Ekstrema lokalne
Gosia: Czy ktoś pomoże rozgryźć mi to zadanko dotyczące ekstrema lokalnego dwóch zmiennych?
f(x,y)= 3x3+3x2y−y3−15x
9 wrz 16:45
9 wrz 16:51
Gosia: dzięki, jednak przerobiłam już wikipedię i dalej nie rozumiem
9 wrz 16:53
Krzysiek: a popatrzyłaś na przykład poniżej?
policzyłaś pochodne i przyrównałaś do zera?
9 wrz 16:55
Gosia: tak to mam zrobione, wyszło mi y2=x2 czyli y=x lub y=−x. Podstawiłam pod równanie
3x2+2xy−5=0
9 wrz 16:57
9 wrz 16:58
Krzysiek: no ok i teraz masz dwa przypadki rozwiąż to równania dla y=x i dla y=−x
i otrzymasz szukane punkty.
następnie policz drugie pochodne.
9 wrz 17:01
Gosia: wyszło mi
p1=(−1;−1)
p2=(1;1)
p3=(−√5;√5)
p4=(√5;−√5)
A jak obliczyć tą drugą pochodną?
9 wrz 17:05
Krzysiek: liczysz pochodne drugiego rzędu czyli f''xx , f''xy , f''yx , f''yy
9 wrz 17:07
Gosia: ale te pochodne drugiego rzędu to z czego liczyć, już sama zgłupiałam
9 wrz 17:09
Krzysiek: no skoro policzyłaś pochodne po 'x' i 'y' funkcji f(x,y) to jeszcze raz liczysz pochodne po 'x'
i 'y' z tych pochodnych.
f'x(x,y)=9x2+6xy−15
f''xx(x,y)=18x+6y
9 wrz 17:10
Gosia: f'y(x,y)=3x2−3y2
f'y(x,y)=6x−6y czyli to drugie tak będzie wyglądało?
9 wrz 17:13
Krzysiek: no źle przecież liczysz pochodną po 'y'...
a ile wynosi pochodna (po 'y' ) z (3x2)' ?
9 wrz 17:14
Gosia: no nie wiem
9 wrz 17:15
Krzysiek: to jak policzyłaś wcześniej te pochodne? przecież to jest to samo czy liczysz pochodną z f(x,y)
czy pochodną z pochodnej...
9 wrz 17:16
Gosia: 0?
9 wrz 17:17
Krzysiek: tak
9 wrz 17:18
Gosia: miałam to w zeszycie, ale nie rozumiem jak liczy się pochodne po x i po y.
9 wrz 17:18
Gosia: oki, a mógłbyś mi napisać jak mam policzyćf''xy i f''yx
9 wrz 17:20
Krzysiek: jak liczysz pochodną po 'x' to 'y' traktujesz jako stałą.
jeżeli umiesz liczyć pochodne funkcji jednej zmiennej to i tu nie powinnaś mieć problemów.
9 wrz 17:20
Krzysiek: f''xy czyli liczysz pochodną po 'y' z funkcji f'x (czyli pochodnej po 'x' z funkcji
f(x,y))
9 wrz 17:21
Gosia: a właśnie z tym mam jakiś głupi problem bo nie rozumiem. Przygotowuję się na poprawkę więc
chciałabym by mi to ktoś dobrze wytłumaczył.
9 wrz 17:21
Gosia: no i nie wiem jak mam to policzyć. f'x(x,y)=9x2+6xy−15 tą drugą pochodną
9 wrz 17:24
Krzysiek: przykładowo masz funkcję f(x)=5x
to f'(x)=5
(mam nadzieję,że to wiesz)
więc jeżeli f(x,y)=5xy+6y2
to jak liczymy f'x(x,y) to 'y' to stała czyli możemy wyciągnąć przed pochodną, wiemy też,że
pochodna ze stałej to zero czyli:
f'x(x,y)=5y
9 wrz 17:25
Gosia: czyli 6y?
9 wrz 17:27
Krzysiek: co 6y?
liczyłaś f'xy ?jeżeli tak to źle.
9 wrz 17:30
Gosia: kurczę, no tak liczyłam. To w takim bądź razie 6x?
9 wrz 17:30
Krzysiek: teraz ok. ale nie strzelaj tak tylko pomyśl albo wstaw sobie np. jakąś stałą zamiast 'x' lub
'y'
9 wrz 17:32
Gosia: nie strzeliłam, a jeszcze pytanko dlaczego tu mi napisałeś, że y to stała czyli zero a wyszło
5y?
przykładowo masz funkcję f(x)=5x
to f'(x)=5
(mam nadzieję,że to wiesz)
więc jeżeli f(x,y)=5xy+6y2
to jak liczymy f'x(x,y) to 'y' to stała czyli możemy wyciągnąć przed pochodną, wiemy też,że
pochodna ze stałej to zero czyli:
f'x(x,y)=5y
9 wrz 17:34
Krzysiek: no bo przecież pochodna po 'x' z (6y2) to zero. ale jeszcze zostaje 5xy i pochodna z tego (po
x) wynosi 5y...
9 wrz 17:41
Gosia: Wytłumaczyłeś mi to świetnie. Dziękuję Ci serdecznie
9 wrz 17:42