rownanie rozniczkowe nat:

	dy
rozwiąż równanie różniczkowe:		= 3x−2y+1
	dx

bardzo was proszę o pomoc, obliczyłam rozwiazanie ogolne rownania jednorodnego i wyszlo mi y=e^ (−2x) *C i dalej cos mi sie miesza, prosze pomozcie

Krzysiek: a dalej to metodą przewidywania y'+2y=3x+1 po prawej stronie masz wielomian stopnia pierwszego więc przewidujesz rozw. w postaci: y=ax+b wstawiasz do równania i obliczasz a,b

Asyy: To teraz uzmienniasz stałą, czyli masz y = C(x)e^−2x y' = C'(x)e^−2x − 2C(x)e^−2x i wstawiasz spowrotem do równania, przy czym C(x) powinno Ci się zredukować i zostać C'(x), z czego później liczysz całkę. Po wyliczeniu C wstawiasz spowrotem do rozwiązania y

nat: Zostało mi C'(x)e^−2x czy jest jakieś działanie, które pominęłam żeby zniknęło mi e^−2x czy Assy za dużo zredukowałeś Ostatecznie z moich obliczeń wychodzi

	3x+1
C(x)= ∫		dx
	e−2x

nat:

	(3x+1)e2x
teraz przez części? wychodzi		−34e2x
	2

	3−eC−2x
W odpowiedziach mam
	2

Krzysiek: http://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+e%5E%282x%29+%283x%2B1%29 jednak nie lepiej było metodą przewidywań?

nat: tak, czy inaczej wynik jest taki sam, ale różny od tego co mam w odpowiedziach w książce...

Trivial: Mamy równanie

	dy
		+ 2y = 3x+1
	dx

Najpierw rozwiążemy równanie jednorodne y_j = Ce^−∫2dx = Ce^−2x. Teraz mamy do wyboru kilka sposobów... Sposób 1 Metoda przewidywań Przewidujemy rozwiązanie postaci y_s = Ax + B, wtedy A + 2(Ax + B) = 3x + 1 2Ax + (A+2B) = 3x + 1

	⎧	2A = 3
	⎩	A+2B = 1

Odczytujemy rozwiązanie

	3		1
A =		B = −		.
	2		4

Zatem

	3		1
ys =		x −
	2		4

Czyli

	3		1
y =		x −		+ Ce−2x.
	2		4

Sposób 2 Uzmiennianie stałej y_s = C(x)e^−2x y_s' = C'(x)e^−2x − 2C(x)e^−2x. (C'(x)e^−2x − 2C(x)e^−2x) + 2C(x)e^−2x = 3x+1

	3x+1
C'(x) =		= (3x+1)e2x
	e−2x

C(x) = ∫(3x+1)e^2xdx Całkowanie przez części: 3x+1 e^2x

	1
−3 ↖		e2x
	2

	1
0 ↖		e2x
	4

Potrzebujemy dowolnego C(x). Wybieramy całkę ze stałą całkowania równą 1.

	1		1		3		1
C(x) =np dla k=0= (3x+1)*		e2x − 3*		e2x = (		x −		)e−2x
	2		4		2		4

	3		1		3		1
ys = (		x −		)e−2x*e2x =		x −		.
	2		4		2		4

Czyli

	3		1
y =		x −		+ Ce−2x.
	2		4

Trivial: oczywiście chodziło o stałą całkowania równą 0.

nat: dlaczego w 3 od dołu linijce jest na końcu e^−2x a nie e^2x

nat: nam wychodzi tak jak Tobie Trival, tylko chodzi o odpowiedź w książce jest inna. W ogóle dzięki za super rozpisanie sposobów

Trivial: powinno być tak jak piszesz.

nat: dzięki