Wzory Cardano ICSP: Mógłby ktoś mnie nauczyć jak rozwiązywać wielomiany III stopnia wzorami Cardano?

Trivial: ISCP, I'm sure Wikipedia can. Tak na poważnie, to te wzory są straszne.

ICSP: Chodzi mi o to że Wikipedia uczy bardzo niezrozumiale dla kogoś kto nie jest na studiach.

Trivial: Myślę, że wzory Cardano nie są potrzebne komuś, kto nie jest na studiach albo ich nie ukończył. Mimo wszystko zobaczyłem nawet artykuł o tym i nie jest tak strasznie... http://pl.wikipedia.org/wiki/R%C3%B3wnanie_sze%C5%9Bcienne#Podsumowanie

Vax: Sekunda, już piszę

Vax: Mając równanie ogólne 3 stopnia: ax³ + bx² + cx + d = 0

	b
Podstawieniem x = y −		sprowadzamy je do postaci:
	3a

y³ + Ay + B = 0 Teraz dokonujemy podstawienia: y = u+v: (u+v)³ + A(u+v) + B = 0 u³+v³+(u+v)(3uv+A)+B = 0 Teraz z tego wynika: {u³+v³ = −B {3uv = −A ⇒ {u³+v³ = −B

	A3
{u3v3 = −
	27

Zauważmy, że są to wzory Viete'a dla pewnego trójmianu kwadratowego o pierwiastkach u³ oraz v³, czyli mamy (równanie kwadratowe postaci ax²+bx+c, nie mylić współczynników i niewiadomej z tymi na początku tematu, nie chce mi się stosować innych ):

−b		c		A3
	= −B oraz		= −		, zauważmy, że możemy przyjąć, iż a=1, wybierając inne
a		a		27

,,a" pierwiastki nam się nie zmienią (możesz sprawdzić ) z tego otrzymujemy b = B oraz c =

	A3
−		czyli nasze równanie którego pierwiastkami są u3 oraz v3 ma postać:
	27

	A3
x2 + Bx −		= 0
	27

Teraz liczymy pierwiastki, niech to będą x₁ oraz x₂, wtedy: y = u+v = ³√x₁ + ³√x₂

	b		b
Czyli x = y−		= 3√x1 + 3√x2 −
	3a		3a

I w ten sposób właśnie to rozwiązujemy Teraz podam przykład: x³+6x²−x−30 = 0 x = y − 2 (y−2)³+6(y−2)²−(y−2)−30 = 0 y³−13y−12 = 0 y=u+v u³+v³+(u+v)(3uv−13)−12= 0 {u³+v³ = 12

	2197
{u3v3 =
	27

u³ i v³ są pierwiastkami równana:

	2197
z2 − 12z +		= 0
	27

	70i
√Δ =
	3√3

	12± 70i/3√3		35i		i
z =		= 6 ±		= (2±		)3
	2		3√3		√3

	i		i
y = 3√x1+3√x2 = 2+		+2−		= 4
	√3		√3

Czyli x = y−2 = 2 Jeżeli znajdziesz już współczynniki u oraz v, to możesz znaleźć pozostałe 2 pierwiastki (często zespolone), wyznaczasz je przez przemnożenie wyliczonych u,v przez kolejne pierwiastki 3 stopnia z jedynki, innymi słowy, jeżeli u₁,v₁ spełniają nasz układ, to spełniają go również: {u₂ = e^2iπ/3*u₁ {v₂ = e^4iπ/3*v₁ oraz {u₃ = e^4iπ/3*u₁ {v₃ = e^2iπ/3*v₁ No i to by było chyba na tyle Pozdrawiam.

ICSP: yyy to może ja to jutro przeanalizuje i spróbuje zrobić jakiś przykład.

Trivial: ICSP, jak dla mnie to w Wikipedii jest podobnie wyjaśnione.

ICSP: może i podobnie, tylko tutaj ma od razu wszystko ładnie wypisane.

teofrast: Witam wszystkich. Równanie 3. stopnia można także rozwiazać innymi sposobami...Wskazany przez Vaxa jest najbardziej «klasycznym», niemniej istnieją i inne, np. już po zredukowaniu do postaci x³ + qx + r = 0 [*] możemy posłużyć się tożsamością [**] a³ + b³ + c³ − 3abc = (a+b+c)(a+eb+e²c)(a+e²b+ec) gdzie e = −1/2 − i √3 / 2 , tzn. = [ a − (−b−c) ] [ a − ^{b+c+√3(b−c) i} ₂ ] [ a − ^{b+c−√3(b−c) i} ₂ ]. Jeśli teraz położymy a = x, −3bc = q, b³ + c³ = r, to lewa strona [*] poprzez w/w tożsamośc [**]i podstawienie zostaje rozłożona na 3 czynniki − z których mamy automatycznie poszukiwane pierwiastki równania. Pozostaje wyznaczyć b oraz c z układu równań : ( b³ + c³ = r, & −3bc = q ) : ( b³ + c³ = r & c = − ^q_3b ) ⇒ ( (b³)² − rb² − ^q2₂₇ = 0 & c = − ^q_3b ) . skąd otrzymujemy: b = ³√ r/2 ± √ r²/4 + q³/27 , c = ³√ r/2 ∓ √ r²/4 + q³/27 . Stąd i z faktoryzacji [**] wyliczamy poszukiwane pierwiastki. ( sprawa się nieco komplikuje, gdy r²/4 + q³/27 < 0, bo wtedy z otrzymanych formuł nie wynika bezpośrednio, że wszystkie trzy pierwiastki są rzeczywiste...) ___________________________________________________________________________ Pierwszy pierwiastek rzeczywisty równania [*] możemy wyliczyć także metodą «angielską» dokonując podstawienia x = ³√y + a / ³√y , ( a jest pewnym nieznanym na razie parametrem) Podstawiając to do [*] doprowadzamy [*] do postaci: y² + ry + a³ + ( 3a + q )xy = 0. Kładąc 3a + q = 0 mamy a = −q / 3 ⇒ x = ³√y − q / 3³√y i [*] przyjmuje postać : y² + ry + q³ /27 = 0 ⇒ y = −r / 2 ± √ r² / 4 + q³ / 27 , skąd po drobnych przekształceniach otrzymujemy formułę Cardana. UWAGA Dla równania postaci x³ + px² + qx + r = 0 można dokonać bezpośredniego analogicznego postawienia x = ³√y / 3 + 3a / ³√y + b, za pomoca którego przy a = ^{p2 − 3q}₉ oraz b = −^p₃ przechodzi w równanie kwadratowe : y² + (2p³ − 9pq +27r )y + (p² − 3q)³ = 0. Pozdrawiam, <teofrast> PS. Vax, obraziłeś się na mnie ?! nie mam odpowiedzi na moje ostatnie zadanie...

ICSP: Nic z tego nie rozumiem chyba najlepiej będzie się tego na przykładach uczyć. Da ktoś jakiś?

ICSP: rzuci ktoś jakiś łatwy przykład?

Vax: x³−3x²−18x+40=0

ICSP: x³ − 3x² − 18x + 40 x = y + 1 (y+1)³ − 3(y+1)² − 18(y+1) + 40 = y³ + 3y² + 3y + 1 − 3y² + 6y + 3 − 18y − 18 + 40 = y³ − 9y + 26 y³ − 9y + 26 Dobrze do tego momentu?

Vax: Jeden błąd, −3(y+1)² = −3y²−6y−3

ICSP: fakt. y³ − 21y + 20 = 0 Teraz dobrze?

Vax: Tak.

ICSP: w takim razie y³ − 21y + 20 = 0 y = u + v u³ + v³ + (u+v)(3uv − 21) + 20 = 0 u³ + v³ = −20 uv = 343 x² − 20x + 343 dobre mi to równanie kwadratowe wyszło?

Vax: u³v³ = 343, a równanie kwadratowe dobre

ICSP: rzeczywiście zgubiłem sześciany. tak więc x² − 20x + 343 = 0 Δ = 400 − 1372 = −972 √Δ = i√972 = 18√3i

	20 ± 18√3i
x =		= 10 ± 9√3i hmm to nie jest przypadkiem równe (1 + √3i)3
	2

Vax: Równanie kwadratowe złe, powinno być x²+20x+343=0, następnie zauważamy, że −10±9√3i = (2±i√3)³

ICSP: zauważamy y = 2 + i√3 + 2 − i√3 = 4 x = y+1 x = 5 co teraz?

Vax: No i otrzymaliśmy jeden z pierwiastków wielomianu, teraz jeżeli chcesz wyznaczyć 2 pozostałe, to jak pisałem ostatnio mnożysz nasze u i v przez pozostałe pierwiastki trzeciego stopnia z jedynki, pozostałymi dwoma rozwiązaniami są: x₂ = y+1 = u+v+1 = (2+i√3)*e^2iπ/3 + (2−i√3)*e^4iπ/3 + 1 x₃ = y+1 = u+v+1 = (2+i√3)*e^4iπ/3 + (2−i√3)*e^2iπ/3 + 1 Lub po prostu podziel dany wielomian przez x−5, albo jeżeli nie lubisz dzielić podstaw y=x+5, wyjdzie na to samo Pozdrawiam.

Vax: Oczywiście jeżeli chcesz otrzymać prostszą postać, to rozwijasz e^2iπ/3 i e^4iπ/3 ze wzoru Eulera i liczysz

Basia: Tu masz nieźle opisane wzory Cardano http://www.math.us.edu.pl/~pgladki/faq/node127.html

ICSP: Dziękuję wszystkim za pomoc. Spróbuję do tego przysiąść po pierwszym roku studiów kiedy będę znał już lepiej liczby zespolone.

Mariusz: Vax nieźle tłumaczy lepiej niż jakiś tam gładki (Jakiś czas temu trochę pisaliśmy o równaniach trzeciego i czwartego stopnia) Metodę przedstawioną przez Vaxa można tak zmodyfikować aby nadawała się do rozwiązywania równań czwartego stopnia Jeżeli nie zna zespolonych to można przygotować metodę która nie korzysta z liczb zespolonych Równanie trzeciego stopnia sprowadzamy do równania kwadratowego tak jak pokazał Vax Jeżeli równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistch to wracamy do równania trzeciego stopnia w postaci y³+py+q=0 i podstawiamy y=2√−p/3cos(theta) aby sprowadzić równanie do postaci wzoru na funkcje trygonometryczne potrojonego kąta