ekstrema pytanie Marek: Witam. Mam do obliczenia ekstrema z funkcji 3x²y−6xy+y³ i punkty do sprawdzenia: P1(0,0) P2(1,1) P3(1,2) I mam problem z tym, że jeśli licze ekstrem nie patrząc na te punkty to wychodzą mi w (1,1) i (1,−1) i tak tez wychodzi w wolframie. A jak sprawdzam podane punkty to wychodzi mi ekstremum w P2(1,1) i P3(1,2). Z kolei podstawiając P3 do równania wychodzi mi −2 czyli tak jak w przypadku P2. I teraz nie wiem co z tym punktem 3

Marek: up

ZKS: Napisz jak to liczysz bo może czegoś nie uwzględniasz.

Marek: licze wyznacznik i wychodzi mi 6y 6x−6 6x−6 6y no i podstawiam p3 i wychodzi wyznacznik 144 czyli jest ekstremum.

Trivial: f(x,y) = 3x²y − 6xy + y³

	∂f		∂f
∇f = (		,		) = (6xy−6y, 3x2−6x+3y2) = (0,0)
	∂x		∂y

Układ równań upraszcza się do:

	⎧	y(x−1) = 0
	⎩	(x−1)2+y2 = 1

Rozpatrujemy przypadki: 1. y = 0, wtedy drugie równanie przyjmuje postać (x−1)² = 1 Zatem x = 0 lub x = 2. P₀ = (0,0); P₁ = (2,0) 2. x = 1, wtedy drugie równanie to y² = 1 → y = ±1 P₂ = (1,1), P₃ = (1,−1) Liczymy Hesjan.

	∂2f		∂2f
		= 6y;		= 6y
	∂x2		∂y2

	∂2f		∂2f
		= 6x − 6 =
	∂x∂y		∂y∂x

	y x−1 x−1 y
Hf = 6*

Badamy określoność. A₁ = y A₂ = y² − (x−1)² dla P₀ = (0,0): A₁ = 0 oraz A₂ = 0−(−1)² = −1 < 0 → nie ma ekstremum. dla P₁ = (2,0): A₁ = 0 oraz A₂ = 0−(2−1)²= −1 < 0 → nie ma ekstremum. dla P₂ = (1,1): A₁ = 1 > 0 oraz A₂ = 1 > 0 → minimum. dla P₃ = (1,−1): A₁ = −1 < 0 oraz A₂ = 1 > 0 → maksimum.

Marek: no tak, to rozumiem ale pytałem się co z punktem 3 czyli (1,2) Podstawiając go do wyznacznika wychodzi >0

Trivial: Przecież ten punkt nie spełnia układu równań.

Marek: Ok rozumiem, myślałem, że jak mam podane punkty to po prostu omijam badanie punktów stacjonarnych.

Trivial: Można tak pomyśleć. Ale jak prowadzący jest wredny to da takie pułapki.

Marek: Ok, dzieki wielkie za pomoc!