prosze o pomoc ;)) wiielomianki buuuuu178: Dany jest wielomian W(x)=x³−kx+3k−27 , k nalezy do R. Wyznacz k, tak aby wielomian mial 3 rozne pierwiastki

Anna: piszę

Anna: Spośród dzielników wyrazu wolnego wybieram x=3. W(3) = 27−3k+3k−27=0 Czyli x₁= 3. Dzielimy dany wielomian przez dwumian (x−3) , można sposobem Hornera: 1 0 −k 3k−27 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 3 1 3 9−k 0 Czyli wynik dzielenia to: x²+3x+9−k = 0 Pozostałe 2 pierwiastki muszą być różne, zatem musi być Δ>0. Δ=9−4(9−k) > 0 9−36+4k > 0 4k > 27 /:4

	3
k > 6
	4

	3
Odp. k∊(6		, ∞)
	4

buuuuu178: pomoglo, dzieki

Vax: Anna, zapomniałaś o przypadku kiedy jakiś pierwiastek trójmianu jest równy 3, zajdzie to dla k=27, które powinniśmy w końcowym wyniku odrzucić. Pozdrawiam.

ICSP: Witam Vax Zarzucisz jakiś prosty przypadek wielomianu IV stopnia z czterema pierwiastkami rzeczywistymi? Tylko jakiś prosty

Vax: Nie tak łatwo wymyślać przykłady, które by się fajnie liczyło Ale udało mi się taki wykombinować: x⁴+8 x³+13 x²−14 x−8 = 0 Powodzenia, jakbyś miał jakieś pytania pisz, postaram się co jakiś czas tu zaglądać i jakby co odpisywać

Vax: Trzymaj jeszcze jeden przykład, którego standardowymi metodami ciężko by było rozłożyć, bo nie ma wymiernych pierwiastków: x⁴+6 x³+3 x²−14 x−3

ICSP: Dziękuję Zajmę się tymi przykładami dzisiaj

ICSP: No to spróbujmy pierwszy x⁴ + 8x³ + 13x² − 14x − 8 = 0 x⁴ + 8x³ = −13x² +14x + 8 x⁴ + 8x³ + 16x² = 16x² − 13x² + 14x + 8 (x² + 4x) = 3x² +14x + 8 (x² + 4x + y) = 3x² + 14x + 8 + a a = (x² + 4x + y)² − (x² + 4x)² = (x² + 4x + y − x² − 4x)(x² + 4x + y + x² + 4x) = y(2x² + 8x + y) = 2x²y + 8xy + y² (x² + 4x + y)² = 3x² + 14x + 8 + 2x²y + 8xy + y² (x² + 4x + y)² = 3x² + 2x²y + 14x + 8xy + 8 + y² (x² + 4x + y)² = (3+2y)x² + (14+8y)x + (8+y²) i teraz jeśli dobrze zrozumiałem wyrażenie po prawej stronie musimy doprowadzić do pewnego kwadratu aby po przeniesieniu tego wyrażenia na drugą stronę można było zastosować wzór a²−b²=(a−b)(a+b) ? (3+2y)x² + (14+8y)x + (8+y²) warunek: Δ = 0 Δ = (14+8y)² − 4(3+2y)(8+y²) = 196 + 224y + 64y² −4(24 + 3y² + 16y + 2y³) = 64y² +224y + 196 − 96 − 12y² − 64y − 8y³ = −8y³ + 64y² − 12y² + 224y − 64y + 196 − 96 = −8y³ + 52y² + 160y + 100 −8y³ + 52y² + 160y + 100 = 0 2y³ − 13y² −40y −25 = 0 Dla y = −1 2 * (−1)³ − 13*(−1)² − 40*(−1) − 25 = −8 − 13 +40 − 25 = 0 Czyli równanie jest spełnione dla y = −1 (x² + 4x + y)² = (3+2y)x² + (14+8y)x + (8+y²) (x² + 4x −1)² = x² + 6x + 9 (x² +4x − 1)² = (x+3)² (x² + 4x − 1)² − (x+3)² = 0 (x² + 4x − 1 − (x+3)(x² + 4x − 1 + x + 3) = 0 (x² +3x −4)(x² + 5x + 2) = 0 x² + 3x −4 = 0 Δ = 25 x₁ = 1 x₂ = −4 x² + 5x + 2 = 0 Δ = 17 chyba się gdzieś pomyliłem:(

	−5 − √17
x1 =
	2

	−5 + √17
x2 =
	2

	5−√17
(x2 +3x −4)(x2 + 5x + 2) = 0 ⇔ (x−1)(x+4)(x + U{5 +√17]{2})(x +
	2

	−5 − √17		−5 + √17
Odp x1 = 1 v x2 = −4 v x3 =		v x4 =
	2		2

Nie jestem pewien czy dobrze zrobiłem bo ta delta mi dziwna wszyła Jutro zajmę się następnym przykładem Pozdrawiam

Vax: Rozumowanie i wszystkie obliczenia prawidłowe, tak miało wyjść, gratuluję

ICSP: już myślałem że gdzieś się pomyliłem:( Jeśli dobrze zrozumiałem metodę to pozwala ona sprowadzić dowolny wielomian IV stopnia do dwóch trójmianów kwadratowych Pozdrawiam chyba ten nawyk od ciebie przejąłem

Vax: Tak ta metoda pozwala sprowadzić dowolny wielomian czwartego stopnia do iloczynu dwóch trójmianów kwadratowych, pamiętaj jednak, że w tym równaniu 3 stopnia nie zawsze znajdzie się taki ładny pierwiastek Jak otrzymany wielomian nie ma pierwiastków wymiernych można w ostateczności użyć wzorów Cardano. Pozdrawiam

ICSP: Drugi przykład: x⁴ + 6x³ + 3x² − 14x − 3 zakładam że to jest = 0 x⁴ + 6x³ + 3x² − 14x − 3 = 0 x⁴ + 6x³ = −3x² + 14x + 3 x⁴ + 6x³ + 9x² = 9x² − 3x² + 14x + 3 (x²+3x)² = 6x² + 14x + 3 (x² + 3x + y)² = 6x² + 14x + 3 + a a = (x² + 3x + y)² − (x²+3x)² = (x² + 3x + y − x² + 3x)(x² + 3x + y + x² + 3x) = y(2x² + 6x + y) = 2x²y + 6xy + y² (x² + 3x + y)² = 6x² + 14x + 3 +2x²y + 6xy + y² (x² + 3x + y)² = 6x² + 2x²y + 14x + 6xy + 3 + y² (x² + 3x + y)² = (6+2y)x² + (14+6y)x + (y²+3) Δ = (14+6y)² − 4(6+2y)(y²+3) = 196 + 168y + 36y² −4(6y² + 18 + 2y² + 6y) = 196 + 168y + 36y² − 24y² − 72 − 8y³ −24 = −8y³ + 14y² + 144y + 124 = −4(2y³ − 3y² − 36y −31) Δ = 0 ⇔ 2y³ − 3y² − 36y −31 = 0 dla y = −1 2 * (−1)³ − 3 * (−1)² − 36 (−1) − 31 = −2 −3 +36 −31 = 0 y = −1 jest rozwiązaniem tego równania. (x² + 3x −1)² = (6+2y)x² + (14+6y)x + (y²+3) (x² + 3x −1)² = 4x² + 8x + 4 (x² + 3x −1)² = (2x+2)² (x² + 3x −1)² − (2x+2)² = 0 (x² + 3x −1 −2x − 2)(x² + 3x −1 + 2x +2) = 0 (x² +x − 3)(x² +5x +1) = 0 x² + x − 3 = 0 Δ = 13 √Δ = √13

	−1 + √13
x1 =
	2

	−1 − √13
x2 =
	2

x² + 5x + 1 = 0 Δ = 21 √Δ = √21

	−5+√21
x1 =
	2

	−5−√21
x2 =
	2

x⁴ + 6x³ + 3x² − 14x − 3 = 0 ⇔

	−1 + √13
x1 =
	2

	−1 − √13
x2 =
	2

	−5+√21
x3 =
	2

	−5−√21
x4 =
	2

ICSP: Teraz jak patrzę na te przykłady to jeżeli y musiałbym liczyć ze wzorów Cardano to później równania kwadratowe nie miały by ładnych współczynników a co za tym idzie ich pierwiastki były by wyjątkowo paskudne? Pozdrawiam.

Vax: No niestety, korzystając z tej metody czasem trzeba pracować na ,,brzydkich" liczbach, zdarza się to nawet jeżeli pierwiastkiem jest liczba całkowita, jednak ta metoda jest o tyle dobra, że dzięki niej można znaleźć pierwiastki dowolnego wielomianu 4 stopnia Jednak często w ,,brzydkich" liczbach można szukać wzorów skróconego mnożenia, przykładowo w takim wielomianie: x³+x−2 = 0 Zauważamy od razu, że pierwiastkiem jest x=1, jednak idąc metodą Cardano mamy: x³+x−2 = 0 x = u+v (u+v)³+(u+v)−2 = 0 u³+v³+(u+v)(3uv+1)−2 = 0 {u³+v³ = 2

	1
{uv = −
	3

{u³+v³ = 2

	1
{u3v3 = −
	27

Są to wzory Viete'a dla trójmianu o pierwiastkach u³,v³ więc możemy ułożyć z nich takie równanie, przyjmując bso, że współczynnik kierunkowy = 1

	1
z2−2z−		= 0
	27

	2 ± 4√7/27
z =
	2

x = ³√1−2√7/27 + ³√1+2√7/27 Wydawać by się mogło, że z tego wyniku do 1 trochę daleko, jednak zauważając, że 1±2√7/27 =

	3±√21		6
(		)3 wszystko nam się od razu redukuje i otrzymujemy ... =		= 1
	6		6

Dodatkowo to zawinięcie też się nie wzięło z kosmosu Można to wyprowadzić tak, szukamy takich wymiernych a,b aby zachodziło: (a+b√7/27)³ = 1+2√7/27 Czyli

	7		7
a3 + 3√7/27a2b +		* ab2 +		√7/27b3 = 1+2√7/27
	9		27

Skąd możemy oczekiwać:

	7
{ a3 +		ab2 = 1
	9

	7
{ 3√7/27a2b +		√7/27b3 = 2√7/27
	27

Skąd po skróceniu w drugim równaniu pierwiastków otrzymujemy:

	7
{a3 +		ab2 = 1
	9

	7
{3a2b+		b3 = 2
	27

I po rozwiązaniu otrzymujemy ładny wynik:

	1
{a =
	2

	3
{b =
	2

Stąd:

	1		3		3+√21
1+2√7/27 = (		+		√7/27)3 = (		)3
	2		2		6

Pozdrawiam.

ICSP: Dziękuję bardzo

Mariusz: Można napisać program np w Javie który będzie losował takie współczynniki (aby się ładnie liczyło ) Ja taki napisałem (losuje pierwiastki i korzysta ze wzorów Viete aby wyświetlić współczynniki albo losuje współczynniki dwóch trójmianów kwadratowych , mnoży je i wyświetla współczynniki)

Mariusz: Vax podał użytkownikowi ICSP najprostszy sposób znajdowania pierwiastków równania czwartego stopnia Można by jeszcze wymnożyc dwa trójmiany w postaci ogólnej i porównac współczynniki Otrzymamy wtedy układ równań którego prowadzi do równania szóstego stopnia (x²+px+q)(x²+rx+s)=x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀ Po wymnożeniu trójmianów i porównaniu współczynników dostajemy układ równań p+r=a₃ q+s+pr=a₂ rq+ps=a₁ qs=a₀ Bez straty ogólnosci moźemy założyc że a₃=0 (wystarczy liniowe podstawienie którego można dokonac chociażby schematem Hornera na podstawienie to dośc łatwo wpaśc jeśli znamy dwumian Newtona)

	a3
Tutaj po podstawieniu x=y−		a przed rozkładem na iloczyn dwóch trójmianów
	4a4

warto rozpatrzyc przypadek równania dwukwadratowego osobno Jeżeli nie założyliśmy że a₃=0 to rozwiązanie otrzymanego układu prowadzi do rozwiązania równania szóstego stopnia które to może byc sprowadzone do równania trzeciego stopnia

	a3
np na y2 podstawieniem p=		+y
	2

Tutaj warto najpierw sprawdzic czy możemy wielomian "zawinąc we wzór skróconego mnożenia" na kwadrat (trójmianu kwadratowego) bądź czwartą potęgę dwumianu Można też użyc metody analogicznej do tej której używaliśmy do rozwiązywania równań trzeciego stopnia jednak nie byłaby ona prostsza od tej którą pokazał Vax Vax pewnie lepiej ubrałby w słowa to co napisałem

Don: X3−3x=12−x

Mila: x³−3x=12−x⇔ x³−2x−12=0 − brak pierwiastków wymiernych ( sprawdź!) p=−2 q=−12

	p		q		−2		−8
Δ=(		)3+(		)2=(		)3+(−6)2=		+36>0⇔
	3		2		3		27

Równanie ma jeden pierwiastek rzeczywisty. Teraz w zależności od potrzeb: − rozwiązujesz graficznie ( przybliżone rozwiązanie równania) f(x)=x³−3x, g(x)=12−x x≈2.6 lub − metoda Cardano

Mariusz: x³−2x−12=0 x=u+v (u+v)³−2(u+v)−12=0 u³+3u²v+3uv²+v³−2(u+v)−12=0 u³+v³−12+3(u+v)uv−2(u+v)=0

	2
u3+v3−12+3(u+v)(uv−		)=0
	3

u³+v³−12=0

	2
3(u+v)(uv−		)=0
	3

u³+v³−12=0

	2
uv−		=0
	3

u³+v³=12

	2
uv=
	3

u³+v³=12

	8
u3v3=
	27

	8
t2−12t+		=0
	27

	8
(t−6)2−36+		=0
	27

	972−8
(t−6)2−		=0
	27

	964
(t−6)2−		=0
	27

	2892
(t−6)2−		=0
	81

	54−2√723		54+2√723
(t−		)(t−		)=0
	9		9

	162−6√723		162+6√723
(t−		)(t−		)=0
	27		27

x=u+v

	1
x=		(3√162−6√723+3√162+6√723)
	3

Co można też zapisać jako

	1		2
x=		3√162+6√723+
	3		3√162+6√723

Gdybyś miał −x³−3x=12−x to łatwiej byłoby ci zgadnąć pierwiastek