znalezc ekstrema lokalne funkcji krzysiek: f(x,y)= 3 − x³ − y³ + 9xy mam problem od pewnego momentu f'(x)= − 3x² +9y f'(y)= − 3y² + 9x z tego jak mnie uczyl to powiniem teraz zrobic uklad z f'(x) =0 f'(y)= 0 i znalezc x i y... i tu jest problem bo za nic w swiecie nie chca mi wyjsc z funkcja do 2 potegi nie ma tego problemu... pozniej niby mam liczyc f''xx. f''xy, f'yx, f''yy i obliczyc W(A) co tez nie jest problemem. tylko meczy mnie wyliczenie x i y z tego f'(x)= − 3x² +9y f'(y)= − 3y² + 9x jakby ktoś mógły mi pomoc, naprowadzic bede bardzo wdzieczny.

Vax: { −3x²+9y = 0 /:(−3) { −3y²+9x = 0 /:(−3) {x²−3y = 0 {y²−3x = 0 Odejmujemy stronami: (x−y)(x+y)+3(x−y)=0 (x−y)(x+y+3) = 0 Stąd x=y v x+y=−3 w 1 przypadku wstawiamy np do 1 równania i otrzymujemy x²−3x=0 ⇔ (x,y) = (0,0) v (3,3) w 2 przypadku mamy y=−3−x wstawiamy do 1 i mamy x²+3(x+3) = 0 co nie ma rozwiązań rzeczywistych, skąd wynika, że układ spełniają pary (x,y) = (0,0) v (3,3) sprawdzamy, że funkcja największą wartość równą 30 przyjmuje dla (x,y)=(3,3) Pozdrawiam.

ICSP: Cześć Vax Pamiętasz jak robiłeś kiedyś zadanie z wielomianami? Miałeś podane wartości w(1) , w(2) ... w(6) a miałeś obliczyć w(0) oraz w(10). NIe pamiętam jakim sposobem to zrobiłeś, ale podałeś nazwę metody którą użyłeś i właśnie ta nazwa by mnie interesowała.

Vax: Pamiętam to zadanie Przy robieniu tego zadania skorzystałem z interpolacji Lagrange'a: http://pl.wikipedia.org/wiki/Interpolacja_wielomianowa Pozwala ona znając wartość wielomianu stopnia n w n+1 punktach wyznaczyć dokładną postać tego wielomianu, dzięki czemu możemy policzyć jego wartość w dowolnym punkcie Pozdrawiam.

krzysiek: dziekuje bardzo

ICSP: ja również dziękuję

ICSP: a czy byłbyś jeszcze na tyle miły aby mi odpowiedzieć na jedno pytanie?

Vax: Tak, jak będę w stanie to odpowiem

ICSP: chodzi mi o metodę rozwiązywania równań którą chyba ty kiedyś użyłeś, chyba tam coś było że przerzucało się cos na lewą stronę. Później wyróżnik tego po lewej ma byc równy 0 ale nie jestem pewien.

Vax: Chodzi o rozwiązywanie równań czwartego stopnia metodą Ferrariego ?

Vax: Wszystkie wyrazy z niewiadomą w potędze ≤ 2 przerzucałem na prawą stronę, potem zawijałem lewą w kwadrat sumy/różnicy i wprowadzałem nową zmienną y ? O to chodzi?

ICSP: chyba tak

Vax: No to wytłumaczę tą metodę na prostym przykładzie, przykładowo mamy równanie: x⁴+2x³−13x²−14x+24 = 0 Wszystkie wyrazy z niewiadomą w potędze ≤ 2 przerzucamy na prawą stronę: x⁴+2x³ = 13x²+14x−24 Teraz muszę dodać do obu stron taki składnik, aby lewą stronę można było zawinąć w kwadrat sumy/różnicy (u nas będzie sumy) w naszym wypadku wystarczy dodać samo x²: x⁴+2x³+x² = 14x²+14x−24 (x²+x)² = 14x²+14x−24 Teraz muszę wprowadzić dodatkową niewiadomą, aby móc od niej uzależnić wartość wyróżnika trójmianu kwadratowego po prawej stronie, dążymy do tego aby prawą stronę doprowadzić do kwadratu sumy/różnicy i wtedy po przerzuceniu na lewą stronę będziemy mogli nasz wielomian zapisać w postaci iloczynu dwóch trójmianów, wprowadzamy tak więc nową niewiadomą y: (x²+x+y)² = 14x²+14x−24 +2x²y + 2xy+y² (lewa strona nam się zwiększyła o 2x²y+2xy+y² więc prawa też musi) i grupujemy wyrazy: (x²+x+y)² = (2y+14)x²+(2y+14)x+y²−24 Teraz aby trójmian po lewej dało się zawinąć jak pisałem wcześniej wyróżnik musi wynosić 0, czyli: 0 = Δ = (2y+14)² − 4(2y+14)(y²−24) = (2y+14)(2y+14−4y²+96) = −(2y+14)(4y²−2y−110) Skąd od razu mamy np y=−7, wstawiamy: (x²+x+y)² = (2y+14)x²+(2y+14)x+y²−24 (x²+x−7)² = 0*x² + 0*x + 49−24 (x²+x−7)² = 25 (x²+x−7)²−5² = 0 (x²+x−12)(x²+x−2) = 0 (x−3)(x+4)(x−1)(x+2) = 0 Skąd odczytujemy już rozwiązania Mam nadzieję, że trochę rozjaśniłem ideę tego sposobu. Pozdrawiam.

ICSP: powiedzmy że mniej więcej rozumie. Tylko problem mam z tym wprowadzeniem zmiennej y. Nie wiem dlaczego lewa strona zwiększyła si właśnie o taką wartość, zakładam ze to wynika ze wzoru skróconego mnożenia tylko co w tym wzorze jest a a co b? Mógłbyś to rozpisać troszeczkę dokładniej?

Vax: Zauważ, że na początku mieliśmy: (x²+x)² Po wprowadzeniu zmiennej y mamy: (x²+x+y)² Stąd wartość zwiększyła nam się o: (x²+x+y)² − (x²+x)² = x⁴+x²+y²+2x³+2xy+2x²y − x⁴−2x³−x² = 2x²y+2xy+y² Korzystam ze wzoru: (a+b+c)² = a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac Jeżeli się go nie pamięta, to zawsze można zastosować taki ,,trik": (a+b+c)² = ((a+b)+c)² = (a+b)²+2(a+b)c+c² = a²+2ab+b²+2ac+2bc+c² = a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac Pozdrawiam.

ICSP: już rozumiem Dziękuję bardzo. Jutro spróbuję coś przeliczyć tą metodą. Pozdrawiam