całki darek: Całkowanie przez części ∫e^xcosxdx=e^xsinx−∫e^xcosx= i nie wiem czy dalej trzeba całkować przez części

darek: sory tak powinno być =e^xsinx−∫e^xsinx

Trivial: Tak trzeba dalej całkować przez części. Można też raz na zawsze pozbyć się tego problemu wyprowadzając wzór i przechodząc na liczby zespolone. ∫e^axcos(bx)dx = ∫e^ax*Re(cosbx+isinbx)dx = Re(∫e^axe^ibxdx) podobnie ∫e^axsin(bx)dx = ∫e^ax*Im(cosbx+isinbx)dx = Im(∫e^axe^ibxdx) Teraz wystarczy policzyć tę całkę. Pomijam stałe.

	e(a+ib)x		eibx
∫eaxeibxdx = ∫e(a+ib)xdx =		= eax*		=
	a+ib		a+ib

	1		a−ib
= eax*		*(cosbx + isinbx) = eax*		*(cosbx + isinbx) =
	a+ib		a2+b2

	acosbx + aisinbx − ibcosbx + bsinbx
= eax*
	a2+b2

	eax		eax
=		(acosbx + bsinbx) + i*		(asinbx − bcosbx).
	a2+b2		a2+b2

Zatem

	eax
∫eaxcos(bx)dx =		(acosbx + bsinbx) + c.
	a2+b2

	eax
∫eaxsin(bx)dx =		(asinbx − bcosbx) + c.
	a2+b2