Całka oznaczona Danieloo: Miałbym 3 całki do policzenia, z którymi nie dałem sobie rady... ∫tg³xdx − podstawiamy x=arctg(t) ∫ln(xⁿ)dx i ∫e^axsin(bx)dx − te dwie przez części Męczyłem, męczyłem, ale wynik i tak mi zły wychodził...

ZKS:

	t3
∫ tg3xdx =		dt
	t2 + 1

tgx = t (tg²x + 1)dx = dt Dalej sobie poradzisz

Basia: ∫ln(xⁿ) dx = ∫n*lnx dx = n∫lnx dx

	1
f(x) = lnx f'(x) =
	x

g'(x) = 1 g(x) = x J = n*[ x*lnx − ∫ x*¹_x dx ] = .... dokończ reszta potem, albo ktoś inny pomoże

Danieloo: ZKS

	t3
Ja właśnie doprowadziłem to do postaci ∫		dt i scałkowałem i wyszło mi:
	t2 + 1

t2		ln|t2 + 1|		tg2x		ln|tg2x + 1|
	−		+ C =		−		+ C
2		2		2		2

	tg2x
A być powinno:		+ ln|cosx| + C i nie wiem gdzie robię błąd.
	2

Aż mi wstyd Basia, rzeczywiście nie pomyślałem o tym, dzięki.

ZKS:

	sin2x		sin2x		cos2x
ln|tg2x + 1| = ln|		+ 1| = ln|		+		| =
	cos2x		cos2x		cos2x

	sin2x + cos2x		1
= ln|		| = ln|		| = −2ln|cosx|
	cos2x		cos2x

ZKS: Więc wszystko się zgadza.

Danieloo: O ja... Muszę zrobić powtórkę z logarytmów chyba... Wielkie dzięki. Jakby jeszcze pod wieczór ktoś tą 3 całkę dał rade byłbym wdzięczny.

ZKS: Masz tutaj wszystko pięknie masz napisane przez Triviala 129434.

Danieloo: Ale ja nie umiem liczb zespolonych...

Danieloo: To ktoś pomógł by przy tej całce przez części ∫e^axsin(bx)dx ? Nie używając oczywiście liczb zespolonych...

	eax(asin(bx) − bcos(bx))
Dodam, że wynikiem końcowym jest		+ C,
	a2 + b2

	eax(sin(bx) − abcos(bx))
A mi uparcie za każdym razem wychodziło		+ C.
	ab2 + 1

Trivial: W zapisie całek będziemy pomijać stałe arbitralne. Dodamy je na końcu. Najpierw policzymy prostszą całkę ∫e^xsin(kx)dx, którą potem wykorzystamy do obliczenia całki o którą pytają w zadaniu. Będziemy całkować e^x, a różniczkować sin(kx), cos(kx). Zauważmy, że ∫e^xdx = e^x [sin(kx)]' = cos(kx)*k = kcos(kx) [cos(kx)]' = −sin(kx)*k = −ksin(kx). Czyli ∫e^xsin(kx)dx = e^xsin(kx) − k∫e^xcos(kx)dx = e^xsin(kx) − k[e^xcos(kx) + k∫e^xsin(kx)dx] = e^xsin(kx) − ke^xcos(kx) − k²∫e^xsin(kx)dx (1+k²)∫e^xsin(kx)dx = e^xsin(kx) − ke^xcos(kx)

	ex
∫exsin(kx)dx =		[sin(kx) − kcos(kx)]
	1+k2

Teraz już z łatwością policzymy całkę ∫e^axsin(bx)dx. Mianowicie

	u = ax du = adx		u		du
∫eaxsin(bx)dx =		= ∫eusin(b*		)
			a		a

	1		b
=		∫eusin(		u)du
	a		a

	1		eu		b		b		b
=		*		[sin(		u) −		cos(		u)]
	a		b   1+( )2   a		a		a		a

	1		eax		b
=		*		[sin(bx) −		cos(bx)]
	a		b   1+( )2   a		a

	1		eax
=		*		[asin(bx) − bcos(bx)]
	a2		b2   1+   a2

	eax
=		[asin(bx) − bcos(bx)].
	a2+b2

Zatem

	eax
∫eaxsin(bx)dx =		[asin(bx) − bcos(bx)] + c.
	a2+b2

Danieloo: O kórde, szczena opada...... Wielkie dzięki, świetna robota i wszystko elegancko zrozumiałem. Chyba mógłbyś wykładowcą zostać...