jul Julita: Wykaż że ciąg o wyrazie ogólnym an= −¹₂ n−1 jest arytmetyczny

Anna: Pomagam

PLAY: i;>? bo jestem ciekawy;>

Leon: Wystarczy obliczyć trzy pierwsze wyrazy a potem skorzystać z zależności > a3−a2=a2−a1

Jack: wystarczy policzyć a_n+1−a_n i powinna wyjść stała liczba...

Leon: PLAY Ty naprawdę nic nie kumasz

Anna:

	1		1		1		1		3
an+1 = −		(n+1)−1 = −		n −		− 1 = −		n −
	2		2		2		2		2

Sprawdzamy, czy różnica a_n+1 − a_n jest stała.

	1		3		1
an+1 − an = −		n −		− (−		n − 1) =
	2		2		2

	1		3		1		1
= −		n −		+		n + 1 = −
	2		2		2		2

Różnica jest stała, więc ciąg jest arytmetyczny.

Jack: nie nie, to za mało, Leon! Musisz działać na ogólnych wyrazach!

suseł: https://matematykaszkolna.pl/forum/51169.html

Jack: na oko też widać, że mamy do czynienia z czymś przypominającym funkcję liniową... Każda taka funkcja f(n)=a*n+b jest ciągiem arytmetycznym.

Leon: Jack, w sumie można też obliczyć r jaki problem. Bez nerwów...

PLAY: Leon a to było odnośnie czego?

Leon: Odnośnie tego zadania

Gustlik: WAŻNA WŁASNOŚĆ POMIJANA PRZEZ NAUCZYCIELI: Każdy ciąg dany wzorem funkcji liniowej, czyli a_n=an+b (prosta y=ax+b) JEST CIĄGIEM ARYTMETYCZNYM, a różnica tego ciągu jest równa WSPÓŁCZYNNIKOWI KIERUNKOWEMU PROSTEJ, czyli

	1		1
r=a. Zatem ciąg an=−		n−1 jest arytmetyczny (funkcja liniowa y=−		x−1), a
	2		2

	1
róznica r=−		. W dodatku jest to ciąg rosnący, bo r=a>0 − tu kolejna analogia z funkcją
	2

liniową. To taka nieszkolna metoda, ale warto ją znać chocby po to, żeby szybko sprawdzić, czy nie popełnilismy błędu w obliczeniach. A teraz metoda szkolna:

	1		1		1		1		1		1
r=an+1−an=−		(n+1)−1−(−		n−1)=−		n−		−1+		n+1=−		, r
	2		2		2		2		2		2

niezalezne od n − ciag jest arytmetyczny.

Jack: Można policzyć r ale skąd wiesz, że wyraz trzeci i czwarty nie zachowuje się inaczej niż pierwszy i drugi?

PLAY: nom nie kumam nie będę ukrywał matematyka to moja "pięta achillesowa" wole fizykę 100 razy bardziej niż to..... z nią zawsze mam problem

Jack: ciąg akurat malejący bo r<0 ale dobry wpis.

Jack: przecież fizyka to nakładka na matematykę Gdybyś miał dobrego nauczyciela, na pewno byś polubił matematykę...

PLAY: nom w sumie daltego to mnei dziwi i racja nauczyciela miałem do niczego i co roku innego;'| za to z fizyki miałem ekstra babke mloda byla^^ ale spoko wszystko sie rozumiało

Gustlik: Sorki mala pomylka, r=−1/2 ciąg malejący.

Gustlik: Ja coś powiem, dlaczego wielu ludzi ma takie problemy z matmą: po prostu wielu nauczycieli tłumaczy ją w sposób zagmatwany, niezrozumiały dla uczniów, mało obrazowy, a metody rozwiązywania nawet prostych zadań wyglądają tak,jak podróż z Warszawy do Łodzi okrążając równik i bieguny zarazem. Dlaczego np. przesuwanie wykresów funkcji tłumaczy się w sposób jak f(x−3) to o 3 w prawo, a jak f(x+4) to o 4 w lewo? Przecież można wprowadzić wzór y=f(x−p)+q − jak w postaci kanonicznej funkcji kwadratowej y=a(x−p)²+q i odczytać ze wzoru p ze zmianą znaku, a q bez zmiany i potem przesunąć o p w poziomie i o q w pionie wg tych współczynników. Np. y=f(x−3)+4: p=3, q=4, a więc o 3 w prawo i o 4 w górę. Ta metoda na p i q jest bardziej zrozumiała, niż szkolna, poza tym w ten sposób można ujednolicić tę zasadę. Te wspólczynniki p i q działają w każdej funkcji tak samo, jak w kwadratowej, więc czemu stosuje się inną metodę i robi uczniom mętlik w głowie? A ciągi? Dlaczego nie stosuje się analogii np. ciągu arytmetycznego z funkcją liniową, którą tu opisałem? Dlaczego rozwiązuje się je układem równan, zamiast stosować regułę odejmowania numerów wyrazów typu a₉−a₅=4r, aby wyznaczyć róznicę? Dlaczego w wielu szkołach nie wprowadza się schematu Hornera do rozwiązywania zadań z wielomianami, co jest prostsze niż dzielenie w słupku? Przykładów można mnożyć.

PLAY: Gustlik ma racje sa nauczyciele którzy wiedza co robią i uczeń (patrz. ja ) rozumie o co chodzi... Sa jednak wyjątki i to dość sporo które chyba same nie wiedza na czym polega przekazanie wiedzy innym... i do tego w szkole.. nauczyciel zawsze wie co mówi i to rozumie.. trudno im czasem wyjaśnić ze dla kogoś cos może być nie zrozumiale itd. ich odpowiedz częsta "Jak tego nie rozumiesz? przecież to proste" itp. Z góry zakładają ze nikt sie nie uczy jak czegoś nie rozumie.. i jak tu pogodzić jedno z drugim.. Ja niestety przez 3 lata nauki w liceum nie trafiłem na żadnego dobrego albo chociaż normalnego nauczyciela z matmy a szkoda bo może teraz bym sie tak nie bal tej matury z maty

Gustlik: Nie bój się, chłopie, ZDASZ NA PEWNO. TRZYMAM KCIUKI ! POŁAMANIA PIÓRA ! Zajrzyj tu: 50926 , 50925 i tu: 50927 − zamieściłem parę ciekawostek NIE POKAZYWANYCH PRZEZ NAUCZYCIELI, a znacznie usprawniających rozwiązywanie zadań i skracających czas ich rozwiązywania.

Tomek.Noah: fajna analogia do f−cji liniowej ale porpawka ode mnie: ciag to nie funkcja liniowa.. jedynie zaleznosc miedzy nimi jest bardzo duza. Ciag jako w sobie jest juz funkcja ode mnie wskazowka co do nauki... jak czegos nie rozumiesz, staraj to sobie wyobrazic

Jack: Właśnie sie zastanawiałem nad tym. Na pewno każdy funkcja liniowa (o argumentach z N) jest ciągiem arytmetycznym. łatwo to pokazać. Wydaje mi się, że prawdą jest również odwrotne twierdzenie: każdy ciąg arytmetyczny jest funkcją liniową o argumentach w N, tzn. da się zapisać jako f(n)=a*n+b, gdzie a,b∊R (wtedy a to będzie różnica r, b to będzie a₁. W ten sposób otrzymamy wzór ogólny na n−ty wyraz ciągu).

Basia: Oczywiście, że tak Jack a_n=a₁+(n−1)*r = a₁+n*r−r = r*n+(a₁−r) a_n=f(n)=rn+(a₁−r) a=r b=a₁−r