielna przez 3 więc jest podzielna przez 6 C.N.D b) dla każdej liczby rzeczywistej a zachodzi nierówność 4a²+1>4a 4a²−4a+1>0 (a−b)²>0 C.N.D

bezendu: do b) jeszcze (2a²+1)²>0

zajączek: b) 4a²−4a+1>0 (2a−1)²>0

Mila: (2a−1)²≥0

bezendu: c) suma dowolnej liczby dodatniej i jej odwrotności jest nie mniejsza od 2

	1
a+		≥2
	a

	1
a+		−2≥0 /a
	a

a²+1−2a≥0 a²−2a+1≥0 (a²−1)≥0 C.N.D

bezendu:

	a		b
d) jeśli liczby a i b są liczbami tego samego znaku,to		+		≥2
	b		a

	b
U{a}b}+		−2≥0 /ab
	a

a²+b²−2ab≥0 (a−b)²≥0 C.N.D

bezendu: e) wykaż że dla każdej liczby naturalnej n liczba n⁵−n jest podzielna przez 30 n⁵−n=n(n⁴−1) =n(n²−1)(n²+1) =n(n−1)(n+1)(n²+1) =(n−1)n(n+1)(n²+1) i jak wykazać teraz podzielność przez 30 mam tylko trzy kolejne całkowite więc podzielność co najwyżej 6

zajączek: n²+1= (n²−4)+5= (n−2)(n+2)+5 (n−1)*n(n+1)*[(n−2)(n+2)+5] = (n−2)(n−1)*n(n+1)(n+2)+5*(n−1)n(n+1) dodaj teraz komentarz ..... i koniec dowodu

bezendu: zajączek a możesz spojrzeć na wcześniejsze dowody mogę sobie tak dopisać 5

zajączek: Poprzednie ok dlaczego niby nie możesz? x²+1= x²−4+5 ( jest prawdą 5 dlatego bo potrzebne do podzielności przez 30 = 6*5

bezendu: ok

bezendu: f) wykaż, że kwadrat liczby całkowitej niepodzielnej przez 3 przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1 (3n+1)²=9n²+6n+1 a dalej jak to ruszyć

bezendu: 3n(3n+2)+1

jikA: Jeszcze jest druga opcja kiedy masz liczbę niepodzielną przez trzy i daje reszty dwa. (3n + 2)² = 9n² + 12n + 4 = 3(3n² + 4n + 1) + 1

zajączek:

jikA: Nigdzie się zajączku nie ukryjesz. I co nie doczekałaś się niestety na dzieło Bogdana?

bezendu: zajączek co do Twojego postu 21:48 nie powinno być (n−2)(n−1)n(n+1)(n+2)+5

zajączek:

zajączek: tam masz mnożenie (n−1)n(n+1)[(n−2)(n+2)+5]=......... Umiesz mnożyć?

jikA: zajączek się nie myli wszystko jest dobrze.

bezendu: chyba potrafię ale zaraz się upewnię

zajączek:

bezendu: wszystko się zgadza

bezendu: ostatni już liczba k i n są nieparzyste i każda ma tylko 3 dzielniki, uzasadnij, że różnica tych liczb jest podzielna przez 4 (2k+1)²−(2n+1)²= 4k²+4k+2−4n²−4n−2) 4k²+4k−4n²−4n= 4(k²+k−n²−n) ? C.N.D

zajączek: https://matematykaszkolna.pl/forum/173304.html

bezendu: czyli źle

bezendu: (2k+1)²−(2m+1)² (2k+1−2m−1)(2k+1+2m+1) (2k−2m)(2k+2m+2) 2(k−m)2(k+m+1) 4(k−m)(k+m+1)

bezendu:

zombi: k=(2m+1)² n=(2p+1)². i wtedy lecisz w treśći masz pokazać, że k−n jest podzielne przez 4 nie (2k+1)²−...

bezendu: (2m+1)²−(2p+1)² (2m+1−2p−1)(2m+1+2p+1) (2m−2p)(2m+2p+2) 2(m−p)2(m+p+1) 4(m−p)(m+p+1) i co to koniec

zombi: Teraz tak + warto by nadmienić, że liczby które mają trzy dzielniki to kwadraty liczb pierwszych.

bezendu: zombi masz jeszcze chwilkę

zombi: No raczej tak

bezendu: to napisze ten dowód od początku wykaż że liczba n⁵−n jest podzielna przez 30 n⁵−n= n(n⁴−1)=n(n²−1)(n²+1)= n(n−1)(n+1)(n²−4+5) n(n−1)(n+1)(n−2)(n+2)+5

zombi: Tej '5' nie możesz sobie tak o wywalić. Musiałbyś mieć n(n−1)(n+1)(n−2)(n+2)+5n(n−1)(n+1) Rozwalony wielomian wygląda tak n(n⁴−1)=n(n²+1)(n²−1)=n(n−1)(n+1)(n²+1) Teraz możesz rozpatrzyć przypadki co gdy n=2k i n=2k+1

bezendu: właśnie nie rozumiem tej końcówki 5n(n−1)(n+1)

aniabb: (n−2)(n−1)n(n+1)(n+2)+5(n−1)n(n+1) pierwsza część to iloczyn pięciu kolejnych liczb więc jest podzielne przez 5 druga część ma piątkę iloczyn 3 kolejnych jest podzielny przez 3 co druga jest parzysta zatem całość podzielne przez 30

aniabb: bo u ciebie zjadłeś nawias n(n−1)(n+1)(n2−4+5) n(n−1)(n+1)[(n−2)(n+2)+5]

zombi: 5n(n−1)(n+1) jest na bank podzielne przez 30 bo masz po pierwsze piątke po drugie iloczyn 3 kolejnych liczb n, czyli jedna z nich jest podzielna przez 2 i co najmniej jedna przez 3 czyly 2*3*5 =30

bezendu: aniabb zombi mógłbyś skończyć ten dowód dla tych n=2k i n=2k+1

zombi: Własnie nie wiem czy pojdzie w ten sposob, ale indukcyjnie sie chyba ta.

bezendu: indukcyjnie

aniabb: poczytaj "Matematyka dyskretna" Ross Wright str 218

bezendu: ok zaraz ściągnę pdf

bezendu: aniabb masz jeszcze jakąś ciekawą literaturę np dotyczącą wyrażeń algebraicznych ?

aniabb: tamto było o indukcji

bezendu: ale ja pytam ogólnie

aniabb: http://www.google.pl/url?sa=t&rct=j&q=teoria%20liczb%20przyk%C5%82ady&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CCwQFjAA&url=http%3A%2F%2Fmath.uni.lodz.pl%2F~mzbanasz%2FZadania_Inf%2FTeoria_liczb_przyklady.doc&ei=KMFYUdWQGsXmOf7vgIgD&usg=AFQjCNGb4ZXFrE0zpbhfJCqFu-XQ7p2S0g&bvm=bv.44442042,d.ZWU

aniabb: a tu masz nawet swój przykład

aniabb: a tu teoria do przykładów http://math.uni.lodz.pl/~mzbanasz/Zadania_Inf/Teoria_liczb_tw_def.pdf

bezendu: dziękuje

zombi: Masz jeszcze jakieś takieś zadanka do roboty?

bezendu: popołudniu będę miał

aniabb: Pokazać, że n5 – n, gdzie n jest liczb naturalną, jest podzielne przez 30. Rozwiązanie. n5 – n = (n – 1) n (n + 1) (n2 + 1) = (n – 1) n (n + 1) [(n2 – 4) + 5] = = (n – 2) (n – 1) n (n + 1) (n + 2) + 5 (n – 1) n (n + 1). Każdy ze składników otrzymanej sumy jest podzielny przez 30, gdyż iloczyn k następujących po sobie liczb naturalnych jest podzielny przez k!. Istotnie,

n k		n(n−1)(n−2) ... (n−k+1)
	=
		1*2*3*4*5*..*k

jest liczbą całkowitą i dlatego rozważana wcześniej suma jest podzielna przez 30, a to oznacza, że 30 dzieli n5 – n.

aniabb: tak żeby było na przyszłość pod ręką

bezendu: na pewno się przyda

zombi: Szybko silnia w informatyce się tego wzorku używa

zombi: Newton, co ja bredzę