równanie iks: Znależć wszystkie rozwiazania w liczbach zespolonych równania x⁴−x³−x²−x−1=0.

wredulus_pospolitus: no to do dzieła ... życzę powodzenia w ich wyznaczaniu

ABC: jeżeli ci to potrzebne do jakichś obliczeń to pierwiastki mniej więcej tyle wynoszą: −0.7748041132154336 1.927561975482925 −0.07637893113374583+0.8147036471703861 i −0.07637893113374583−0.8147036471703861 i a jeśli chcesz wzory zobaczyć, to może w nocy Mariusz coś napisze

piotr: przepis znajdziesz tu http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon11/mon1110.pdf

Mariusz: Ty też je znasz Rozkład na czynniki można przedstawić w sposób zrozumiały nawet dla licealisty Licealiście tzw casus irreducibilis trzeba pokazywać z użyciem trygonometrii Tutaj nie mamy takiego ograniczenia Mając rozkład na czynniki łatwo znaleźć rozwiązania Tutaj przedstawienie wielomianu najpierw w postaci różnicy kwadratów będzie wygodniejsze niż wymnażanie trójmianów kwadratowych w postaci ogólnej bo współczynnik przy x³ nie jest zerowy x⁴−x³−x²−x−1=0 (x⁴−x³)−(x²+x+1)=0;

	x2		5
(x4−x3+		)−(		x2+x+1)=0;
	4		4

	x		5
(x2−		)2−(		x2+x+1)=0
	2		4

	x		y		5		1		y2
(x2−		+		)2−((y+		)x2+(−		y+1)x+		+1)=0
	2		2		4		2		4

	y2		5		1
4(		+1)(y+		)−(−		y+1)2=0
	4		4		2

	5		1
(y2+4)(y+		)−(−		y+1)2=0
	4		2

	5		1
y3+		y2+4y+5−(		y2−y+1)=0
	4		4

y³+y²+5y+4=0

	1		1		1		1
(y+		)3=y3+3y2		+3y		+
	3		3		9		27

	1		1		1
(y+		)3=y3+y2+		y+
	3		3		27

	1		14		1		43
(y+		)3+		(y+		)=y3+y2+5y+
	3		3		3		27

	1		14		1		65
(y+		)3+		(y+		)+		=y3+y2+5y+4
	3		3		3		27

	14		65
w3+		w+		=0
	3		27

w=u+v

	14		65
(u+v)3+		(u+v)+		=0
	3		27

	14		65
u3+3u2v+3uv2+v3+		(u+v)+		=0
	3		27

	65		14
u3+v3+		+3(u+v)(uv+		)=0
	27		9

	65
u3+v3+		=0
	27

	14
3(u+v)(uv+		)=0
	9

	65
u3+v3=−
	27

	14
uv=−
	9

	65
u3+v3=−
	27

	2744
u3v3=−
	729

	65		2744
t2+		t−		=0
	27		729

	65		4225		10976
(t+		)2−		−		=0
	54		2916		2916

	65		15201
(t+		)2−		=0
	54		2916

	65+√15201		65−√15201
(t+		)(t+		)=0
	54		54

	−65−√15201		−65+√15201
(t−		)(t−		)=0
	54		54

	−260−4√15201		−26+4√15201
(t−		)(t−		)=0
	216		216

	1
w=		(3√−260−4√15201+3√−26+4√15201)
	6

	2		1
y+		=		(3√−260−4√15201+3√−26+4√15201)
	6		6

	1
y=		(3√−260−4√15201+3√−26+4√15201−2)
	6

	x		y		5		1		y2
(x2−		+		)2−((y+		)x2+(−		y+1)x+		+1)=0
	2		2		4		2		4

	x		y		√4y+5		2y−4
(x2−		+		)2−(		)2(x−		)2=0
	2		2		2		2(4y+5)

	x		y		√4y+5		y−2
(x2−		+		)2−(		x−		)2=0
	2		2		2		2√4y+5

	1		1		√4y+5		y−2
((x2−		x+		y)−(		x−		))
	2		2		2		2√4y+5

	1		1		√4y+5		y−2
((x2−		x+		y)+(		x−		))=0
	2		2		2		2√4y+5

	1
y=		(3√−260−4√15201+3√−26+4√15201−2)
	6

	1		1		y−2
(x2−		(1+√4y+5)x+		(y+		))
	2		2		√4y+5

	1		1		y−2
(x2−		(1−√4y+5)x+		(y−		))=0
	2		2		√4y+5

Masz rozkład na czynniki kwadratowe więc stąd stosunkowo łatwo otrzymać pierwiastki Gdyby chciał to rozpisać dalej to pewnie byłby problem z zapisem Kiedyś pokazałem ten sposób Vaxowi a on pokazał go użytkownikow ICSP na tym forum Równanie trzeciego stopnia https://matematykaszkolna.pl/forum/99243.html Równanie czwartego stopnia https://matematykaszkolna.pl/forum/98255.html https://matematykaszkolna.pl/forum/98288.html Właśnie bazując na tym pdf pokazałem Vaxowi ten sposób Aby sposób był zrozumiały musiałem się wczytać w ten pdf i opisać mu go dokładniej niż w tym pdf Weźmy metodę Ferrariego Pomysł jest taki aby najpierw przedstawić wielomian w postaci różnicy kwadratów W tym celu grupujesz wyrazy i korzystasz ze wzorów skróconego mnożenia Wyrażenie w lewym nawiasie dopełniłeś do kwadratu ze wzorów skróconego mnożenia i teraz musisz zauważyć że wyrażenie w prawym nawiasie jest trójmianem kwadratowym i będzie ono kwadratem zupełnym gdy jego wyróżnik będzie równy zero Gdybyś liczył wyróżnik od razu to mogłoby się okazać że nie jest on równy zero Musisz więc wprowadzić nową zmienną aby uzależnić od niej wyróżnik Zmienną wprowadzasz tak aby wyrażenie w lewym nawiasie nadal było kwadratem zupełnym i tutaj znowu korzystasz ze wzorów skróconego mnożenia

x-l: No to jest rzeczywiście rozwiązanie dla licealisty

Mariusz: Czego chcesz Wzory skróconego mnożenia mają nawet w podstawówce a w gimnazjum to już na pewno Z rozwiązywaniem równania kwadratowego najpierw spotkałem się na fizyce

	t2
(czas w ruchu przyspieszonym ) s=s0+v0t+a
	2

dopiero później na matematyce Wzory Vieta można otrzymać porównując postać ogólną z postacią iloczynową i także są w liceum Pewnym ograniczeniem dla licealistów może być brak liczb zespolonych ale tzw casus irreducibilis w którym one występują można obejść trygonometrią Tutaj tego ograniczenia nie ma bo w treści jest napisane znaleźć wszystkie rozwiązania w zespolonych

Adamm: Do dużej ilości rzeczy można to dojść w sposób licealny, co nie znaczy wcale, że są (te rzeczy) na poziomie licealnym. Trudno powiedzieć co to znaczy że poziom jest licealny, ale raczej oznacza to coś z czym spotkamy się w liceum. Nie powiedziałbym że to licealny poziom, ale na tym poziomie można cały proces zrozumieć, ale trzeba wystarczająco zapoznać się z tą metodą. Tak, jest do ogarnięcia, nie trzeba wcale aż tak dużo wiedzieć. Ale jest to raczej ciekawostka, w praktyce rozwiązywalibyśmy raczej takie równania jedynie w przybliżeniu (metoda siecznych, Newtona (czyli tkzw. metoda stycznych), metoda mieszana, czy też metoda bisekcji (są oczywiście też inne)).