równanie Adamm: x⁴+4x²−x−1=0 może ktoś mi pokazać jak coś takiego rozwiązać?

Ferarri: Serio? Wzór Ferrariego.

Metis: Wzory Ferrari.

Adamm: wow, nigdy o czymś takim nie słyszałem (sarkazm) prosiłem żeby ktoś mi to pokazał

Ferarri: A już myślałem, że czegoś nie wiesz...

Mariusz: Pomysł jest taki abyś przedstawił ten wielomian w postaci iloczynu dwóch trójmianów kwadratowych Możesz to zrobić używając współczynników nieoznaczonych albo sprowadzając ten wielomian najpierw do różnicy kwadratów Nie obejdzie się bez równania trzeciego stopnia

Mariusz: Na forum Vax oraz ICSP rozwiązywali takie równania https://matematykaszkolna.pl/forum/98255.html https://matematykaszkolna.pl/forum/98288.html https://matematykaszkolna.pl/forum/99243.html Myślę że sposób który im pokazałem wymaga najmniej obliczeń Jeżeli nie znamy zespolonych to możemy użyć trygonometrii O sposobach rozwiązywania takich równań macie np tutaj http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon11/mon1110.pdf

Adamm: dziękuję

Adamm: rozwiązania równania wyszły mi

	√4+2u   −2−u+ ±√−2u−4+[√(4+2u)]/(2+u)   4u+8
x=
	2

	√4+2u   −2−u− ±√−2u−4+[√(4+2u)]/(2+u)   4u+8
x=
	2

	2√199		23537√199   arccos( )   633616		10
gdzie u=		cos(		)+
	3		3		3

Mariusz: Gdy ja je rozwiązywałem pierwiastek równania rozwiązującego nie był wyrażony za pomocą funkcji trygonometrycznych Jakiego sposobu użyłeś sprowadzenia do iloczynu dwóch trójmianów kwadratowych czy uogólnienia metody dla równań trzeciego stopnia Wg mnie sprowadzenie do iloczynu dwóch trójmianów kwadratowych przez zapisanie w postaci różnicy kwadratów wymaga mniej obliczeń x⁴+4x²−x−1=0 x⁴−(−4x²+x+1)=0 (x²)²−(−4x²+x+1)=0

	y		y2
(x2+		)2−((y−4)x2+x+		+1)=0
	2		4

Δ=0

	y2
4(		+1)(y−4)−12=0
	4

(y²+4)(y−4)−1=0 y³−4y²+4y−17=0

	4
y=w+
	3

	4		4		4
(w+		)3−4(w+		)2+4(w+		)−17=0
	3		3		3

	16		64		32		64		16
w3+4w2+		w+		−4w2−		w−		+4w+		−17=0
	3		27		3		9		3

	4		−128+144−459
w3−		w+		=0
	3		27

	4		443
w3−		w−		=0
	3		27

w=u+v

	4		443
(u+v)3−		(u+v)−		=0
	3		27

	4		443
u3+3u2v+3uv2+v3−		(u+v)−
	3		27

	443		4
u3+v3−		+3(u+v)uv−3(u+v)		=0
	27		9

	443		4
u3+v3−		+3(u+v)(uv−		)=0
	27		9

	443
u3+v3−		=0
	27

	4
3(u+v)(uv−		)=0
	9

	443
u3+v3=
	27

	4
uv−		=0
	9

	443
u3+v3=
	27

	4
uv=
	9

	443
u3+v3=
	27

	64		256
u3v3=		=
	729		2916

	443		64
t2−		t+
	27		729

	443		196249		256
(t−		)2−		+
	54		2916		2916

	443		195993
(t−		)2−
	54		2916

	443−√195993		443−√195993
(t−		)(t−		)=0
	54		54

	1772−4√195993		1772+4√195993
(t−		)(t−		)=0
	216		216

	1
y=		(3√1772−4√195993+3√1772+4√195993+8)
	6

	y		1
(x2+		)2−(√y−4)2(x+		)2=0
	2		2(y−4)

	y		1		y		1
(x2+		−√y−4(x+		))(x2+		−√y−4(x+		))=0
	2		2(y−4)		2		2(y−4)

	y		1		y		1
(x2−√y−4x+		−		)(x2+√y−4x+		+		)=0
	2		2√y−4		2		2√y−4

	1
Δ1=y−4−2(y−		)
	√y−4

	2
Δ1=−y−4+
	√y−4

	1
Δ2=y−4−2(y+		)
	√y−4

	2
Δ2=−y−4−
	√y−4

	2   √y−4−√ −y−4   √y−4
x1=
	2

	2   √y−4+√ −y−4   √y−4
x2=
	2

	1
y=		(3√1772−4√195993+3√1772+4√195993+8)
	6

Pozostałe pierwiastki to para wzajemnie sprzężonych liczb zespolonych Jeśli chodzi o tę trygonometrię to miałem na myśli tzw casus irreducibilis równania rozwiązującego

Adamm: użyłem sprowadzenia do dwóch trójmianów kwadratowych teraz widzę że pomyliłem się we wprowadzaniu zmiennej, i wyszło mi że dla równania rozwiązującego Δ<0 szkoda tylko że pomyliłem się na takim etapie, po dużo pracy się zmarnowało

Mariusz: Sprowadzenie do iloczynu dwóch trójmianów kwadratowych jak dla mnie wymaga mniej obliczeń to i jest to metoda wygodniejsza w przypadku gdy chcemy użyć rozkładu na sumę ułamków prostych np w przypadku gdy chcemy scałkować funkcję wymierną albo odwrócić przekształcenie Laplace (Do całkowania wystarczy rozkład na sumę ułamków prostych nad rzeczywistymi Do odwracania przekształcenia Laplace wygodniejszy jest rozkład na sumę ułamków prostych nad zespolonymi)

Mariusz: Adam jeśli chodzi o równanie trzeciego stopnia postaci x³+px+q=0 to ja preferuję podstawienie x=u+v bo nie trzeba wyodrębniać przypadku gdy występuje dzielenie przez zero a także łatwiej je uogólnić na równanie czwartego stopnia