Równania różniczkowe blogther: Proszę o pomoc w rozwiazaniu zadan z rożniczek kompletnie nie mam pojecia jak to zrobic wiec proszę o jakis schemat i rozwiazanie tych oto przykładow i jakis komentarz: 1. Rozwiazać y^' + 2xy = 4x 2. Rozwiazac równanie rózniczkowe y^' + y = xe^3x 3. Rozwiazac y^' = 4x − 2y + 5 4. Rozwiazac równanie rózniczkowe y^' + y = x⁷ + 2sin5x

Trivial: 1. Zmienne rozdzielone lub schemat rozwiązywania równań linowych niejednorodnych stopnia pierwszego. Używając zmiennych rozdzielonych: y' + 2xy = 4x y' = −2xy + 4x y' = −2x(y−2)

	y'
		= −2x lub y = 2
	y−2

ln|y−2| = −x² + c, c ∊ R |y−2| = e^−x2+c y−2 = ±e^−x2*e^c, C = e^c: c∊R ⇒ C>0 y = 2 ± Ce^−x2 Łącząc wszystkie rozwiązania mamy: y = 2 + Ce^−x2, C∊R. 2. Użyjemy schematu. y' + py = q Najpierw rozwiązujemy równanie jednorodne korzystając ze wzoru: y_j = Ce^−∫pdx, C ∊ R y' + y = xe^3x ← u nas p = 1, czyli: y_j = Ce^−∫1dx = Ce^−x. Następnie stosujemy metodę przewidywań lub uzmiennianie stałej aby znaleźć rozwiązanie szczególne y_s. Tutaj może być trudno zgadnąć, więc zastosujemy uzmiennianie. y_s = C(x)e^−x y_s' = C'(x)e^−x − C(x)e^−x Wstawiamy do równania... C'(x)e^−x − C(x)e^−x + C(x)e^−x = xe^3x C'(x)e^−x = xe^3x C'(x) = xe^4x

	e4x		e4x
C(x) = ∫xe4xdx = x*		− ∫1*		dx = // stałe całkowania ignorujemy
	4		4

	e4x		e4x		e4x
= x*		−		=		(4x−1).
	4		16		16

Zatem

	e3x
ys = C(x)e−x =		(4x−1)
	16

Rozwiązaniem jest

	e3x
y = ys + yj =		(4x−1) + Ce−x.
	16

Trivial: Pozostałe równania możesz rozwiązać wg schematu, który podałem.