całka Magik:

	xearctgx
Obliczyć całkę		. Próbowałem tak:
	√(1+x2)3

	1
u' =		v = earctgx
	√(1+x2)3

	−1		1
u=		v' =		earctgx
	√1+x2		1+x2

Magik: zabrakło znaku "∫" i "dx"

Magik:

J: start dobry , tylko popraw u'

Magik:

	x
będzie u' =		?
	√(1+x2)3

J: tak

Magik: jak dalej to rozbić na części

	earctgx		earctgx
−		+ ∫
	√1+x2		√(1+x2)3

Magik: dx na koncu

Magik: ?

Dawid: tak

Magik:

	earctgx
ale chodzi o tą całkę ∫		jak ją rozbić
	√(1+x2)3

Magik:

Dawid: Za pewne znowu przez części

Magik: no tylko mam problem

Dawid: jaki ?

Magik: jak rozbić przez części dalej

Dawid: Podobnie jak powyżej

Magik: możesz pokazać?

Dawid: Ja sie zastanawiam czy dobrze jest policzona pochodna u'

Magik: bo?

Magik:

Magik:

Magik: pomoże ktoś?

Magik:

Magik:

Magik: Muzykowi nie pomożecie?

ZKS:

	xearctg(x)
J = ∫		dx
	√(x2 + 1)3

x = tg(u) dx = [tg²(u) + 1]du

	tg(u)eu
= ∫		du = ∫ tg(u)eucos(u)du = ∫ sin(u)eudu =
	√tg2(u) + 1

1
	eu[sin(u) − cos(u)] + C =
2

	1		x		1
=		earctg(x)[		−		) + C =
	2		√x2 + 1		√x2 + 1

	x − 1
= earctg(x) *		+ C
	2√x2 + 1

kyrtap: ZKS analizuję

ZKS: Znaczy, że mnie sprawdzasz.

ZKS: Jak coś będzie niejasne napisz.

kyrtap: ZKS szacun , ja jestem z tego słaby

kyrtap: ZKS a gdzie zgubiłeś potęgę 3 w mianowniku

ZKS: Rozpiszę bardziej żeby było jasne kyrtap.

	xearctg(x)
∫		dx
	√(x2 + 1)3

x = tg(u) dx = [tg²(u) + 1]du

	tg(u)eu[tg2(u) + 1]
∫		du
	(tg2(u) + 1)3/2

	3		1
Podczas dzielenia wykładniki odejmujemy 1 −		= −		, więc mamy
	2		2

	tg(u)eu
∫		du.
	√tg2(u) + 1

Dalej już jasne?

kyrtap: teraz wszystko jasne, jeżeli ZKS są arcusy tutaj warto korzystać z definicji aby zastąpić x stojące w całce

ZKS: Wiesz rozwiązując dużo całek w pewnym momencie będziesz widział jakie podstawienie najlepiej zadziała do odpowiedniego przykładu, albo jaką metodą rozwiązać. Jedne z najlepszych podstawień jest właśnie x = tg(u). Rozwiąż całkę

	dx
∫		.
	(x2 + 1)2

kyrtap: czekaj tylko spiszę do zeszyciku ten twój sposób

Dawid: A od czego to zależy czy kiedy robi te podstawienie x=tg(u) ?

ZKS: Wyżej napisałem, że to przychodzi z czasem. Rozwiążesz więcej całek to będziesz wiedział jaka metoda najlepiej zadziała w danej całce. Najlepiej takie podstawienie działa kiedy mamy x² + 1 bądź √x² + 1.

kyrtap: ZKS mogę Cię o coś prosić jeszcze?

Dawid: a skąd te dx=tg²u+1 du ?

kyrtap: Dawid z podstawiania , taka metoda jest

Dawid: No tak ale liczyło się pochodną zawsze więc jak mieliśmy np: t=2x dt=2dx

	1
a pochodna tg(u) to
	cos2x

ZKS:

1		sin2(x) + cos2(x)		sin2(x)
	=		=		+ 1 = tg2(x) + 1
cos2(x)		cos2(x)		cos2(x)

ZKS: O co chodzi kyrtap o ile będę mógł pomóc?

kyrtap:

1		sin2x + cos2x		sin2x		cos2x
	=		=		+		= tg2x + 1
cos2x		cos2x		cos2x		cos2x

Dawid: Oo to już wszystko wiadomo, dziękuje bardzo

kyrtap: jak masz całkę ∫sin(u)e^udu to dalej już przez części ją obliczasz?

ZKS: Tak. Kiedyś Trivial wyprowadzał nawet wzór na tego typu całki przez części. Jak uda mi się znaleźć to Ci podeśle link. Kiedyś magister mi nie uznał zadania kiedy trzeba było napisać pochodną z tangensa to napisałem

	1
właśnie tg2(x) + 1, a on mi mówi, że raczej		nawet mu to rozpisałem a on dalej
	cos2(x)

swoje.

Dawid: https://matematykaszkolna.pl/forum/235587.html

Trivial: https://matematykaszkolna.pl/forum/129434.html

Dawid: To nie tej link

ZKS: Właśnie o to chodzi. Dzięki Trivial przyda się im.

kyrtap: https://matematykaszkolna.pl/forum/279378.html możesz ZKS tutaj zajrzeć bo nie rozumiem pewnej rzeczy a mianowicie rozpisania całki pod koniec

kyrtap: u[tg2(u) + 1] − tg(u) + C skąd się to wzięło

Trivial: https://matematykaszkolna.pl/forum/130466.html Tu też, inaczej

ZKS: To jest rozwiązanie całki przez części. I = ∫ 2utg(u)[tg²(u) + 1]du ∫ 2utg(u)[tg(u)]'du = 2utg²(u) − 2 ∫ tg²(u)du − ∫ 2utg(u)[tg²(u) + 1]du I = 2utg²(u) − 2 ∫ tg²(u)du − I 2I = 2utg²(u) − 2 ∫ tg²(u)du I = utg²(u) − ∫ tg²(u)du = utg²(u) − ∫ [tg²(u) + 1]du + ∫ du = utg²(u) − tg(u) + u + C

ZKS: Pisz jak coś będzie nie jasne postaram się dalej wytłumaczyć.

kyrtap: dzięki ZKS za wyrozumiałość

ZKS: Żaden problem.