całka Monila: ∫ x³sinx dx

daras: części ?

Monila: jak ?

Monila: zapętlam się jak robię przez części

MQ: x³=u, sinx=v'

Monila: = −x³cosx + ∫ 3x²cosx

Monila: i mam tak w kółko robić ?

MQ: No, a teraz 3x²=u i cosx=v'

Monila: ale mi tu kosmos wyszedł

Monila: dzięki

zawodus: Dobrze że nie masz ∫x⁹sinx dx

Monila: teraz jak już wiem jak to rozwiązać to dla mnie pikuś w porównaniu z niektórymi całkami..

Trivial: Jak zawsze polecam "szybkie" całkowanie przez części, które sprawdza się doskonale przy liczeniu całek tego typu. W kolumnie pierwszej liczone są "minus pochodne", w kolumnie drugiej − całki. Na koniec mnożymy je na skos (↘) i sumujemy − od razu mamy wynik. x³ sin(x) −3x² −cos(x) 6x −sin(x) −6 cos(x) 0 sin(x) ∫x³sin(x)dx = (−x³+6x)cosx + (3x²−6)sinx + c.

Nikki: czemu −6? pochodna z 6x to chyba po prostu 6?

daras: to jest dopiero KOSMOS

ZKS: Trivial super sposób jak Ty na to wpadłeś. Gratuluję pomysłu.

Trivial: Nikki, w pierwszej kolumnie liczone są "minus pochodne". ZKS, nie musiałem "wpadać". Na ćwiczeniach mieliśmy różne triki − w tym ten.

Dawid: A jak mnożymy to na skos co z czym ?

Dawid: i czemu tam jest −x³?

ZKS: x³ * [−cos(x)] + 6x * cos(x) = (−x³ + 6x)cos(x) Na skos ↘ czyli x³ z −cos(x) dalej −3x² z −sin(x) następnie 6x z cos(x) i tak dalej.

Dawid: Oki dziękuje bardzo i to stosujemy tylko do całek takiego typu ? x³cosx, x²sinx, x²tg²x itp?

Dziadek Mróz: ∫udv = uv − ∫vdu

	⎧	u = x3 dv = sin(x)dx
∫x3sin(x)dx =	⎩	du = 3x2dx v = −cos(x)	=

	⎧	u = x2 dv = cos(x)dx
= −x3cos(x) + 3∫x2cos(x)dx =	⎩	du = 2xdx v = sin(x)	=

	⎧	u = x dv = sin(x)dx
= −x3cos(x) + 3(x2sin(x) − 2∫xsin(x)dx) =	⎩	du = 1 v = −cos(x)dx	=

= −x³cos(x) + 3(x²sin(x) − 2(−xcos(x) + ∫cos(x)dx)) = = −x³cos(x) + 3(x²sin(x) − 2(−xcos(x) + sin(x))) = = −x³cos(x) + 3(x²sin(x) + 2xcos(x) − 2sin(x)) = = −x³cos(x) + 3x²sin(x) + 6xcos(x) − 6sin(x) = = 3sin(x)(x² − 2) + xcos(x)(6 − x²)

Dawid: Przez części trochę jest liczenia

Dziadek Mróz: Podstawienie nie wchodzi w grę

Dziadek Mróz: Nawet tu przez części proponuje: https://www.symbolab.com/solver/integral-calculator/%5Cint%20x%5E%7B3%7Dsin%5Cleft%28x%5Cright%29dx/?origin=enterkey

Dawid: No tak ale można tak jak napisał to @Trivial

Dziadek Mróz: Przecie Trival przez części liczył

Dawid: Ale szybciej