Jak znaleźć pierwiastki wielomianu Filip: Cześć, czy mógłby ktoś pomóc z tym równaniem? Jak mogę znaleźć pierwiastki? 0,0002x³−0,1x²−1=0

Leszek: Czyli : 2x³ − 1000 x² − 10000 = 0

Mariusz: Zacznij od przypomnienia sobie wzorów skróconego mnożenia Wyruguj z równania wyraz z x² np przedstawiając wielomian w postaci sumy potęg dwumianu

	500
x−
	3

	500
Niech y = x−
	3

Zakładasz że pierwiastki równania są postaci y = u+v i wstawiasz przewidywaną postać rozwiązania do równania y³ + py + q = 0 Po wstawieniu do przewidywanej postaci rozwiązania do równania otrzymane równanie grupujesz i zapisujesz w postaci układu równań Układ równań przekształcasz tak aby był on wzorami Vieta dla równania kwadratowego o pierwiastkach u³ oraz v³ Wielomian trzeciego stopnia y³ + py + q możesz też przedstawić w postaci sumy sześcianów

ABC: jeżeli dopuszczamy metody przybliżone, to można dokonać takiej obserwacji pierwiastki równania x³−500x²−5000=0 spełniają zależności ze wzorów Viete'a x₁+x₂+x₃=500 , x₁*x₂*x₃=5000, x₁x₂+x₂x₃+x₃x₁=0 gdyby przyjąć x₁=500, x₂=−√10i , x₃=√10i to dwie pierwsze równości mamy spełnione a trzecią "prawie " więc to dobry punkt startowy do poprawiania tych wartości

Mariusz: ABC po co przybliżone skoro istnieją dokładne które można przedstawić licealiście Przeglądasz czasem forum matematyka.pl Całkiem niezłą metodę przedstawił tam mol_książkowy Co jest przydatne Wzory skróconego mnożenia (miałem je nawet w podstawówce) Równanie kwadratowe (choć dałoby się je obejść stosując wzory skróconego mnożenia) Trygonometria (wzór na cosinus bądź sinus kąta potrojonego ) Funkcje − w tym funkcja odwrotna (aby obliczyć kąt w przypadku nieprzywiedlnym) Wzory Vieta są przydatne ale można się bez nich obejść

ABC: jeżeli ma to równanie z jakiegoś laboratorium to go orientacyjne wartości pierwiastków interesują jak to inżyniera, nic nie napisał na ten temat

Mariusz: Tutaj masz jak Vax pokazywał użytkownikowi ICSP sposób rozwiązywania tych równań https://matematykaszkolna.pl/forum/98255.html https://matematykaszkolna.pl/forum/98288.html https://matematykaszkolna.pl/forum/99243.html

Ckegn: ja nie wiem czy wy normalni jestescie raczej nie chcecie pomoc, tylko sie popisac, i to widac. tylko @Leszek podal normalna, licealna metode wy zaś strzelacie do muchy z procy

Satan: A łaskawie napisałeś, że chodzi o liceum? A Leszek nie podał żadnej metody − nie umniejszając jego wkładowi − tylko pokazał, że można sobie uprościć równanie. Jak dla mnie to Panowie zaprezentowali tutaj coś bardzo ciekawego, czemu warto się przyjrzeć, jeśli chce się robić "coś więcej".

Mariusz: Satan , dodam jeszcze że da się przedstawić metodę zrozumiałą dla licealisty bo zespolone można obejść trygonometrią przydatne będą też wiadomości o funkcjach bo w pewnym miejscu potrzebne będzie zdefiniowanie funkcji odwrotnej Ja jeszcze miałem funkcję odwrotną w liceum Gdy pokazywałem Vaxowi sposób na równania trzeciego i czwartego stopnia korzystałem z tego pdf http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon11/mon1110.pdf i dlatego sposób który zaprezentował wymaga zespolonych W tym pdf jest zbyt mało komentarza więc przeanalizowałem tę metodę i odpowiednio skomentowałem ją Vaxowi Jeżeli chcemy aby metoda była zrozumiała dla licealisty zespolone musimy zastąpić trygonometrią

an: Jakie liceum ma w programie, to zadania Filipa https://matematykaszkolna.pl/forum/376802.html https://matematykaszkolna.pl/forum/376324.html

Mariusz: Jak chodziłem do liceum to całki były w technikum ale to Ckegn postawił hipotezę że Filip jest w liceum

Satan: Dziękuję, Mariusz, nie tylko za PDF'a, ale również za znalezienie linków, gdzie Vax tłumaczy co i jak Pewnie nie tylko ja na tym skorzystam.

Mariusz: Satan użycie zespolonych w przypadku nieprzywiedlnym to bardziej algebraiczna metoda ale jeśli jeszcze ich nie miałeś możemy przećwiczyć użycie trygonometrii w tym przypadku

Satan: Spokojnie, ja to jestem student pierwszego roku matematyki, więc zespolone nie są mi obce Ale szczerze powiedziawszy, to jestem ciekaw jednej i drugiej metody.

Mariusz: To gdybyś miał tłumaczyć ten sposób licealiście 1. Wzory na sinus i cosinus sumy wyprowadź sposobem geometrycznym 2. Jedynka trygonometryczna cos(θ−θ)=cos(θ)cos(θ)+sin(θ)sin(θ) cos(0)=cos²(θ)+sin²(θ) 1 = cos²(θ)+sin²(θ) cos(θ+θ)=cos(θ)cos(θ)−sin(θ)sin(θ) cos(2θ) = cos²(θ)−sin²(θ) cos(2θ) = cos²(θ)−(1−cos²(θ)) cos(2θ) = 2cos²(θ) − 1 sin(θ+θ) = sin(θ)cos(θ)+cos(θ)sin(θ) sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ) cos(θ+2θ) = cos(θ)cos(2θ) − sin(θ)sin(2θ) cos(θ+2θ) = cos(θ)(2cos²(θ) − 1) − sin(θ)(2sin(θ)cos(θ)) cos(θ+2θ) = cos(θ)(2cos²(θ) − 1) − 2cos(θ)sin²(θ) cos(θ+2θ) = cos(θ)(2cos²(θ) − 1) − 2cos(θ)(1−cos²(θ)) cos(3θ) = 2cos³(θ) − cos(θ) − 2cos(θ) + 2cos³(θ) cos(3θ) = 4cos³(θ) − 3cos(θ) Równanie trzeciego stopnia ma postać y³+py+q=0 co można zapisać następująco y³+py=−q Przyjmijmy że y = ucos(θ) gdzie u pewna niewiadoma której znalezienie zastrzegamy sobie na później Wstawiamy przewidywaną postać rozwiązania do równania i porównujemy ze wzorem na cosinus kąta potrojonego u³cos(θ)+pucos(θ)=−q Porównując równanie ze wzorem na cosinus kąta potrojonego otrzymujemy że stosunek

pu		3
	=−
u3		4

p		3
	=−
u2		4

−3u²=4p u²=−4/3p y=2√−p/3cos(θ) y³+py=−q

	8
−		p√−p/3cos3(θ)+2p√−p/3cos(θ)=−q
	3

	3q
4cos3(θ)−3cos(θ)=
	2p√−p/3

	3q
cos(3θ)=
	2p√−p/3

Teraz definiujemy sobie funkcję odwrotną do cosinusa (jeżeli jej nie znamy)

	3q
3θ1 = cos−1(		)
	2p√−p/3

	3q
3θ2 = cos−1(		) + 2π
	2p√−p/3

	3q
3θ3 = cos−1(		) + 4π
	2p√−p/3

y₁=2√−p/3cos(θ₁) y₂=2√−p/3cos(θ₂) y₃=2√−p/3cos(θ₃)

Satan: A powiedz mi, na jakiej zasadzie działa użycie funkcji trygonometrycznych zamiast wyrażania tego przy pomocy liczb zespolonych?

Mariusz: Tutaj korzystasz z tego że wzór na cosinus kąta potrojonego ma podobną postać co równanie trzeciego stopnia i wtedy nie musisz znać liczb zespolonych Przypadek nieprzywiedlny można wyrazić tylko za pomocą zespolonych pierwiastników Nie da się go wyrazić za pomocą rzeczywistych pierwiastników i jeśli nie znamy zespolonych musimy zadowolić się trygonometrią Funkcje trygonometryczne można dostać także rozwiązując tzw równanie rozwiązujące z użyciem liczb zespolonych Korzystasz wtedy ze wzoru de Moivre na potęgowanie liczby zespolonej Satan widziałeś zbiór zadań Krysickiego Włodarskiego Tam jest podany sposób rozwiązywania równania trzeciego stopnia w skróconej wersji bez wyprowadzenia

Satan: Hm, mógłbyś wypunktować, co należy dobrze pojmować, by być wystarczająco biegłym, aby dać tutaj radę? Chodzi mi między innymi o wiedzę na temat wielomianów, jak "wielomian nieprzywiedlny", czy chociażby o tym "równaniu rozwiązującym". Co do Krysickiego−Włodarskiego, to nie widziałem. Warto?

Mariusz: Miałeś już rachunek różniczkowy i całkowy wielu zmiennych np pochodne cząstkowe, różniczka zupełna , całki podwójne, potrójne, krzywoliniowe,powierzchniowe ? Równania różniczkowe dopiero będziecie mieli ? W zbiorze Krysickiego i Włodarskiego powinieneś mieć zadania do tych tematów Co należy umieć Jeżeli chcesz użyć metody czysto algebraicznej Wzory skróconego mnożenia − przydają się w kilku miejscach, możesz przy ich użyciu dostać dwumian który wyruguje wyraz z x² − po zastosowaniu podstawienia y = u + v pozwalają na pogrupowanie otrzymanego równania i zapisanie go w postaci układu równań przypominającego wzory Vieta dla równania kwadratowego − jeśli nie masz innego pomysłu możesz też ich użyć do rozwiązania równania kwadratowego wzór na kwadrat sumy bądź różnicy do zapisania wielomianu kwadratowego w postaci kanonicznej wzór na różnicę kwadratów do zapisania wielomianu w postaci iloczynowej Do wyboru podstawienie bądź schemat Hornera − aby przedstawić wielomian trzeciego stopnia w postaci sumy potęg dwumianu w taki sposób aby wyrugować wyraz x² Wzory Vieta dla równania kwadratowego przydają się do szybkiego napisania równania rozwiązującego Bez wzorów Vieta układ rozwiązywałbyś np podstawianiem Z zespolonych Układ kartezjański i biegunowy Postać algebraiczna i trygonometryczna Część rzeczywista i urojona Moduł liczby zespolonej , argument liczby zespolonej Płaszczyzna Gaussa Podstawowe działania na zespolonych − dodawanie, odejmowanie, mnożenie dzielenie Wzór de Moivre i jego przypadek szczególny pierwiastki z jedynki Przypadek nieprzywiedlny jest wtedy gdy metodą algebraiczną nie można oddzielić części rzeczywistej od części urojonej Korzystając ze wzoru de Moivre dostajesz pierwiastki wyrażone za pomocą funkcyj trygonometrycznych Przy założeniu że współczynniki równania są rzeczywiste wszystkie pierwiastki równania są w tym przypadku także rzeczywiste Osoby które nie znają liczb zespolonych w tym licealiści powinni zastąpić liczby zespolone trygonometrią jeśli chcą rozwiązać takie równanie

Satan: W pierwszej kolejności: dziękuję za tak obszerne rozpisanie Co do Twoich pytań: rachunek różniczkowy był, ale przyznam szczerze, że mam braki, które muszę nadrobić. Oczywiście tylko na jednej zmiennej. Funkcje wielu zmiennych będę miał dopiero w przyszłym semestrze. Tak samo reszty z tych rzeczy jeszcze nie miałem, a równania różniczkowe dopiero za dwa semestry, jak już funkcje wielu zmiennych będą zrealizowane.