równanie różniczkowe dulcan: Rozwiązać równanie przy podanym warunku , y(1)=14 y'−4^y_x=12x⁴+6x⁶

dulcan:

Trivial: To równanie liniowe niejednorodne stopnia pierwszego. Takie równanie rozwiążemy w ten sposób: 1. Poszukamy rozwiązania równania jednorodnego. Raz wyprowadzony wzór najlepiej zapamiętać, żeby nie przechodzić przez cały ten proces od nowa. y' + py = 0

	dy
		= −py
	dx

	dy
		= −pdx (albo y(x) = 0 tożsamościowo)
	y

ln|y| = −∫pdx + c ← stała całkowania zapisana jawnie |y| = e^−∫pdx+c = e^c*e^−∫pdx = K*e^−∫pdx, K > 0 y = ±K*e^−∫pdx ale y(x) = 0 również jest rozwiązaniem (otrzymamy dla K = 0), zatem: y = Ce^−∫pdx C∊R. 2. Wystarczy znaleźć rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego, a potem zsumować rozwiązania. Można to zrobić albo uzmienniając stałą rozwiązania równania jednorodnego, ale poprzez metodę przewidywań. Stosując co tego przykładu:

	4
y' −		y = 12x4 + 6x6
	x

y_j = Ce^{−∫(−4/x)dx} = Ce^4lnx = C(e^lnx)⁴ = Cx⁴. Teraz uzmienniamy stałą i wstawiamy do równania. y_s = C(x)*x⁴ y_s' = C'(x)x⁴ + 4*C(x)*x³ C'(x)x⁴ + 4*C(x)*x³ − 4*C(x)*x³ = 12x⁴ + 6x⁶ C'(x) = 12 + 6x² C(x) = 12x + 2x³ ← nie piszemy stałej całkowania, potrzebujemy dowolnego rozwiązania Zatem y_s = (12x + 2x³)x⁴ = 2x⁷ + 12x⁵ Czyli y(x) = y_s(x) + y_j(x) y(x) = 2x⁷ + 12x⁵ + Cx⁴. Trzeba jeszcze znaleźć stałą C z warunku początkowego.

dulcan: Dzięki serdeczne ratujesz mi życie

dulcan: Mam już ostatnie zadanie, z którym mam problem nie wiem do końca jak zrobić

δu		δu		x
	−		=		; K: x=t2, y=0, u=t
δx		δy		u

Równanie różniczkowe cząstkowe rzędu I z funkcją niewiadomą u=u(x,y) Ja rozwiązuje tak:

dx		dy		du
	=		=
1		−1		x   u

	dx		dy
I równ.		=
	1		−1

	dy		du
II równ.		=
	−1		x   u

Z II rownania wyznaczam x dy=−dx/: dx

dy
	=−1/∫()dx
dx

∫dy=−∫dx y=−x+c⇒x=−y+c Pózniej wstawiam wyznaczone x do II równania i wyznaczam za pomoca rozdzielonych zmiennych

dy		du
	=
−1		−y+c   u

	du
dy=−(		)
	−y+c   u

du		−y+c
	=
dy		−u

du		1
	=y*
dy		u

	du
u		=y/ ∫() dy
	dy

∫u du =∫y dy

u2		y2
	=		+c
2		2

No i niestety dalej nie wiem co zrobić

dulcan:

dulcan: wie ktoś moze

Trivial: Muszę przyznać, że nie wiem jak rozwiązuje się takie równania w ogólności, ale widzę 'sposób' na to równanie. Nie znam żadnych typowych podejść, a więc ten sposób może okazać się błędny... Mamy równanie

	∂u		∂u		x
		−		=
	∂x		∂y		u

Lewa strona bardzo przypomina wzór na zamianę zmiennych równania różniczkowego. Przypuśćmy, że chcemy zamienić zmienne (ξ,η) → (x,y). Mamy dobrze znany wzór:

	∂u		∂u		∂x		∂u		∂y
		=		*		+		*
	∂ξ		∂x		∂ξ		∂y		∂ξ

Teraz, jeśli tylko udałoby się dobrać zmienne tak, aby jednocześnie

	∂x
		= 1
	∂ξ

oraz

	∂y
		= −1
	∂ξ

Uzyskalibyśmy lewą stronę. Jednocześnie nie chcemy aby zmienne x,y były zależne. Wybierzmy zatem

	⎧	x = ξ
	⎩	y = −ξ + η

Taki wybór zmiennych spełnia powyższe warunki i równanie upraszcza się do

	∂u		ξ
		=
	∂ξ		u

	∂u
u		= ξ
	∂ξ

Spróbujmy je rozwiązać. Wygląda na to że da się je scałkować! Mamy

	∂u		1
∫u		dξ =		ξ2
	∂ξ		2

	∂u		∂u
Całkę ∫u		dξ możemy rozwiązać przez części. Będziemy całkować		oraz
	∂ξ		∂ξ

różniczkować u.

	∂u		∂u
∫u		dξ = u*u − ∫		udξ
	∂ξ		∂ξ

Przenosimy całkę na drugą stronę i mamy:

	∂u
2∫u		dξ = u2
	∂ξ

	∂u		1
∫u		dξ =		u2 + φ(η)
	∂ξ		2

W wyniku, φ(η) jest 'stałą' całkowania, czyli dowolną funkcją zmiennej η. Mamy zatem!

	1		1
		u2 + φ(η) =		ξ2
	2		2

u² = ξ² + ψ(η) Czyli wracając do zmiennych (x,y) u² = x² + ψ(x+y) OK. Jako że ten sposób to zupełna improwizacja, trzeba sprawdzić czy rozwiązanie w ogóle spełnia równanie. Różniczkujemy po x, potem po y:

	∂u		∂u		2x+ψ'(x+y)
2u		= 2x + ψ'(x+y)		=
	∂x		∂x		2u

	∂u		∂u		ψ'(x+y)
2u		= ψ'(x+y)		=
	∂y		∂y		2u

i wstawiamy do równania (przy okazji modlimy się żeby rozwiązanie zadziałało...)

	∂u		∂u		x
		−		=
	∂x		∂y		u

	2x+ψ'(x+y)		ψ'(x+y)		2x		x
		−		=		=
	2u		2u		2u		u

Wygląda na to że działa!

dulcan: Dzięki wielkie za rozwiązanie, ale jak widzę od razu te psi, fi, eta i inne podobne to jutrzejszy kolos staje się dla mnie czarną magią

Trivial: Z równaniami cząstkowymi pierwszego rzędu raczej Ci nie pomogę. Nie mam pojęcia jakie są sposoby ich rozwiązywania...

dulcan: ok i tak wielkie dzięki za poświęcony czas

AGA: y'+4/x*y=1/x⁷

AGA: jak to rozwiązać

chichi: Rozwiąż równanie jednorodne, później uzmiennij stałą i po kłopocie