Okrąg i dwie proste styczne PR7: Znajdź równanie okręgu stycznego do prostej k: x+y+13=0 i do prostej m: 7x− y−5=0 w punkcie A(1,2) Proszę wyrozumiałość i przeczytanie tego oraz o szczegółowe rozpisanie, będę naprawdę wdzięczny! nie chce mi to zadanie wyjść − rozwiązałem już kilka takich zadań tylko że okrąg miał przechodzić przez albo początek układu ( i tutaj styczne albo były równoległe, prostopadłe albo po prostu się przecinały ), albo przez dany punkt ale żadna prosta przez niego nie przechodzi − i to mi wychodzi natomiast tutaj gdzieś mam błąd. zadania które zrobiłem : https://matematykaszkolna.pl/forum/408721.html ; https://matematykaszkolna.pl/forum/190719.html ; https://matematykaszkolna.pl/forum/408746.html ; Próbowałem robić tak jak robią to ICSP i Mila powyżej, lecz na tej stronie, autor robi to całkiem inaczej, czyli wyznacza prostą prostopadłą do prostej która zawiera punkt A, tzn nie szuka dwusiecznej... (mowa o stronie : https://zadania.info/d279/1238943 ) czy da się to zrobić tak jak w tych sposobach ICSP i Mila? Bo tutaj mi nie wychodziło to : |x+y+13|/{2} = |7x−y−5|/5{2} stąd mi wyszły dwie dwusieczne kątów jakie tworzą te proste (jedną odrzucamy i zostawiamy tą o równaniu y = −3x−15 bo to na niej jest okrąg ), więc okrąg szukany ma środek S(xs,−3xs−15) następnie próbowałem obliczyć promień lecz chyba tutaj popełniłem błąd, bo przyjąłem że okrąg przechodzi przez punkt (0,0) − tutaj podstawiłem za "y" : −3x−15, bo wtedy xs²+ys²=r², więc mam równanie kwadr. z jedną niewiadomą {xs²+(−3xs−15)²} = |xs+(−3x−15)+13|/{2} {xs²+9xs²+90xs+225} = |xs−3xs−2|/{2} stąd mi wyszło 16xs²+172xs+446=0 xs1=... xs2=... i następnie dwa okręgi o środkach (xs1,ys1) i (xs2,ys2) − "ys1 i ys2" obliczyłem podstawiając kolejno x1 i x2 do równania dwusiecznej y=−3x−15 i stąd następnie obliczyłem promień dla tych okręgów (xs1)²+(ys1)²=r² oraz dla drugiego okręgu (xs2)²+(ys2)²=r² i faktycznie sprawdzając na kalkulatorze graficznym te okręgi są styczne do dwóch prostych k i m oraz przechodzą przez początek układu, ale teraz jak zrobić to dla punktu (1,2)? Próbowałem też od momentu ( cofając się ) gdy miałem równanie dwusiecznej na której leży środek okręgu policzyć to właśnie nie dla punktu (0,0) tylko (1,2) i miałem {(1−xs)²+(2−(−3x−15)²} = |xs−3xs−2|/{2} xs1=... , ys1=... xs2=..., ys2=... a następnie obliczyłem dla nich promienie r = {(1−xs)²+(2−ys)²} ... i wtedy wyznaczając równania tych okręgów faktycznie przechodziły przez punkt (1,2) lecz już nie były styczne do prostej k i m, tzn przecinały je dwa razy. Proszę o wytłumaczenie tego.

Qulka: zaczął od prostej prostopadłej, bo wyjątkowo masz już punkt styczności więc nie trzeba kombinować i go szukać a promień jest prostopadły do stycznej

Qulka: (x+6)²+(y−3)²=50

PR7: ale są dwa takie okręgi ( dwa przypadki )

Qulka: drugi mi się nie zmieścił na obrazku

Qulka: ale analogicznie tylko w dół ... odmierzasz 10 przekątnych od przecięcia zielonej z niebieską i znów rysujesz proste prostopadłe

PR7: czyli tutaj nie da się tego obliczyć takimi sposobami jak w tych linkach z matematykaszkolna pl ?

PR7: ale analogicznie tylko w dół ... odmierzasz 10 przekątnych od przecięcia zielonej z niebieską i znów rysujesz proste prostopadłe przekątynych?

Qulka: jak masz już punkt styczności to po co wyważać otwarte drzwi

Qulka: bo odległość 10√2 to po prostu 10 przekątnych licząc po kratkach (zielona to prosta pod kątem 45° biegnąca po przekątnych)

PR7: tzn dlaczego mi to nie chce wyjść podstawiając nie tak jak autor w tym linku https://zadania.info/d279/1238943 że 7y=−x+15 i wtedy środek (−7y+15,y) tylko tak jak ja robiłem czyli podstawiając dwusieczną y=−3x−15 czyli S(x,−3x−15) to nie chce wyjść? Albo jeśli da się to mogłabyś to rozwiązać proszę

chichi: Już byś chciał schematem lecieć... usiądź pomyśl chwilę... Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do ów stycznej, przecież to jest wiedza z poziomu podstawowego

Qulka: bardziej dookoła to się chyba nie dało jak masz dwusieczną to znajdź jej punkt przecięcia z prostą prostopadłą do danej przechodzącą przez A i będzie dobrze

PR7: usiądź pomyśl chwilę − siedzę nad tym już 5 godzin... a matmę super ogarniam tylko że tego teraz w 2 liceum jeszcze nie brałem No dobra czyli mamy układ równań y=−3x−15 7y=−x+15 stąd S1(−6,3) |S1A|² = (−6−1)²+(3−2)² = 50 czyli mam równanie pierwszego okręgu (x+6)²+(x−3)²=50 a teraz idąc tą metodą jak wyznaczyć równanie drugiego? bierzemy wtedy pod uwagę drugą dwusieczną czyli 7y+−x+15 6y−2x+70=0 stąd S2(29,−2) no i promień r² = 800 czyli (x−29)²+(y+2)²=800

PR7: a teraz idąc tą metodą jak wyznaczyć równanie drugiego? bierzemy wtedy pod uwagę drugą dwusieczną czyli 7y=−x+15 6y−2x+70=0***

Qulka: drugi ma (x−29)²+(y+2)²=800

Qulka: tak ten układ równań rozwiąż

PR7: czyli dobrze zrobiłem − chyba strona się sama nie odświeża i nie widziałaś że napisałem − dzięki za pomoc <3

Mila: Okrąg styczny do prostej k: x+y+13=0 i do prostej m: 7x−y−5=0 w punkcie A(1,2) 1) promień jest prostopadły do prostej m w p. A n− prosta prostopadła do m i A∊n n: x+7y+C=0 i 1+7*2+C=0 ⇔C=−15 n: x+7y−15=0 ⇔x=−7y+15 S=(a, b) leży na prostej n⇔S=(−7y+15, y) i |AS|=r=√(−7b+15−1)²+(b−2)² |AS|=√50*(b−2)²=√50*|b−2|=r 3) Odległość S (a,b) od prostej k jest równa |AS|

|−7b+15+b+13|
	=√50*|b−2|
√2

|−6b+28|=√100*|b−2| −6b+28=10(b−2) lub −6b+28=10*(2−b) b=3 lub b=−2 S=(−7*3+15, 3)=(−6,3) i r²=50*(3−2)²=50 stąd (x+6)²+(y−3)²=50 [ okrąg wpisany w kąt APB ] lub S=(−7*(−2)+15,−2)=(29,−2) i r²=50*(−2−2)²=50*16=800 stąd (x−29)²+(y+2)²=800 okrąg wpisany w kat APC

Mila: Okrąg styczny do prostej k: x+y+13=0 i do prostej m: 7x−y−5=0 w punkcie A(1,2) II sposób − dwusieczne kątów między prostymi: P(x,y)− punkt należący do dwusiecznej

	|x+y+13|		|7x−y−5|
1)		=		⇔
	√2		√50

5|x+y+13|=|7x−y−5|⇔ 5(x+y+13)=7x−y−5 lub 5(x+y+13)=−7x+y+5 Równania dwusiecznych: x−3y−35=0 lub 3x+y+15=0 2) S=(a,b) leży na dwusiecznej kąta BCA lub dwusiecznej kąta ACD SA⊥m w punkcie styczności A n− prostopadła do m n: x+7y−15=0 Przecięcie prostej n z dwusiecznymi wyznaczą środki okręgów stycznych do prostych i przechodzących przez p. A a) x+7y=15 i 3x+y=−15 S₁=(−6,3) i |S₁A|²=50=r² lub x+7y=15 x−3y=35 S₂(29,−2) nie mieści się na rysunku |S₂A|²=800=r² cd. jw.

PR7: Dobra tak jak liczyłem na samym samym początku też by wyszło tylko walnąłem Się rachunkowo i wtedy mamy dwa równania | Okrąg Dla pierwszej dwusiecznej y=−3x−15 {(x−1)²+(2−(−3xs−15))2} = |x+(−3x−15)+13|/ {2} I stąd wyjdzie x= −6, y= −3*(−6)−15= 3 , no i jeszcze promień − |SA|...= ✓50 = 5✓2 (x+6)²+(y−3)²= 50 Oraz dla drugiej dwusiecznej x=3y+35 , S(3y+35,y) || Okrąg {(1−(3y+35))²+(2−y)²} = |(3y+35)+y+13|/ {2} Stąd y = −2, czyli x= 3*(−2)+35= 29 no i potem jeszcze promień Jako odległość środka od punktu A... = ✓800 (x−29)²+(y+2)² = 800 no i wyszło to samo, czyli mamy zrobione to zadanie na 4 sposoby heh

PR7: Dla pierwszej dwusiecznej y=−3x−15 {(x−1)²+((−3xs−15)−2)²} = |x+(−3x−15)+13|/ {2} *** chociaż tutaj jest wyrażenie ()², ale już poprawię do perfekcji