PROblem TOmek: Na płaszczyźnie z układem współrzędnych dane sa punkty A i B oraz proste k i l tworzące z prostą o równaniu y=0 kąty o równych miarach(patrz rysunek). a) wyznacz równania prostych k i l b)Oblicz tangens kąta β A=(4,4) B=(−5,2)

rumpek: Musisz wszystkie zadania z kiełbasy wrzucać na forum ? A nie robić "kilka dni" samemu, aż się uda ? Lub czytać o tym co można wykorzystać w danym zadaniu. a) https://matematykaszkolna.pl/strona/1212.html b) https://matematykaszkolna.pl/strona/1228.html

TOmek: czas, ucieka matura tuż, tuż, nie ma miejsca na zastuj...

TOmek: nadal nie wiem jak to zrobić...

rumpek: Zrobię a) na szybko bo coś za mocno "pioruny walą" koło mojego bloczku No to tak: Masz proste "k i l". Prosta k załóżmy, że jest rosnąca, czyli jej a > 0 (a) i przechodzi przez punkt A(4,4). Prostą "l" załóżmy, że jest malejąca czyli a<0 (−a) i przechodzi przez punkt B(−5,2). Kluczowym w tym zadaniu jest wykorzystanie wiedzy z: https://matematykaszkolna.pl/strona/1212.html. Wpierw jednak oznaczmy sobie jakoś równania tych prostych: Prostą "k" jako np.: y = ax + b, natomiast prostą "l" jako: y = a'x + b'. Korzystając z tego linka wyżej mamy: a = tgα (to wiadome). Natomiast dla prostej "l − tej malejącej" mamy tg(180^o − α) [naprawdę to na rysunku te kąty to: β + α]. Dobra to teraz czas na wzory redukcyjne tg(180^o − α) = −tgα = −a. Czyli a' = −a. Kolejna obserwacja kluczowa to to, że mają wspólne miejsce zerowe. Czyli mamy:

⎧	axo + b = 0
⎩	−a'xo + b' = 0

Podstawiając jedno pod drugie mam: ax_o + b = −a'x_o + b' Zamieniam stronami: 2ax_o = b' − b / : 2

	b' − b
xo =
	2a

To teraz pozostało podstawić to x_o do (ax_o + b = 0 albo −a'x + b' = 0) więc:

	b' − b
a *		+ b = 0
	2a

b' − b
	+ b = 0 / * 2
2

b' − b + 2b = 0 b' + b = 0 b' = −b Mamy kolejną przydatną informację, że b' = −b czyli mamy równania prostych: k: y = ax + b l: y = −ax − b Podstawiasz pod punkty i mam rozwiązanie

rumpek: mamy*, matura tuż tuż? Jakie ty już działy zrobiłeś?

TOmek: o kurcze, dziekuje

TOmek: wszystkie, teraz sie biore za trudniejsze zadania.

rumpek: Wszystkie? Czyli stereometria, prawdopodobieństwo ? Trudniejsze zadania? Jakim ty systemem jedziesz ?

TOmek: Ja za matme wziąłem się prawie rok temu, wszystkie działy mam ogarniete na nawet niezłym poziomie,( prawdopodobieństwo i logarytmy troche mniej), Jedynie prawdopodobieństwo cięzko mi weszło do głowy(ale jak robiłem zadanie z najnowszej matury to wyszło mi dobrze) Nie chce być jakimś 'koksem' z matmy, co robi każde zadania, ja chce tylko mieć jak najwiecej procent z matury rozszerzonej.

rumpek: No zadań takich jak w kiełbasie w ogóle nie dają, jedynie ze stereometrii czasami. Tak się składa, że mam "kiełbasy książkę" i tam jest inny rysunek niż twój I nawet proste są podpisane, więc będziesz musiał zmienić trochę oznaczeń

ICSP: ja bez praktycznie bez nauki z rozszerzonej miałem 80% więc nie musisz wcale robić zadań żeby mieć dużo procent z rozszerzenia.

ICSP: a która to część Kiełbasy?

rumpek: "zielona" czyli druga

ICSP: a która strona jeśli można spytać

ICSP: 58?

rumpek: Oznaczenia do tego poprawionego to: k: y = ax + b l: y = a'x + b' tgα = a a' = −a czyli: k: y = ax + b l: y = −ax − b Pod y = ax + b podstawiasz A(−5,2) Pod y = −ax − b podstawiasz B(4,4)

TOmek: no ale ja nie jestem, jakims wielkim talentem matematycznym, więc musze porządnie, sumiennie pracować.. Co do ksiązki kiełbasy, nie zgadzam sie z Tobą. Jest to jedna z nielicznych ksiązek, która jest sprawdzona przez wielkie grono osób, które pozytywnie sie o niej wypowiadali. Moj kumpel przygotowywał sie tyko na kiełbasie i napisał swietnie maturke

rumpek: Tak

TOmek: tak 58

rumpek: Oficyny są dobre Poza tym na razie nie robię w ogóle zadań, tylko przeglądam te forum Coś myślę, że tak do końca lipca będę umiał dość dobrze kombinatorykę, a do września stereometrie. Za prawdopodobieństwo wezmę się we wrześniu i idę na maturkę

TOmek: każdy ma swoj plan.

ICSP: więc Tomku prosze oto zadanko dla ciebie: Oblicz wartość wyrażenia: sin10^o * cos20^o * cos40^o Pamiętaj aby nie pominąć żadnego toku rozumowania gdyż może to skutkować odjęciem punktów.

rumpek: TOmek to masz tak dla powtórki: Wiedząc, że trójkąt równoramienny ABC gdzie boki AC oraz BC są sobie równe, a ponadto miara kąta ∡ACB wynosi 2 alfa. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt równoramienny ma długość r. Oblicz długość boków ABC. Banalne zadanko

ICSP: wiem że banalne ale tak na rozgrzewkę mu dałem.

rumpek: Że banalne to mówiłem − pisałem o swoim

TOmek: sin10 * cos20 * cos40 jakaś podpowiedź?

ICSP: nie ma podpowiedzi Sam musisz wpaść na rozwiązanie. Wtedy gwarantuje ci że zapamiętasz sposób robienia takich zadań do końca życia.

rumpek: ICSP chyba zrobiłem, i podpowiedź dla TOmka (nie wiem czy dobra) to wykorzystałem

	1
sin2α = 2sinαcosα, a wynik		nie wiem czy dobry
	8

rumpek: Dobra uciekam bo coraz mocniej "błyskawice dają"

ICSP:

	1
brawo rumpku Odp.		jest poprawną odpowiedzią.
	8

ICSP: Ja też uciekam. Muszę jeszcze dziś przejść minimum jedną misję. Będę później.

TOmek: dobra to pierw zajme sie zadanie rumpka: troche mi obrazek nie wyszedł

	1
P=		x2*sin2α
	2

	2P		x2*sin2α
r=		=		=
	a+b+c		2x+2a

	a
sinα=		/x
	x

sinα*x=a

x2*sin2α
	=r wyznaczamy "x" dobrze?
2x+2(sinα*x)

rumpek: Nie wiem nie mam odpowiedzi i nie chce mi się liczyć ale można łatwiej Poza tym kiedyś już dodawałeś to zadanie https://matematykaszkolna.pl/forum/64074.html dlatego je umieściłem

TOmek: cwaniak ale na oko dobrze jest?

rumpek: Kiedyś je robiłeś powinieneś pamiętać. Ja zrobiłbym sposobem całkiem innym: No i teraz patrzę na h i x, chcę te oznaczenia otrzymać więc:

	a		a
tgα =		⇒ h =
	h		tgα

	a		a
cosα =		⇒ x =
	x		cosα

Wzory które wykorzystam to:

	1
P =		* 2a * h
	2

	2P
r =
	a + b + c

Łatwo zauważyć, że ten drugi wzór ma w mianowniku obwód który mogę oznaczyć literką p.

	2P
r =		/ * p
	p

rp = 2P / : 2

	p
P =		* r
	2

Więc tylko przyrównam te pola

p		1
	* r =		* 2a * h
2		2

a   2a + 2 *   cosα		1		a
	* r =		* 2a *
2		2		tgα

	a		a
(a +		) * r = a *
	cosα		tgα

	1		a2
(1 +		) * r * a =		/ : 2
	cosα		tgα

	1		a
r * (1 +		) =		/ * tgα
	cosα		tgα

	1
a = tgα * r * (1 +		)
	cosα

Jak mam "a" to mogę zdziałać cuda jednak tych cudów nie chce mi się pisać i podam tylko odpowiedzi

	1
2a= 2tgαr (1 +		)
	cosα

	1   rtgα(1 + )   cosα
x =
	cosα

No i mam takie odpowiedzi no i błędu u siebie nie widzę Jednakże, Kiełbasa jak to bywa podaje inne odpowiedzi np.: Podstawa:

2r
1   tg(45o − α)   2

Ramię:

r
1   tg(45o − α) * sinα   2

Ale on tu wykorzystał dwusieczne, nie wiem po co ale luz Także myślę, że błędu nie popełniłem a kiełbasa to kiełbasa zawsze jakieś trudniejsze sposoby znajdzie

TOmek:

ICSP: Hodzio jak wróci to zapewne się tym zadaniem zainteresuje. On lubi właśnie takie działanie na literkach a nie na liczbach.

ICSP: Godzio oczywiście.

ICSP: To może coś takiego: W trapez równoramienny wpisano okrąg. Oblicz obwód i pole trapezu jeśli jego kąt ostry ma miarę 60^o a promień okręgu opisanego na tym trapezie jest równy 1cm.

rumpek: ICSP dla mnie to zadanie? Jak dla mnie to zrobię je jutro, bo zaraz szykuję się do spania, bo o 5 trzeba wstać. Zadanie nie wydaje się trudne, skorzystałbym przede wszystkim z : https://matematykaszkolna.pl/strona/874.html Pierwsza zależność, no i oczywiście jakieś tam zależności sinusów cosinusów itp. Ale to trzeba zadanie zrobić

ICSP: Zadanie dla Tomka Przecież to jego temat Niech ma troszkę trudniejsze zadania.

Vax: ICSP ten promień na pewno odnosi się do okręgu opisanego, a nie wpisanego ?

Vax: edit// A ok, może być i tak

ICSP: na pewno

TOmek: wiem ,zajebisty obrazek 180−60=120 1²+1²=c² c=√2

	a−b
x=
	2

	x
cos60=		/*c
	c

cos60*c=x

	√2
x=
	2

	h
sin60=		/*c
	c

sin60*c=h

√3
	*√2=h
2

	√6
h=
	2

teraz korzystamy z takiej zaleznosci https://matematykaszkolna.pl/strona/874.html układ równań b+a=2c

	a−b
x=
	2

b+a=2√2⇒a=2√2−b

√2		a−b
	=		/*2 ⇒√2=2√2−b−b⇒ 2b=−√2+2√2
2		2

2b=√2

	√2
b=
	2

liczę teraz "a"

√2
	+a=2√2 /2
2

2a=3√2

	3√2
a=
	2

czyli mam dane liczę obw.

	√2
b=
	2

	3√2
a=
	2

c=√2

	3√2		√2
Obw=		+2*√2+		=4√2
	2		2

jaki masz tam wyniki

TOmek: i odrazu mam pytanie, bo znam taką zależność ,ze jak okrąg jest wpisany w czworokąt to trójkąt (ten na obrazku) jest prostokątny, lecz jak to udowodnić

ICSP: między czerwonymi prostymi nie ma kąta prostego

TOmek: what?

ICSP: całe rozumowanie źle .

ICSP: według ciebie zależności w takim trapezie wyglądają następująco. Teraz pytanie do ciebie: Ile będą miały kąty przy podstawie oraz przy wierzchołku skoro czerwone odcinki są identyczne?

TOmek: pamietam ,ze kiedyś pytałem sie kogoś z górnej półki i mi przytaknął ,ze tak zawsze jest, albo pomyliłem to z czymś innym.. znasz jakies podobne twierdzenie? P.S zaraz zrobie od początku te zadanie, ale pierw chce to wytłumaczyć

ICSP: możliwe że to twierdzenie jest prawdziwe dla trapezu nierównoramiennego ale pewien nie jestem. Osobiście stawiałbym na trapez prostokątny.

TOmek: 180+α+β=360

ICSP: α i β − kąty wierzchołkowe. Czyli są sobie równe co znaczy że mają po 90^o. Czyli ta figura to kwadrat.

TOmek: myśle,ze masz racje,iz ta zalezność którą podałem występuje tylko w trapiezie prostokątnym.

ICSP: ktoś to najwyżej potwierdzi później Ty masz chyba fajne zadanko do rozwiązania

TOmek: zaraz będę robił, na nowo

TOmek: 180−60=120^o wiemy ,że

	1		1
(		h)2+(		a)2=12
	2		2

	a−b
x=		⇒ 2x=a−b
	2

a+b=2c

	x		1		1
cos60=		⇒		*c=x ⇒ x=		*c
	c		2		2

	h
sin60=
	c

	h
tg60=
	x

	x
ctg60=
	h

Z zależnosci trójkątów 30,60,90 mamy 2c=x h=x√3 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

	h
tg60=
	x

	h
√3=
	x

	h		√3h
x=		=
	√3		3

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− h=x√3

	√3h
x=
	3

−−−−−−−−−−−−−−−− 2x=a−b a+b=2c /wiemy ,ze 2c=x 2x=a−b a+b=x potrzebuje wskazówki..

TOmek:

	1
wiemy jeszcze ,ze		h=r(promien okregu wpisanego)
	2

	2P
r=		P− pole czworokąta
	2c+a+b

	(a+b)*h   2
r=
	2c+a+b

teraz moge to wykorzystac

TOmek: czekajcie mam pomysł, zobaczymy co z tego wyjdzie, jak znacie łatwiejsze sposoby pisac

TOmek: dupa...

rumpek: Mi tam wynik wyszedł jakiś. W mianowniku coś z 7 a w liczniku pamiętam, że chyba coś z √21 było ale to dzisiaj o 6 robiłem także mogłem coś pokręcić, a wyniku nie zapisałem

TOmek: trudne zadanko.. jak na razie wypisałem tylko wszystkie dane, najgorsze ,ze zadnego układu równań nie mogę ukrecic, by wreszcie cos wyszło na czysto

rumpek: na co ci układ równań? Jak robiłem rano to na pewno wykorzystałem twierdzenie cosiunusów, i o tym co pisałem wyżej z zależności: 2c = a + b itp.. sin60^o oraz cos60^o ...

TOmek: c=a−b a+b=2c wychodzi z tego ,ze c=2b czyli ramie "c" jest 2 razy krótsze od podstawy 'b'

TOmek: racja, przeciez tw. cosinusów i zadanie rozwiązane.. tylko juz nie mam siły liczyc ..

rumpek: no nie tylko twierdzenie cosiunusów ... tylko coś jeszcze ...Zadanie jest dość proste

TOmek: banalne jest przeciez

rumpek: Skoro takie banalne to mogłeś zrobić je dobrze za pierwszym podejściem a tu trzy próby i zero pomysłu z "Twojej strony" ...

TOmek: smieszy mnie te Twoje "banalne jest" , 'łatwe to jest', fajnie ,ze jestes dobry z matmy, ale to nie znaczy ,ze musisz sie wywyszać. Bierz przykład z Ety, Jacka, Godzia oni motywują do pracy, Ty przeciwnie, upokazasz. Koniec

rumpek: że banalne to ty napisałeś... Ja odpowiedziałem − skoro takie łatwe to czemu nie rozwiązałeś?

Vax: ICSP Wracając do tego co napisał TOmek z kątem prostym w trapezie równoramiennym, to ma on racje, zauważ, że w trapezie równoramiennym kąty przy tej samej podstawie są równej długości, dodatkowo środek okręgu wpisanego wyznaczony jest oczywiście przez dwusieczne kątów czworokąta, teraz korzystając z tego, że suma miar kątów w czworokącie wynosi 360* mamy: 4α+4β = 360 /:4 ⇔ α+β = 90* czyli istotnie kąt DOA = kąt BOC = 180−(α+β) = 90* Pozdrawiam.

Vax: Oczywiście kąty są tej samej miary, a nie długości, literówka

TOmek: tylko własnie nie wiem, czy ten pierwszy wynik jest dobry. Dobrze by było, gdyby ICSP podał by, bym mógł sprawdzić

rumpek: TOmek a powiem ci tyle, że wcale nie jestem dobry z matmy, mam jeszcze większe problemy niż ty

ICSP: Pierwszy wynik jest zły.

ICSP: Vax przez dwusieczne, tu moje pytanie czy promień okrągu opisanego jest dwusieczną kąta?

rumpek: ICSP wynik to jakiś taki z 7 w mianowniku i chyba √21 gdzieś tam? Bo nie pamiętam już dokładnego

TOmek: Vax czyli w trapezie prostokątnym ,gdzie jest wpisany okrag, to takze występuje trójkąt prostokątny?

Vax: ICSP, nie rozumiem pytania, promień okręgu wpisanego w trapez jest odległością środka okręgu (wyznaczonego przez punkt przecięcia dwusiecznych kątów danego trapezu) od dowolnego boku, dodatkowo próbując przekonać TOmka, że nie ma racji, napisałeś, że kąty AOB i COD są wierzchołkowe, stąd by wynikało, że dany trapez musi być kwadratem, ale to nie jest prawda, przecież punkty A,O,C ani B,O,D nie są współliniowe..

Vax: TOmek tak, w trapezie prostokątnym również w tamtym miejscu występuje kąt prosty co można dowieść w identyczny sposób Pozdrawiam.

Vax: Aha, ICSP promień okręgu OPISANEGO na trapezie jest równy odległości środka danego okręgu od któregoś z wierzchołków, ale zauważ, że środek okręgu wpisanego jest wyznaczony przez dwusieczne kątów, a środek okręgu opisanego, przez środkowe

ICSP: wiec gdzie jest błąd w rozumowaniu Tomka. Wyliczył długość ramienia z twierdzenia Pitagorasa. Jednak albo policzył źle(co jest niemożliwe bo sprawdzałem nie raz) albo jest gdzieś właśnie błąd w rozumowaniu. Ja nie potrafie tego błędu znaleźć.

ICSP: czyli w tym zadaniu tamten kąt nie jest prosty?

Vax: Błąd leży w tym, że TOmek przyjął środek okręgu wpisanego za środek okręgu opisanego, skąd całe zamieszanie

Vax: W dowolnym trójkącie prostokątnym jak i równoramiennym tamten kąt jest prosty, czego dowód pokazałem wcześniej..

Vax: trapezie*

ICSP: to o to chodzi

TOmek: o to chodzi? prawda?

TOmek: skopałem, ten obrazek, juz wiem o co chodzi..

Vax: Środek okręgu opisanego jest wyznaczony przez punt przecięcia symetralnych boków, czyli przez proste prostopadłe do boku przechodzące przez ich środek

TOmek: dziekuje, wszystko juz jest jasne

ICSP: wszystko oprócz wyniku

TOmek: dokładnie, dobrze by było, zeby jakiś PRO zrobił te zadanko

ICSP: ale to jest zadanie dla ciebie My chcemy ci pomóc sie rozwinąć. Oczywiście jakiś PRO może podać odpowiedzi bo jestem pewien że ktoś już to rozwiazał

Vax:

	8√21		6√3
Jeżeli się nigdzie nie pomyliłem, to L =		oraz P =
	7		7

Pozdrawiam.

ICSP: No to masz już poprawne odpowiedzi Teraz wystarczy że znajdziesz sposób rozwiązania

Jack: jeszcze to pierwsze zadanie, można je było zrobić np. przez podobieństwo

TOmek: 2x=a−b a+b=2c

	c
//wiemy ,ze		=x ⇒2x=c ⇒
	2

2x=a−b ⇒ c=a−b ⇒ a=c+b

	c
a+b=2c ⇒ c+b+b=2c ⇒ 2b=c ⇒ b=
	2

ramię trapezu jest 2 razy dłuższe od mniejszej podstawy 2x=a−b ⇒ b=−2x+a

	c		c		3c
a+b=2c⇒a−2x+a=4x ⇒ 2a=6x /:2 ⇒ a=3x ⇒(wiemy		) ⇒ a=3*		⇒a=
	2		2		2

−−−−−−−−−−−−−−− teraz spróbujmy wyrazić x za pomocą "c"

	3c		c		2c
2x=a−b ⇒ 2x=		−		=		=c
	2		2		2

2x=c (przynajmniej wiem ,ze obliczenia się zgadzają) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− nie mam pojecia jak te c obliczyc.... prosze o wskazowki..

TOmek:

Jack: Jeśli oprócz danych na rys. nic więcej nie ma, to "c" nie da się wyliczyć. Mogą być przecież różne trapezy w zależności od "c" − trapezy podobne. (nie czytałem dokładnie poprzednich wpisów − może o tym trapezie jednak coś więcej wiadomo)

TOmek: Okrąg jest opisanym na trapiezie i promien tego okregu ma 1cm, jednak nie wiem jak uzyc tej informacji.

ICSP: Oblicz przekątną trapezu x twierdzenia cosinusów. Następnie ułóż trójkąt prostokątny z przekątną wysokością oraz częścią dłuższej podstawy. Jeśli wszystko dobrze wyliczysz z tego trójkąta będziesz wstanie wyliczyć c. Później to już łatwizna.

Vax: Ja to wyliczyłem zauważając, że promień okręgu opisanego na trójkącie BDC jest równy promieniu okręgu opisanego na trapezie ABCD

TOmek: d−przekątna trapezu

	1		3c
d2=a2+c2−2ac		// a=
	2		2

	3c		3c
d2=(		)2+c2−		*c
	2		2

	9c2		3c2
d2=		+c2−
	4		2

	7c2
d2=
	4

	√7c
d=
	2

d²=h²+(a−x)² myslisz ,ze z tego dam rade wyliczyc?

TOmek: te zadanie znacznie przewyzsza poziom maturki rozszerzonej ...

ICSP: nie to zadanie jest na poziomie matury rozszerzonej. Jednak widzę ze nie możesz sobie z nim poradzić:0 Chociaż tamto z udowodnieniem zrobiłeś?

Trivial: Hello.

ICSP: Proszę Trivial przyszedł Jedyny temat na forum w którym coś się dzieje. Trivialku nie znasz przypadkiem jakiejś metody itteracyjnej?

Trivial: Które zadanie rozwiązujecie, bo nie czytałem całego topicu.

ICSP: tzn są dwa nie rozwiązane. Oblicz: sin10^o * cos20^o * cos40^o oraz W trapez równoramienny wpisano okrąg. Oblicz obwód i pole trapezu jeśli jego kąt ostry ma miarę 60o a promień okręgu opisanego na tym trapezie jest równy 1cm. Z tym drugim Tomek sobie chyba nie poradził a z pierwszym się mierzy. Jak chcesz możesz zrobić drugie

Trivial: Widzę, że bez kartki się nie obejdzie tym razem.

ICSP: Trivial, a moje pytanko?

Trivial: Jakie pytanko?

Godzio: Ten pierwszy to TOmek kilka razy robił, tak to jest jak się idzie działami po kolei i zapomina się poprzednie ... Trzeba mieszać

ICSP: "Trivialku nie znasz przypadkiem jakiejś metody itteracyjnej?"

Trivial: Aha, nie. Znam tylko iteracyjną metodę pierwiastkowania.

ICSP: Itteracyjna metoda pierwiastkowania? Czego ona dotyczy?

Trivial: Pierwiastkowania.

Trivial: Możesz sobie obliczyć np. przybliżoną wartość √3, itd.

ICSP: yyy nie łatwiej na kalkulatorze? Jeśli się nie mylę to do tego się używa pochodnych?

Trivial: Nie. Oczywiście, że łatwiej, ale jak się nie ma kalkulatora pod ręką, to można sobie wyliczyć szybko.

ICSP: To jak to się robi?

Vax: ICSP chodzi o nie korzystanie z kalkulatora, z kalkulatorem nie ma zabawy Ja osobiście do tego typu zadań stosuję metodę bisekcji, przystępnie opisali jej działanie na wiki: http://pl.wikipedia.org/wiki/Metoda_r%C3%B3wnego_podzia%C5%82u Jeżeli szukamy przybliżenia wartości √3, to wystarczy zastosować daną metodę dla wielomianu W(x) = x²−3, zaczynając np od przedziału [1;2] Pozdrawiam.

Trivial: Żeby wyliczyć √a trzeba kilka razy przeiterować.

	1		a
xn+1 =		(xn +		)
	2		xn

Gdzie x₀ zgadujemy (nie ma znaczenia czy trafimy, po kilku iteracjach i tak dostaniemy poprawną odpowiedź − przybliżenie).

ICSP: nie łapię:(

Trivial: Przykład. Będziemy liczyć √2. a = 2, x₀ zgadujemy, np. 1.5:

	1		2
x1 =		(1.5 +		) = 0.75 + 0.66 = 1.41
	2		1.5

oma!

Trivial: Jeżeli potrzebujemy dokładniejszego przybliżenia przechodzimy przez proces jeszcze raz.

	1		2
x2 =		(1.41 +		) = ...
	2		1.41

ICSP: Nadal nie łapię:( skąd wiedziałeś że po 1,5 jest prawidłowy wynik?

Trivial: Nie wiedziałem. No to weźmy np. 2. a=2, x₀=2;

	1		2		1
x1 =		(2 +		) =		*3 = 1.5
	2		2		2

x₂ = ... = 1.41.

ICSP: Dziwne:( Może kiedyś to zrozumiem Co z tymi zadaniami?

TOmek: przyznam się ,ze w trygonometrii skupiłem sie głownie na równaniach trygonometrycznych, więc raczej nie dam rady zrobić tego zadania, a co do tego z planimetrii, poddaje sie.. cały dzien straciłem na te zadanie i nadal nic nie drgnęło.

Trivial: Mogę spróbować to z trygonometrią. Na trapezy jakoś nie mam ochoty...

ICSP: no dobrze. Zrobię to zadanie z trapezem a Trivial postara się zrobić zadanie z trygonometrii. Vax i Godzio wymyślą ci kolejne zadania.

TOmek: Godzio, mieszać działy będę juz niedługo, zakupiłem parę ksiazek z zadaniami tylko i wyłącznie z matur rozszerzonych, lecz na razie męcze kiełbase

TOmek: akurat zadań to ja mam pod dostatkiem, ale dziekuje ,ze się o mnie martwisz

Godzio: Trivial To jest metoda "siecznych" może ? Robiłem coś nią kiedyś, a nie jestem pewien czy to to samo .

ICSP: to wszystko jest styczne Proszę nie bijcie za ten rysunek:( Wyszło troszkę na to że okręgi są współśrodkowe:( no ale troszkę źle to narysowałem. |AD| = c |AB| + |DC| = 2c OBW = 4c P = c|EC|

	2c
|AE| =		= c
	2

	√3
różowy kąt ma 60o zatem oczywiste jest że h =		c
	2

Teraz rozpatrzmy trójkąt AOC układamy w nim twierdzenie cosinusów kąt AOC = 120^o oraz |OA\ = |OC| = 1 |AC|² = 1 + 1 − 2cos120^o |AC|² = 2 − (−1) |AC|² = 3 |AC| = √3 Teraz rozpatrujemy trójkąt ACE c² + h² = |AC|²

	3
c2 +		c2 = 3
	4

	12
c2 =
	7

	2√21
c =
	7

	8√21
Obw =
	7

	2√21		√3		6√7
P = (		)2 *		=
	7		2		7

Trivial: Godzio to jest algorytm Newtona−kogoś.

Trivial: x = sin10^ocos20^ocos40^o

	α−β		α+β
sinα − sinβ = 2sin		cos
	2		2

α−β
	= 10o
2

α+β
	= 20o
2

α−β = 20^o α+β = 40^o → β = 40^o − α 2α = 60^o α = 30^o β = 10^o

	1		1		1
x =		(sin30o − sin10o)cos40o =		(		− sin10o)cos40o =
	2		2		2

	1		1
=		cos40o −		sin10ocos40o.
	4		2

α−β
	= 10o
2

α+β
	= 40o
2

α−β = 20^o α+β = 80^o → β = 80^o − α 2α = 100^o α = 50^o β = 30^o

	1		1		1
sin10ocos40o =		(sin50o − sin30o) =		sin50o −
	2		2		4

	1		1		1		1
x =		cos40o −		(		sin50o −		) =
	4		2		2		4

	1		1		1		1		1
=		cos40o −		sin50o −		=		(cos40o − sin50o) −		.
	4		4		8		4		8

sin50^o = sin(90^o−40^o) = cos40^o.

	1
x =		.
	8

Coś mi się zdaje, że jest jakaś prostsza droga.

ICSP:

	cos10o
yyy przemnóż przez
	cos10o

TOmek: hoho, te zadanie z trygonometrią, przesada

Trivial:

	sin80o
Wcześniej tak robiłem, ale się zawiesiłem jak otrzymałem		.
	8cos10o

Trivial: Metody dookoła świata i tak są lepsze.

ICSP: no nie gadaj. sin80^o = cos10^o. Na tym sie zawiesiłeś?

Basia: Trivial dlaczego się "zawiesiłeś" ? cos10 = cos(90−80) = sin80

Trivial: Ostatnio takie zadania rozwiązywałem rok temu.

TOmek: ICSP: a skąd wiesz ,ze AOC=120?

Trivial: Tak wiem Basiu, wpadłem na to w moim rozwiązaniu dookoła świata (pod koniec). Nie chciało mi się już usuwać i od nowa robić więc wysłałem.

ICSP: https://matematykaszkolna.pl/strona/465.html

Trivial: Tak w ogóle to jest literówka w tym moim jakże genialnym rozwiązaniu. Pod koniec zamiast − powinien być +, ale wynik dobry.

TOmek: Dziekuje ICSP

ICSP: Nie ma za co Godzio albo Vax podali już zadanka?

TOmek: ja już nie chce od Was zadań, mam niemiłe doświadczenie po dzisiejszym dniu

ICSP: ej nawet z pazdro nie zaczęliśmy