Różniczka dsa123: y'+2xy=xe^−x2 Pomimo wielu przekształcen nie mogę tej różniczki rozwiązać, bo wciąż mam x i y po którejś ze stron. Chyba że trzeba rozwiazać to jakąś metodą której nie znam? Pomożecie>?

Trivial: To równanie jest równaniem liniowym jednorodnym stopnia pierwszego. Równania takie rozwiązujemy według schematu. Schemat z wyprowadzeniem: https://matematykaszkolna.pl/forum/130077.html https://matematykaszkolna.pl/forum/186539.html Przykłady: https://matematykaszkolna.pl/forum/152183.html https://matematykaszkolna.pl/forum/151233.html https://matematykaszkolna.pl/forum/130086.html Do tego zadania: y_j = Ce^−∫2xdx = Ce^−x2, C ∊ R. Sposób pierwszy: metoda przewidywań Przewidujemy rozwiązanie szczególne postaci y_s = Ax²e^−x2 y_s' = 2Axe^−x2 − 2Ax³e^−x2 Podstawiając do równania: 2Axe^−x2 − 2Ax³e^−x2 + 2Ax³e^−x2 = xe^−x2

	1
2Axe−x2 = xe−x2 → A =		.
	2

y(x) = y_s + y_j = ¹₂x²e^−x2 + Ce^−x2, C ∊ R. Sposób drugi: uzmiennianie stałej y = C(x)e^−x2 y' = C'(x)e^−x2 − 2xC(x)e^−x2 C'(x)e^−x2 − 2xC(x)e^−x2 + 2x*C(x)e^−x2 = xe^−x2 C'(x)e^−x2 = xe^−x2 C'(x) = x

	1
C(x) = ∫xdx =np. dla stałej całkowania równej 0=		x2.
	2

y(x) = ¹₂x²e^−x2 + Ce^−x2, C ∊ R.

x3: Rozwiazanie lepiej zapisać w postaci: e^−x2(C₁+C₂+¹₂x²)(to na wypadek gdybyś chciał(a) sprawdzić rozwiązanie) A w ogóle warto wiedzieć,że równanie postaci y'=p(x)y + g(x) rozwiązuje się wg wzoru:y=C₁e^∫p(x)dx +e^∫p(x)dx∫g(x)e^−∫p(x)dxdx , co niejako od razu daje dokładniejsze rozwiązanie

Trivial: x3, można tak, ale metoda przewidywań pozwala ominąć liczenie nieraz niemiłych całek.