ciągi salamandra: Ciągi geometryczne i arytmetyczne. Mam pytanie bardziej odnośnie tego, dlaczego jest taki akurat algorytm na rozwiązanie takiego zadania − umiem je rozwiązywać, ale nie potrafię sobie wyobrazić, dlaczego właśnie taki algorytm się stosuje, skąd to wynika. Treść zadania: Między liczby 3 i x wstawiono liczbę y tak, że liczby 3,y,x tworzą ciąg arytmetyczny. Jeżeli liczbę y pomniejszymy o 6, to liczby 3,y−6,x utworzą ciąg geometryczny. Oblicz x i y. Moje rozwiązanie: (3,y,x) − ciąg arytmetyczny (3,y−6,x) − ciąg geometryczny

	3+x
y =		/ *2 (z wlasnosci ciągu arytmetycznego an = ((an−1)+(an+1))/2
	2

2y = 3+x (y−6)² = 3*x y²−12y+36 = 3x / (:3)

1
	y2 −4y + 12 = x
3

	1
2y = 3+		y2−4y+12
	3

	1
0=		y2 − 6y + 15 / *3
	3

0 = y²−18y+45 Δ = 324−180 = 144 √Δ = 12 y1 = 3 v y2= 15 1) 2y = 3+x 2*3 = 3+x x = 3 (3,3,3) ciąg arytmetyczny o różnicy r = 0 (3,−3,3) − ciąg geometryczny o ilorazie q = −1 2) 2y = 3+x 2*15 = 3+x 30 = 3+x x= 27 (3,15,27) ciąg arytmetyczny o różnicy r = 12 (3,9,27) ciąg geometryczny o ilorazie q = 3 Domyślam się, że dobrze, jednak wychodzę zawsze z założenia, że nie chce wkuwać algorytmów, tylko zrozumieć dlaczego rozwiązuje się tak, a nie inaczej. Stąd moje pytanie, jak się domyślić przy przeróżnych zadaniach, że trzeba użyć układu równań, tak jak tu, moglibyście podać przykład zadania niewykraczającego poza program szkoły średniej, gdzie również trzeba zastosować układ równań?

a7: a w którym miejscu nie rozumiesz, gdyż

	y−6		x
z własności ciągu geometrycznego		=		stąd (y−6)2=3x
	3		y−6

apotem rozwiązujesz równanie kwadratowe i masz dwa przypadki

a7: https://matematykaszkolna.pl/strona/3874.html

a7: ( w linku jest zadanie z układem równań)

salamandra: wiem, bo sam to rozwiązywałem, nie rozumiem jedynie zasady tych podstawień, że wyliczam x z ciągu geometrycznego, i nagle wstawiam go do ciągu arytmetycznego.

Saizou : Układ równań, tak na 80% będziesz mieć gdy występuje ciąg geometryczny i arytmetyczny. Tutaj masz zadania. Poszukaj tych, gdzie mowa o tych ciągach https://matematykaszkolna.pl/strona/4930.html

a7: jak już udaje Ci się obliczyć "maksimum" z jednych danych" to wykorzystujesz je w drugich "danych" w zadaniu, no tak wygląda ogólnie często rozwiązywanie przecież wszelakich zadań

salamandra: Jestem w trakcie rozwiązywania około 15−tu takich zadań z ciągów, jednak chciałem po prostu dopytać na czym polega zasada, gdyż zaczynam powtarzać cały materiał do matury i nie wiem czy w najbliższym czasie do ciągów wrócę, dlatego chcę to teraz zapamiętać, ponieważ ciągi miałem rok temu i robilem bez problemu takie zadania, a ostatnio, po takiej przerwie od ciągów, nie wiedziałem od czego zacząć.

Saizou : Głowna idea jest taka, żeby zapamiętać własności ciągów dla 3 kolejnych jego wyrazów i z tego tworzyć układ równań (rozwiązywany zazwyczaj metodą podstawiania)

salamandra: Ciąg geometryczny o ilorazie ujemnym, którego pierwsze trzy wyrazy to 4,−6,9 określa się mianem ani rosnącym, ani malejącym, więc jak go określić. W zadaniu mam w treści: Trzy liczby, których suma jest równa 7 są kolejnymi wyrazami malejącego ciągu geometrycznego.

	4
Największa z nich jest iloczynem liczby		przez sumę pozostałych. Wyznacz te liczby.
	3

	4
Zrobiłem warunek, że ten ciąg określa się jako (		*(b+c), b, c)
	3

	4
b2 =		(b+c)*c
	3

	4		4
b2 =		bc +		c2
	3		3

oraz z sumy, po przekształceniach wyszło, że c = 3−b Wyszły mi b1 = −6, b2 = 2. Z tego ciągi: (4,−6,9) − co według mnie nie pasuje, mimo że suma jest faktycznie 7.

	1
(4,2,1) − q =		, suma = 7, więc chyba to jest jedyna odpowiedź, bo pierwszy nie jest ani
	2

malejący ani rosnący?

a@b: 4.−6,9 −−− ciąg geom. przemienny ( ani rosnący, ani malejący) odpada 4,2,1 −−− c.geom. malejący pasuje

salamandra: Znajdzie mi ktoś błąd? Trzy liczby, których suma jest równa 93, są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Te same liczby stanowią pierwszy, drugi i siódmy wyraz ciągu arytmetycznego. Wyznacz te liczby. (a,b,c) − ciąg geometryczny a+b+c = 93 ciąg arytmetyczny: a = a1, b = a2 = a+r, c = a7 = a+6r a+a+r+a+6r = 93 b² = a*c podstawiam za b, a+r oraz za c, a+6r (a+r)² = a(a+6r) a+a+r+a+6r = 93 3a+7r = 93 −> 7r = 93−3a (a+r)² = a(a+6r) a²+2ar+r² = a² +6ar a²−a²+2ar−6ar+r² = 0 −4ar + r² = 0 / *7 −28ar + 7r² = 0 7r*(−4a) + 7r² = 0 Wstawiam za 7r, 93−3a (93−3a)(−4a)+(93−3a)² = 0 Tu się zaczynają kosmiczne liczby, ale nie miałem innego pomysłu −372a+12a²+8649−558a+9a² = 0 21a²−930a + 8649 = 0 7a²−310a+2883 = 0 Δ = 15376 √Δ = 124

	93
a1 =
	7

a2 = 31 I o ile a2 wychodzi dobrze, o tyle a1 powinno się równać 3. Odpowiedź w książce jest taka: Szukane liczby to 31,31,31 lub 3,15,75. Popełniłem gdzieś błąd rachunkowy, czy w ogóle zły pomysł wybrałem?

a7: nie wiem, gdzie jest błąd, ale tu w linku jest rozwiązanie Ety https://matematykaszkolna.pl/forum/18210.html

a7: już widzę błąd tam jest 7r², a nie (7r)²

a7: czyli trzeba pomnożyć przez 49 a nie przez 7 i odpowiednio podstawići liczyć te kosmiczne liczby i wtedy powinno wyjść

salamandra: W którym dokładnie miejscu popełniłem ten błąd?

a7: −4ar+r²=0 |*49 −4*7a*7r+(7r)²=0 podstawiamy pod 7r 93−3a −28a(93−3a)+8649−558a+9a²=0 Δ=784 √Δ=28 a₁=3 lub a₂=31

a7: czy już widzisz, że podstawiłeś pod 7r² 7r , a to trzeba podstawić pod (7r)² czyli 49r²

a7: widzisz? bo nie wiem jak to pokazać 7r²≠(93−3a)² ale 49r² =(7r)²=(93−3a)²

salamandra: Nie rozumiem tej zależności, dlaczego nagle 7r jest objęte nawiasem, w niektórych miejscach nie jest− z czego to wynika? Albo inaczej− to mnożąc przez 7, co powinienem otrzymać gdy pomnoże r² przez to?

salamandra: Nie podstawilem pod 7r² 7r, bo napisałem przecież (93−3a)²

salamandra: Aha, w ten sposób ok, dzięki

a7: ok, czy rozumiesz różnicę między 3*4² a 3²*4²

a7: ok

a@b: .................... .............. r²−4ar=0 r(r−4a)=0 ⇒ r=0 v r=4a dla r=0 −− ciąg stały to a+a+a=93 ⇒ a=b=c=31 dla r=4a a, 5a, 25a 31a=93 ⇒ a=3 to r=12 zatem: a=3, b=15, c=75