Vax
Benny: Cześć Vax. Ktoś przed chwilą wstawił stary temat w którym piszesz o wielomianach 3
stopnia. Chodzi mi o post z 23 lipca 00:24. O co chodzi z tym rozwinięciem?
11 cze 22:34
11 cze 22:42
ZKS:
| | 2 | | 2 | | 1 − i√3 | |
e2iπ/3 = cos( |
| π) + isin( |
| π) = − |
| |
| | 3 | | 3 | | 2 | |
11 cze 22:49
Benny: Co muszę się nauczyć, żeby to ogarnąć?
11 cze 23:06
ZKS:
Jak nie uczyłeś się liczb zespolonych to będziesz je miał na studiach.
11 cze 23:11
Benny: Chce się nauczyć teraz
11 cze 23:54
ZKS:
To zaczynaj naukę.
Wiesz co nie co o zespolonych, czy nic?
12 cze 00:04
Benny: Wiem tylko to co wczytałem kiedyś w drugiej klasie podczas omawiania funkcji kwadratowej, że
używa się ich do równań kwadratowych z deltą ujemną i wprowadza się zmienną urojoną i=
√−1 
12 cze 00:46
Eta:
12 cze 00:48
Eta:
Zdolny jesteś i pracowity to wszystkiego się nauczysz
Zobacz jak
bezendu zbiera same
5 na egzaminach, a jeszcze rok temu
uczył się sumiennie ( jak Ty) do matury
Powodzenia
i dobrej nocki
12 cze 00:52
ZKS:
To już jakąś wiedzę masz na ten temat.
Mam od razu takie zadanko dla Ciebie.
Udowodnij, że liczba (2 − 11√−1)1/3 + (2 + 11√−1)1/3 jest liczbą naturalną.
12 cze 00:53
Benny: Dziękuje
Może powiesz czy pchać się w zespolone czy policzyć sobie trochę szeregi itd. po
kolei z Krysickiego? Czy może tylko poszczególne tematy?
12 cze 00:55
ZKS:
To już tylko zależy od Ciebie.
Na pierwszym semestrze z matematyki na studiach zaczynałem
od zespolonych, później o ile dobrze pamiętam miałem macierze.
12 cze 01:04
Benny: No to tak:
(2−11
√−1)
1/3+(2+11
√−1)
1/3=x /()
3
tutaj trochę skrótowo napisze (w zeszycie mam całość
)
x
3=4+3[(2−11
√−1)(2+11
√−1)]
1/3*x
x
3=4+3*
3√125*x
x
3−15x−4=0
(x−4)(x+2+
√3)(x+2−
√3)=0
4∊N
12 cze 01:06
bezendu:
Szeregi są dopiero poteeeemmmmm
Najpierw granice, pochodne, całki i dopiero szeregi
12 cze 01:11
Benny: Łee to jakoś nie po kolei mają w tej książce
Granice już coś przerobiłem.
12 cze 01:15
ZKS:
Okej zadanie zrobione tylko myślałem, że zauważysz
2 ± 11
√−1 = (2 ±
√−1)
3, ale nie wszystko od razu.
12 cze 01:15
ZKS:
Te bardziej wymagające granice robiłeś, czy te łatwiejsze typu mnożenie przez sprzężenie?
12 cze 01:17
Benny: Powiem Ci, że nawet nie sprawdzałem czy się za zwinąć od razu zacząłem liczyć
12 cze 01:18
Benny: Podaj przykład tej bardziej wymagającej to się przekonamy.
12 cze 01:18
Benny: Mnożenie przez sprzężenie to już w liceum przerabialiśmy i opanowane chyba jest
12 cze 01:20
ZKS:
To taka nie aż tak bardzo trudna.
| | 2 | |
limx → ∞ [ |
| * arctg(x)]x |
| | π | |
12 cze 01:32
ZKS:
Miałeś regułę de l'Hospitala?
12 cze 01:35
Benny: Nie przerabiałem sobie funkcji cyklometrycznych. Przeczytałem na szybko i widzę, że arctg(x)
| | π | |
jest zbieżny do ± |
| ? więc granica będzie ±1? Widzę jednak, że nic nie wiem |
| | 2 | |
12 cze 01:39
Benny: Robiłem parę przykładów.
12 cze 01:40
Benny: Hmm w sumie to ±{π}{2} nigdy nie osiągnie więc granica chyba będzie 0.
12 cze 01:42
ZKS:
Podpowiem, że trzeba skorzystać z ab = ebln(a).
12 cze 01:43
ZKS:
Jak chcesz mogę podać Ci odpowiedź ile wynosi ta granica.
12 cze 01:46
Benny: Chyba nie jestem w stanie tego rozwiązać.
12 cze 01:50
ZKS:
Poszukam czegoś łatwiejszego na początek, bo to już była taka zaawansowana bardziej granica.
12 cze 01:54
ZKS:
W tej granicy pierwszej to już trzeba umieć dobrze pochodne ogólnie wymagająca jest, więc
żebyś nie myślał, że nic nie umiesz. Pójdziesz na studia i wtedy zobaczysz, że nic się nie
umiało do tej pory.
12 cze 01:57
Benny: | | tg(x) | | {0} | |
limx→π/2 |
| = |
| |
| | tg(3x) | | {0} | |
| | tg(x) | | (tg(x))' | |
limx→π/2 |
| =limx→π/2 |
| = |
| | tg(3x) | | (tg(3x))' | |
| | 1 | | cos2x | | 1 | | 1 | |
=limx→π/2 |
| * |
| =limx→π/2 |
| = |
| ? |
| | cos2x | | 3 | | 3 | | 3 | |
12 cze 02:00
ZKS:
Dla x →
∞, wtedy tg(x) →
∞.
| | 3 | |
Pochodna z tg(3x) = |
| . |
| | cos2(3x) | |
12 cze 02:32
ZKS:
Granica wynosi 3.
12 cze 02:33
Benny: Właśnie nie byłem pewny co do tego tg(3x)
12 cze 02:41
ZKS:
Z pochodnymi jak tam stoisz? Zaznajomiony jesteś?
12 cze 02:50
Benny: Coś tam wiem, ale jeszcze nie uczyłem się wszystkich.
12 cze 02:58
ZKS:
Złożone umiesz liczyć?
12 cze 03:05
Benny: Coś tam zdarzyło się kiedyś policzyć jakieś potęgowe. Dobra ja uciekam spać jak coś to rano
odpisze. Dobranoc
12 cze 03:08
ZKS:
Dobranoc.
12 cze 03:20
Mariusz: ZKS szeregi powinny być przed całkami bo inaczej dużo całek nie policzysz
12 cze 07:42
Benny: Może zacząć od funkcji cyklometrycznych i odwrotnych?
12 cze 12:56
Godzio:
Na początek granice ciągów liczbowych (dodatkowo jak nie miałeś, indukcja matematyczna, chociaż
parę przykładów, żeby wiedzieć co to takiego) Dalej funkcje (wykładnicze, logarytmiczne,
trygonometryczne (dużo tożsamości), cyklometryczne), granice funkcji + ciągłość, pochodne,
całki. I masz robotę na jakieś 2 miesiące
(to są zagadnienia z analizy matematycznej).
Równolegle możesz robić coś z algebry, liczby zespolone, macierze, jak to dobrze opanujesz to
będziesz miał przyjemny start na studiach
12 cze 13:02
Benny: Robiłem parę przykładów z indukcji z Krysickiego. Funkcje wykładnicze, logarytmiczne i
trygonometryczne o jakie konkretnie Ci chodzi? Może jakiś przykład? Gdzie o funkcjach
cyklometrycznych można fajnie poczytać?
12 cze 13:06
Godzio:
Ogólnie mi chodzi, żeby je porządnie umieć. Najważniejsze trygonometryczne, a dokładnie
tożsamości
Z cyklometrycznych starczy Ci tyle co jest na wikipedii.
Przykłady:
Narysować funkcję 2
|x| − 1
Rozwiązać równanie 4
x − 2
x − 2 = 0
Podobnie z logarytmami tutaj ważny będzie logarytm naturalny log
ex = ln(x), jak będziesz
przerabiać granice (albo przerabiałeś) to z pewnością natrafiłeś na liczbę 'e' (albo natrafisz
. A tożsamości + wzory:
sin2x = 2sinxcosx
cos2x = cos
2x − sin
2x = 1 − 2sin
2x = 2cos
2x − 1 a stąd:
| | 1 − cos2x | | 1 + cos2x | |
sin2x = |
| oraz cos2x = |
| |
| | 2 | | 2 | |
sin(a + b) = ... cos(a + b) = ... (z minusami to samo)
To takie najważniejsze.
12 cze 13:54
Benny: Takie przykłady które podałeś potrafię rozwiązywać. Dużo nierówności z funkcja logarytmiczną i
wykładniczą przerabiałem do AGH−u. Granice z liczbą "e" liczyłem i w miarę wychodzi
12 cze 14:22
Godzio:
No to widzę, że masz sporo za sobą, zabieraj się za pochodne w takim razie
12 cze 16:11
Benny: Jak masz czas możesz podrzucać tutaj jakieś przykłady ja w miarę swoich możliwości będę je
rozwiązywał
12 cze 16:59
ICSP: To może ja dam Ci zadanie, ale najpierw krótki wstęp :
Przez równanie zwrotne stopnia IV rozumiemy równanie :
ax
4 + bx
3 + cx
2 + bx + a = 0 jeśli tylko a ≠ 0
BSO możemy przyjąć x ≠ 0 (W(0) = a ≠ 0)
Dzieląc je przez x
2 dostajemy :
| | 1 | | 1 | |
a(x2 + |
| ) + b(x + |
| ) + c = 0 |
| | x2 | | x | |
oraz wykorzystując tożsamość prawdziwą dla x ≠ 0 :
| | 1 | | 1 | |
x2 + |
| = (x + |
| )2 − 2 |
| | x2 | | x | |
dostajemy równanie :
| | 1 | | 1 | |
a(x + |
| )2 + b(x + |
| ) + c − 2a = 0 |
| | x | | x | |
| | 1 | |
które po podstawieniu t = x + |
| staje się równaniem kwadratowym. |
| | x | |
Zad1:
Nałożyć wystarczający warunek na t, aby równanie zwrotne stopnia IV miało przynajmniej jeden
pierwiastek
Zad2:
Rozłożyć wielomian w(x) = x
5 − 1 na iloczyn wielomianów stopnia maksymalnie drugiego.
12 cze 23:12
ICSP: i z tego co widzę nie znasz liczb zespolonych, więc na
Zad3 jest jeszcze zbyt wcześnie
12 cze 23:14
ICSP: przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty, aby nikt się nie czepiał.
W zespolonych oczywiście bez względu na t ma 4 pierwiastki (zasadnicze twierdzenie algebry)
12 cze 23:18
Benny: Zad 2 doszedłem do takiego momentu:
x5−1=(x−1)(x(x+1)2+1)
13 cze 11:09
Benny: Równanie zwrotne? Co to znaczy?
13 cze 11:09
ZKS:
Równanie zwrotne to równanie symetryczne tylko, że równaniem zwrotnym nazywamy
równanie symetryczne stopnia czwartego.
13 cze 11:20
ZKS:
Czy wyrażenie (x − 1)[x(x + 1)2 + 1) jest iloczynem wielomianów stopnia drugiego?
Następnie czy wyrażenie (x − 1)[x(x + 1)2 + 1) jest równe wyrażeniu x5 − 1?
13 cze 11:25
Benny: (x−1)(x
4+x
3+x
2+x+1)=(x−1)((x
2+1)
2−x
2+x
3+x)=(x−1)(2x
2+1+x
3+x)=(x−1)(2x
2+1+x(x
2+1))=
=(x−1)(2x
2+1+x(x+1)
2−2x
2)=(x−1)(x(x+1)
2+1) no i jakoś tak mi to wychodzi
13 cze 11:59
ZKS:
(x2 + 1) − x2 + x3 + x = (x2 − x + 1)(x2 + x + 1) + x3 + x
13 cze 12:40
ZKS:
Poprawka.
(x2 + 1)2 − x2 + x3 + x = (x2 − x + 1)(x2 + x + 1) + x3 + x
13 cze 12:41
Benny: Omg
Jak ja to w ogóle odjąłem
13 cze 12:43
ZKS:
Pomogę zacząć. Zakładam, że x ≠ 0.
x
4 + x
3 + x
2 + x + 1 = x
4 + 1 + x
3 + x + x
2 =
| | 1 | | 1 | |
x2(x2 + |
| ) + x2(x + |
| ) + x2 |
| | x2 | | x | |
Próbuj dalej samemu.
13 cze 12:48
Benny: Mogę później zostawić x w mianowniku czy nie?
13 cze 12:54
ZKS:
Na samym końcu nie, ponieważ muszą te wyrażenia być równoważne. Teraz operuj sobie, że
x jest w mianowniku, ale na samym końcu już nie może być.
13 cze 12:57
13 cze 13:22
ICSP: Jednym ze sposobów rozkładania wielomianu w(x) na czynniki jest rozwiązanie równania
w(x) = 0. Czyli twoim zadaniem jest znalezienie pierwiastków równania :
x
4 + x
3 + x
2 + x + 1 = 0
Zgodnie z powyższym podstawieniem twoje równanie będzie można zapisać w postaci :
(x
2 − t
1x + 1)(x
2 − t
2x + 1) = 0
gdzie t
1 , t
2 są rozwiązaniami odpowiedniego równania(podanego wyżej)
Mariusz moim zdaniem równania zwrotne mogą być pewnym wprowadzeniem do
metody Ferrariego. Tylko musimy pamiętać, że z rugownika równania kwadratowego
powstałego w metodzie Ferrariego dostajemy wielomian stopnia III, który nie zawsze może dać
"ładne" pierwiastki. Najpierw wzory Cardano, potem metoda Ferrariego
Pozdrawiam
14 cze 02:58
Benny: Skąd bierzemy (x2−t1x+1)(x2−t2x+1)=0?
14 cze 10:53
Kacper:
Wielomian stopnia czwartego da się zapisać jako iloczyn wielomianów stopnia 2
14 cze 10:57
Benny: No rozumiem to. Chodzi mi rozkład, czemu akurat tak.
14 cze 11:28
Benny: Równanie czwartego stopnia może mieć 1 lub 3 rozwiązania rzeczywiste?
14 cze 11:55
ICSP: | | 1 | |
x + U{1]{x} = t1 oraz x + |
| = t2 |
| | x | |
skąd mnożąc przez x i przerzucając t
1x oraz t
2x na drugą stronę dostajemy żądany rozkład :
Wielomian stopnia parzystego w liczbach rzeczywistych ma parzystą liczbę pierwiastków wliczając
w to krotności.
14 cze 12:19
Benny: No właśnie tak myślałem, ale chciałem się upewnić, bo napisałeś w zadaniu "przynajmniej jeden
pierwiastek" i się nad tym zastanawiam
14 cze 12:28
Mariusz: ICSP wg mnie równania zwrotne są zbędne
Jeśli chcemy jakiś przypadek rozpatrywać oddzielnie to lepiej rozpatrzeć równanie dwukwadratowe
Poza tym rozkład (x2−t1x+1)(x2−t2x+1)=0 nie musi działać
Jeśli chodzi o równania trzeciego stopnia to gdybyś przeczytał cały wątek to zauważyłbyś
że Benny podał odnośnik do wątku w którym Vax pokazywał ci
sposób ich rozwiązywania
14 cze 17:48
Mariusz: Dlaczego jeśli już musimy rozpatrywać jakiś
przypadek szczególny to lepiej równanie dwukwadratowe ?
a
4x
4+a
3x
3+a
2x
2+a
1x+a
0=0
| | a3 | |
Podstawienie x=y− |
| daje nam równanie |
| | 4a4 | |
y
4+b
2y
2+b
1y+b
0=0
Jeśli b
1=0 to mamy równanie dwukwadratowe
(y
2)
2+b
2(y
2)+b
0=0
Jeśli b
1≠0 to stosujemy rozkład
(y
2−py+q)(x
2+py+r)=y
4+b
2y
2+b
1y+b
0
Po wymnożeniu i porównaniu współczynników dostajemy układ równań
którego rozwiązanie wymaga rozwiązania równania trzeciego stopnia
14 cze 18:00
Benny: No widzę, że trochę tego trzeba będzie poczytać. Co do zad 2.
| | 1+√5 | | 1−√5 | |
x5−1=(x−1)(x2+x( |
| )+1)(x2+x( |
| )+1) |
| | 2 | | 2 | |
14 cze 18:42
Benny: Co do Zad 1. to tylko wymyśliłem tak.
to x
2−tx+1=0
Równanie to ma pierwiastki dla t∊(−
∞;−2>∪<2;+
∞) ?
14 cze 21:13
ZKS:
.
14 cze 21:15
Benny: Przypatrzyłem metodę
Vaxa co
Mariusz podesłał.
x
4+x
3+x
2+x+1=0
x
4+x
3=−x
2−x−1
| | 1 | | −3 | |
(x2+ |
| x+y)2= |
| x2−x−1+2x2y+xy+y2 |
| | 2 | | 4 | |
| | 1 | | 3 | |
(x2+ |
| x+y)2=x2(2y− |
| )+x(y−1)+y2−1 |
| | 2 | | 4 | |
| | 3 | |
0=Δ=(y−1)2−4*(2y− |
| )(y2−1) |
| | 4 | |
| | 3 | |
(y−1)(y−1−4(2y− |
| )(y+1))=0 |
| | 4 | |
dla y=1 się zeruje
| | 1 | | √5 | | 1 | | √5 | |
(x2+ |
| x+1− |
| x)(x2+ |
| x+1+ |
| x)=0 |
| | 2 | | 2 | | 2 | | 2 | |
| | 1−√5 | | 1+√5 | |
(x2+x( |
| )+1)(x2+x( |
| )+1)=0 |
| | 2 | | 2 | |
Teraz powiedzcie mi która metoda będzie lepsza do rozkładu i obliczania pierwiastków
15 cze 10:29
ICSP: Do zwrotnych mój sposób
Do dwukwadratowych podstawienie t = x2
Do reszty metodę Ferrariego jeśli nie widać wcześniej grupowania.
15 cze 10:42
Benny: Równania zwrotne czwartego stopnia tylko wtedy, gdy współczynnik przy x4 jest równy wyrazowi
wolnemu i współczynnik przy x3 jest równy współczynnikowi przy x, tak?
Do metody Ferrariego dobrze byłoby się nauczyć rozwiązywać równania trzeciego stopnia, tak?
15 cze 10:56
ICSP: Tak
15 cze 10:59
Benny: Mógłbyś jakieś przykłady podrzucić do poćwiczenia?
15 cze 11:01
ICSP: na co ?
Metoda Ferrariego czy równania zwrotne ?
15 cze 11:04
Benny: Najlepiej obie metody
15 cze 11:07
ICSP: Pokazać, że dla każdej liczby całkowitej n wyrażenie : n4 + 2n3 + 3n2 + 2n + 1 jest
kwadratem liczby całkowitej.
15 cze 11:11
Benny: | | 2 | | 1 | |
n4+2n3+3n2+2+1 możemy zapisać jako n2+2n+3n+ |
| + |
| i przyrównać do 0 aby znaleźć |
| | n | | n2 | |
pierwiastek
| | 1 | |
wprowadzamy zmienną t=n+ |
| i dostajemy |
| | n | |
t
2−2+2t+3=0
t
2+2t+1=0 jak widać zwija się do wzoru i zeruje dla t=−1
Więc wcześniejsze wyrażenie zapiszemy w postaci:
(n
2+n+1)(n
2+n+1)=(n
2+n+1)
2
wyrażenie to jest kwadratem liczby całkowitej
15 cze 11:27
Mariusz: Benny metodę którą pokazał Vax możesz stosować dla każdego równania czwartego stopnia
Jeśli chcesz skorzystać ze współczynników nieoznaczonych to najlepiej w sposób który podałem
14 czerwca 2015 o 18:00
Wtedy dobrze jest rozpatrzeć przypadek szczególny tyle że nie równanie zwrotne
a równanie dwukwadratowe
15 cze 14:25
Benny: Mariusz może jakiś przykład?
15 cze 14:56
Mariusz:
package coeff;
import java.awt.BorderLayout;
import java.awt.event.ActionEvent;
import java.awt.event.ActionListener;
import java.util.Random;
import javax.swing.JButton;
import javax.swing.JLabel;
import javax.swing.JPanel;
import javax.swing.JRadioButton;
import javax.swing.JScrollPane;
import javax.swing.JTable;
import javax.swing.JTextField;
import javax.swing.WindowConstants;
import javax.swing.table.DefaultTableModel;
import javax.swing.table.TableModel;
import javax.swing.SwingUtilities;
public class Coeff extends javax.swing.JFrame {
{
//Set Look & Feel
try {
javax.swing.UIManager.setLookAndFeel("com.sun.java.swing.plaf.windo
ws.WindowsLookAndFeel");
} catch(Exception e) {
e.printStackTrace();
}
}
private JRadioButton jRadioButton1;
private JPanel jPanel1;
private JScrollPane jScrollPane1;
private JButton jButton1;
private JTable jTable1;
private JTextField jTextField1;
private JLabel jLabel1;
private JRadioButton jRadioButton2;
/**
* Auto−generated main method to display this JFrame
*/
public static void main(String[] args) {
SwingUtilities.invokeLater(new Runnable() {
public void run() {
Coeff inst = new Coeff();
inst.setLocationRelativeTo(null);
inst.setVisible(true);
}
});
}
public Coeff() {
super();
initGUI();
setTitle("Wspolczynniki wielomianu");
}
private void initGUI() {
try {
setDefaultCloseOperation(WindowConstants.DISPOSEONCLOSE);
{
jPanel1 = new JPanel();
getContentPane().add(jPanel1, BorderLayout.CENTER);
jPanel1.setPreferredSize(new java.awt.Dimension(392, 266));
{
jRadioButton1 = new JRadioButton();
jPanel1.add(jRadioButton1);
jRadioButton1.setText("pierwiastki wymierne");
jRadioButton1.setPreferredSize(new java.awt.Dimension(333, 18));
jRadioButton1.addActionListener(new ActionListener() {
public void actionPerformed(ActionEvent evt) {
jRadioButton1ActionPerformed(evt);
}
});
}
{
jRadioButton2 = new JRadioButton();
jPanel1.add(jRadioButton2);
jRadioButton2.setText("pierwiastki calkowite");
jRadioButton2.setPreferredSize(new java.awt.Dimension(332, 18));
jRadioButton2.addActionListener(new ActionListener() {
public void actionPerformed(ActionEvent evt) {
jRadioButton2ActionPerformed(evt);
}
});
}
{
jLabel1 = new JLabel();
jPanel1.add(jLabel1);
jLabel1.setText("stopien wielomianu");
jLabel1.setPreferredSize(new java.awt.Dimension(134, 14));
}
{
jTextField1 = new JTextField();
jPanel1.add(jTextField1);
jTextField1.setPreferredSize(new java.awt.Dimension(181, 21));
jTextField1.addActionListener(new ActionListener() {
public void actionPerformed(ActionEvent evt) {
jTextField1ActionPerformed(evt);
}
});
}
{
jScrollPane1 = new JScrollPane();
jPanel1.add(jScrollPane1);
jScrollPane1.setPreferredSize(new java.awt.Dimension(330, 41));
{
TableModel jTable1Model =
new DefaultTableModel(
new String[][] {{"",""," ",""," "}},
new String[] {});
((DefaultTableModel) jTable1Model).setColumnCount(degree+1);
((DefaultTableModel) jTable1Model).setRowCount(1);
jTable1 = new JTable();
jScrollPane1.setViewportView(jTable1);
jTable1.setModel(jTable1Model);
}
}
{
jButton1 = new JButton();
jPanel1.add(jButton1);
jButton1.setText("Losuj");
jButton1.setPreferredSize(new java.awt.Dimension(77, 21));
jButton1.addActionListener(new ActionListener() {
public void actionPerformed(ActionEvent evt) {
jButton1ActionPerformed(evt);
}
});
}
}
pack();
setSize(400, 300);
} catch (Exception e) {
//add your error handling code here
e.printStackTrace();
}
}
private void jTextField1ActionPerformed(ActionEvent evt) {
System.out.println("jTextField1.actionPerformed, event="+evt);
//TODO add your code for jTextField1.actionPerformed
degree=Integer.parseInt(jTextField1.getText());
TableModel jTable1Model =
new DefaultTableModel(
new String[][] {{"",""," ",""," "}},
new String[] {});
((DefaultTableModel) jTable1Model).setColumnCount(degree+1);
((DefaultTableModel) jTable1Model).setRowCount(1);
jTable1 = new JTable();
jScrollPane1.setViewportView(jTable1);
jTable1.setModel(jTable1Model);
}
private void jRadioButton1ActionPerformed(ActionEvent evt) {
System.out.println("jRadioButton1.actionPerformed, event="+evt);
//TODO add your code for jRadioButton1.actionPerformed
jRadioButton1.setSelected(true);
jRadioButton2.setSelected(false);
}
private void jRadioButton2ActionPerformed(ActionEvent evt) {
System.out.println("jRadioButton2.actionPerformed, event="+evt);
//TODO add your code for jRadioButton2.actionPerformed
jRadioButton1.setSelected(false);
jRadioButton2.setSelected(true);
}
private void jButton1ActionPerformed(ActionEvent evt) {
System.out.println("jButton1.actionPerformed, event="+evt);
//TODO add your code for jButton1.actionPerformed
Random r=new Random();
int p,q;
double a=1.0;
double[] x=new double[degree+1];
if(jRadioButton1.isSelected()){
for(int i=1;i<=degree;i++){
p=(1−2*r.nextInt(2))*r.nextInt(10);
q=1+r.nextInt(10);
x[i]=(double)(p)/q;
a*=(double)q;
}
for(int i=0;i<=degree;i++)
if(i%2==0) jTable1.setValueAt(a*viete(degree,i,x),0 ,i);
else jTable1.setValueAt(−a*viete(degree,i,x),0 ,i);
}
if(jRadioButton2.isSelected()){
for(int i=1;i<=degree;i++){
x[i]=(1−2*r.nextInt(2))*r.nextInt(10);
}
for(int i=0;i<=degree;i++)
if(i%2==0) jTable1.setValueAt(viete(degree,i,x),0 ,i);
else jTable1.setValueAt(−viete(degree,i,x),0 ,i);
}
}
private double viete(int n,int k, double[] x){
if(k==0) return 1.0;
else if(n==0) return 0.0;
else return viete(n−1,k,x)+viete(n−1,k−1,x)*x[n];
}
private int degree=4;
}
15 cze 16:11
Benny: Co to jest?
15 cze 16:50
Kacper:
Programik
15 cze 17:02
Benny: No tak się domyśliłem, ale czemu tutaj?
15 cze 17:16
Mariusz: Ten programik wylosuje ci współczynniki równania czwartego stopnia
jeśli masz Javę
15 cze 18:52
Benny: Próbowałem rozwiązać x4+x3+x2+x+1 tym sposobem z 14 czerwca 18:00 to się mało co nie zabiłem
w obliczeniach. W sumie to nawet nie dokończyłem.
15 cze 19:01
Mila:
Zajmij się trygonometrią,a potem liczbami zespolonymi.
15 cze 19:07
Mila:
Równanie : x4+x3+x2+x+1 =0 nie rozwiązań w R.
15 cze 19:10
Benny: Wiem, że nie ma. Ćwiczyłem tylko rozkład różnymi sposobami. Od czego mam Milu zacząć?
15 cze 19:24
15 cze 20:24
Benny: Na pewno dobry link podałaś? Bo ja tu widzę tylko zadania do rozwiązania.
15 cze 20:41
15 cze 20:56
Mila:
Zobacz jak objaśnia liczby zespolone.
15 cze 20:59
Benny: Dziękuje
Czy tam cały czas trzeba klikać play?
15 cze 21:31
Mariusz:
Tu masz jeszcze jeden programik w Javie do losowania współczynników
package coeffQuartics;
import java.awt.BorderLayout;
import java.awt.event.ActionEvent;
import java.awt.event.ActionListener;
import java.util.Random;
import javax.swing.JButton;
import javax.swing.JPanel;
import javax.swing.JRadioButton;
import javax.swing.JScrollPane;
import javax.swing.JTable;
import javax.swing.WindowConstants;
import javax.swing.table.DefaultTableModel;
import javax.swing.table.TableModel;
import javax.swing.SwingUtilities;
public class NewJFrame extends javax.swing.JFrame {
{
//Set Look & Feel
try {
javax.swing.UIManager.setLookAndFeel("com.sun.java.swing.plaf.windows.WindowsLookAndFeel");
} catch(Exception e) {
e.printStackTrace();
}
}
private JRadioButton jRadioButton1;
private JPanel jPanel1;
private JScrollPane jScrollPane1;
private JButton jButton1;
private JTable jTable1;
private JRadioButton jRadioButton3;
private JRadioButton jRadioButton2;
/**
* Auto−generated main method to display this JFrame
*/
public static void main(String[] args) {
SwingUtilities.invokeLater(new Runnable() {
public void run() {
NewJFrame inst = new NewJFrame();
inst.setLocationRelativeTo(null);
inst.setVisible(true);
}
});
}
public NewJFrame() {
super();
initGUI();
}
private void initGUI() {
try {
setTitle("Współczynniki wielomianu czwartego stopnia");
setDefaultCloseOperation(WindowConstants.DISPOSEONCLOSE);
{
jPanel1 = new JPanel();
getContentPane().add(jPanel1, BorderLayout.CENTER);
jPanel1.setPreferredSize(new java.awt.Dimension(392, 266));
jPanel1.setLayout(null);
{
jRadioButton1 = new JRadioButton();
jPanel1.add(jRadioButton1);
jRadioButton1.setText("Pierwiastki rzeczywiste");
jRadioButton1.setBounds(12, 4, 196, 18);
jRadioButton1.addActionListener(new ActionListener() {
public void actionPerformed(ActionEvent evt) {
jRadioButton1ActionPerformed(evt);
}
});
}
{
jRadioButton2 = new JRadioButton();
jPanel1.add(jRadioButton2);
jRadioButton2.setText("Iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych");
jRadioButton2.setBounds(12, 29, 272, 18);
jRadioButton2.addActionListener(new ActionListener() {
public void actionPerformed(ActionEvent evt) {
jRadioButton2ActionPerformed(evt);
}
});
}
{
jRadioButton3 = new JRadioButton();
jPanel1.add(jRadioButton3);
jRadioButton3.setText("Losowe wspó\u0142czynniki");
jRadioButton3.setBounds(12, 54, 210, 21);
jRadioButton3.addActionListener(new ActionListener() {
public void actionPerformed(ActionEvent evt) {
jRadioButton3ActionPerformed(evt);
}
});
}
{
jScrollPane1 = new JScrollPane();
jPanel1.add(jScrollPane1);
jScrollPane1.setBounds(7, 95, 375, 40);
{
TableModel jTable1Model =
new DefaultTableModel(
new String[][] { { "", "" } },
new String[] { "a4", "a3","a2","a1","a0" });
((DefaultTableModel) jTable1Model).setColumnCount(5);
((DefaultTableModel) jTable1Model).setRowCount(1);
jTable1 = new JTable();
jScrollPane1.setViewportView(jTable1);
jTable1.setBounds(27, 132, 365, 16);
jTable1.setModel(jTable1Model);
jTable1.setCellSelectionEnabled(true);
jTable1.setColumnSelectionAllowed(true);
jTable1.getTableHeader().setOpaque(true);
jTable1.getTableHeader().setBounds(0, 0, 375, 30);
}
}
{
jButton1 = new JButton();
jPanel1.add(jButton1);
jButton1.setText("Losuj");
jButton1.setBounds(155, 177, 73, 28);
jButton1.addActionListener(new ActionListener() {
public void actionPerformed(ActionEvent evt) {
jButton1ActionPerformed(evt);
}
});
}
}
pack();
setSize(400, 300);
} catch (Exception e) {
e.printStackTrace();
}
}
private void jRadioButton1ActionPerformed(ActionEvent evt) {
System.out.println("jRadioButton1.actionPerformed, event="+evt);
//TODO add your code for jRadioButton1.actionPerformed
jRadioButton1.setSelected(true);
jRadioButton2.setSelected(false);
jRadioButton3.setSelected(false);
}
private void jRadioButton2ActionPerformed(ActionEvent evt) {
System.out.println("jRadioButton2.actionPerformed, event="+evt);
//TODO add your code for jRadioButton2.actionPerformed
jRadioButton1.setSelected(false);
jRadioButton2.setSelected(true);
jRadioButton3.setSelected(false);
}
private void jRadioButton3ActionPerformed(ActionEvent evt) {
System.out.println("jRadioButton3.actionPerformed, event="+evt);
//TODO add your code for jRadioButton3.actionPerformed
jRadioButton1.setSelected(false);
jRadioButton2.setSelected(false);
jRadioButton3.setSelected(true);
}
private void jButton1ActionPerformed(ActionEvent evt) {
System.out.println("jButton1.actionPerformed, event="+evt);
//TODO add your code for jButton1.actionPerformed
int p,q,k;
Random r=new Random();
double [] a=new double[3];
double [] b=new double[3];
double [] c=new double[5];
double [] x=new double[5];
if(jRadioButton1.isSelected()){
x[0]=1.0;
for(int i=1;i<=4;i++){
p=(1−2*r.nextInt(2))*r.nextInt(10);
q=1+r.nextInt(10);
x[i]=(double)(p)/q;
x[0]*=(double)q;
}
for(int i=0;i<=4;i++)
if(i%2==0) jTable1.setValueAt(x[0]*viete(4,i,x),0 ,i);
else jTable1.setValueAt(−x[0]*viete(4,i,x),0 ,i);
}
if(jRadioButton2.isSelected()){
a[2]=(1+r.nextInt(9))*(1−2*r.nextInt(2));
a[1]=r.nextInt(10)*(1−2*r.nextInt(2));
a[0]=r.nextInt(10)*(1−2*r.nextInt(2));
b[2]=(1+r.nextInt(9))*(1−2*r.nextInt(2));
b[1]=r.nextInt(10)*(1−2*r.nextInt(2));
b[0]=r.nextInt(10)*(1−2*r.nextInt(2));
c[4]=a[2]*b[2];
c[3]=a[2]*b[1]+a[1]*b[2];
c[2]=a[2]*b[0]+a[1]*b[1]+a[0]*b[2];
c[1]=a[1]*b[0]+a[0]*b[1];
c[0]=a[0]*b[0];
for(k=0;k<=4;k++)
jTable1.setValueAt(c[k],0,4−k);
}
if(jRadioButton3.isSelected()){
c[4]=(1+r.nextInt(9))*(1−2*r.nextInt(2));
for(k=3;k>=0;k−−)
c[k]=r.nextInt(10)*(1−2*r.nextInt(2));
for(k=0;k<=4;k++)
jTable1.setValueAt(c[k],0,4−k);
}
}
private double viete(int n,int k,double[] x){
if(k==0) return 1.0;
else if (n==0) return 0.0;
else return viete(n−1,k,x)+viete(n−1,k−1,x)*x[n];
}
}
15 cze 21:37
Mila:
Na białym tle klikasz aby zobaczyć kolejne etapy rozwiązania, wcześniej możesz sam pomyśleć, co
autor napisze.
Dla zmiany strony strzałka na dole.
To trochę kłopotliwe, ale wielu problemów nie miałeś w szkole , a na studiach podadzą
w tempie atomowym.
Dobrze wyjaśniony układ współrzędnych w przestrzeni, wektory, równanie prostej w przestrzeni.
15 cze 21:39
Benny: Zacząć od trygonometrii?
15 cze 21:41
Mila:
W każdym bądź razie zdobędziesz wiadomości i poćwiczysz charakter ( cierpliwość).
Nigdzie się przecież już nie spieszysz.
15 cze 21:41
Benny: @
Mariusz postaram się ogarnąć tą jave i to tam wklepać
15 cze 21:42
Mila:
Nie patrzyłam tam na trygonometrię.
Spróbuj sam ocenić.
15 cze 21:43
Benny: Co po kolei mi się przyda? Od całek nie będę zaczynał bez znajomości wszystkich funkcji. Chodzi
mi o to, żeby nie zabierać się za temat, którego się nie nauczę bez innego.
15 cze 21:47
Mariusz: "Dziękuje emotka Czy tam cały czas trzeba klikać play?"
Możesz też ruszać suwakiem
15 cze 21:48
Mila:
Cenna uwaga Mariuszu. Sama skorzystam.
15 cze 21:50
Mariusz: Ściągnij sobie eclipse i jakąś wirtualną maszynę (JRE lub JDK)
to tam wklepiesz te programy
15 cze 21:52
Mila:
Benny, przerabiaj to, co zaproponował Godzio.
15 cze 21:55
Mila:
Belfer ładnie wyjaśnia teorię. Podaje przykłady.
15 cze 21:56
Benny: Ok dziękuje, niedługo pewnie zawitam z zadankami do sprawdzenia
15 cze 22:01
Godzio:
A wiesz co chcesz studiować?
15 cze 22:03
Benny: Problem w tym, że nie.
15 cze 22:16
Mariusz: Benny rozłóż taki wielomian
−x4+10x3−22x2+24x−8
16 cze 03:30
Benny: Dwa razy liczyłem, bo się gdzieś pomyliłem później w równaniu 3 stopnia.
−x4+10x3−22x2+24x−8=0
x4−10x3=−22x2+24x−8
(x2−5x)2=3x2+24x−8
(x2−5x+y)2=3x2+24x−8+2x2y−10xy+y2
(x2−5x+y)2=x2(3+2y)+x(24−10y)+(y2−8)
Δ=0 ⇒ b2=4ac
(24−10y)2=4(3+2y)(y2−8)
y3−11y2+52y−84=0
dla y=3 się zeruje (mógłby ktoś to ładnie rozwiązać jako równanie 3 stopnia? bo coś mi chyba
nie wychodziło)
(x2−5x+3)2=9x2−6x+1
(x2−5x+3)2=(3x−1)2
−x4+10x3−22x2+24x−8=−(x−4+2√3)(x−4−2√3)(x2−2x+2)
16 cze 15:29
Benny:
16 cze 21:50
Mila:
−x
4+10x
3−22x
2+24x−8=0
y
3−11y
2+52y−84=0
1 −11 52 −84 x=3
1 −8 28 0
y
3−11y
2+52y−84=(x−3)*(y
2−8y+28)
Δ=64−112=−48=−1*16*3
| | 8−4i√3 | | 8−4i√3 | |
y1= |
| lub y2= |
| |
| | 2 | | 2 | |
y
1=4−2
√3*i lub y
2=4+2
√3i
Gdzieś masz błąd ,w ustaleniu tego równania trzeciego stopnia.
16 cze 22:06
16 cze 22:12
Mila:
Myślałam, że to równanie ma związek z tym równaniem.
−x4+10x3−22x2+24x−8=0
Nie śledziłam Twoich rozwiązań, bo
Mariusz sprawdzał Twoje rachunki.
16 cze 22:29
Benny: Rozkład tego wielomianu czwartego stopnia zrobiłem. Chodzi mi o to równanie 3 stopnia jak
rozwiązać tym sposobem, który podał
Vax bez zgadywania, że jednym pierwiastkiem jest 3
16 cze 22:33
Mariusz: Benny wracając do sposobu z 14 czerwca 2015 18:00
to co ci sprawiało trudności w obliczeniach ?
Jeśli podstawienie to możesz skorzystać z schematu Hornera
Jak tam z tym programikiem ?
Zbudowałeś go sobie ?
Możesz się pobawić kodem DISPOSE ON CLOSE zamienić na EXIT ON CLOSE,
przyciski radiowe zgrupować i zrezygnować z nasłuchiwania zdarzen od nich pochodzących
16 cze 22:36
Mariusz: 4x4+32x3 −37x2−8x+9
16 cze 22:52
Mila:
Może jutro. To jest trochę pisania.
16 cze 23:02
Mariusz: Tutaj akurat łatwo pogrupować albo poszukać pierwiastków całkowitych/wymiernych
−7x4 −14x3 −5*x2 +2x +9
16 cze 23:09
Benny: W tamtym przykładzie x4+x3+x2+x+1 robiąc Twoim sposobem zatrzymałem się na tym równaniu 3
stopnia. Zacząłem je rozwiązywać metodą Vaxa ale powychodziły mi bardzo dziwne ułamki.
16 cze 23:30
Mila:
1) jeżeli możemy wyznaczyć pierwiastek wymierny ( szukasz wśród dzielników..), to wyznaczamy
tradycyjnie,
a potem obniżamy stopien wielomianu przedzielenie.
Metoda podana jest niezmiernie pracochłonna i uciekamy sie do niej, gdy nie mamy innj
mozliwości.
2) Zaczynam:
x
3−11x
2+52x−84=0
podstawiamy
| | 11 | | 11 | | 11 | |
(y+ |
| )3−11*(y+ |
| )2+52*(y+ |
| )−84=0 |
| | 3 | | 3 | | 3 | |
| | 11 | | 121 | | 1331 | | 22 | | 121 | | 572 | |
y3+3y2* |
| +3y* |
| + |
| −11*(y2+ |
| y+ |
| )+52y+ |
| −84=0 |
| | 3 | | 9 | | 27 | | 3 | | 9 | | 3 | |
po redukcji:
Teraz nowe podstawienie:
y=u+v
Popatrz dalej na instrukcję , próbuj sam.
Jak widzisz lepiej znaleźć rozwiązanie ( o ile sie da, inaczej)
Podam Ci trochę inną metodę, ale to kiedy indziej. Teraz to staraj sie dokończyć.
17 cze 00:24
Benny: | | 11 | |
Ok dziękuje Mila już widzę, że mam błąd rachunkowy. Jak podstawiłem sobie x=y+ |
| to |
| | 3 | |
jakoś źle to spotęgowałem. Burdel w zeszycie i przemnożyłem przez różne współczynniki przy
potęgach
17 cze 07:55
Mila:
c.d
| | 54756 | |
Δ= |
| >0⇔istnieje jedno rozwiązanie rzeczywiste i dwa urojone |
| | 729 | |
Wracamy do początku
Pozostałe pierwiastki znajdujesz tradycyjnie, albo tak:
x
2=ε*u+v*ε
2
| | −1−i√3 | | −1+i√3 | |
x3=ε2*u+v*ε gdzie ε= |
| i ε2= |
| |
| | 2 | | 2 | |
Policz dla wprawy.
17 cze 15:51
Benny: Skąd taki sposób z deltą?
17 cze 16:03
17 cze 16:24
17 cze 16:24
Benny: Dziękuje
17 cze 16:33
Mila:
Rozwiąż:
x3−3x2+2x−6=0
17 cze 17:51
Mariusz: Rozwiązując w sposób podany przez Vaxa wiesz co się dzieje z równaniem
w poszczególnych krokach To jest zdaje się ten sam wyróżnik który występuje
w równaniu kwadratowym które otrzymujesz z układu równań
17 cze 19:19
Benny: Milu, ale jaką metodą?
17 cze 21:46
Mila:
Taką jak pokazałam, jeśli chcesz utrwalić.
17 cze 21:55
Benny: x
3−3x
2+2x−6=0
x=y+1
(y+1)
2−3*(y+1)
3+2(y+1)−6=0
y
3−y−6=0
y=u+v
p=−1
q=−6
I tutaj zaczynają się dziwne pierwiastki. Jeszcze jutro nad tym pomyśle, bo zmęczony jestem.
Jak coś się tutaj nie zgadza to napisz.
Dobranoc
17 cze 22:42
Mila:
Dotąd wszystko pięknie.
Dobranoc
17 cze 22:46
ICSP: Dziwne, wolfram dla równania x
3 − x − 6 = 0 pokazuje zupełnie inną Δ
Czyży błąd ?
17 cze 22:51
Mila:
Dobrze jest u Bennego.
Co się nie zgadza?
Tylko brzydkie wyjdzie u3 i v3, ale da się potem zwinąć pod pierwiastkiem.
17 cze 23:09
ICSP: Już wyjaśniam :
Zamieniając y na x mamy :
x
3 − x − 6 = 0
| | 1 | | −6 | | 242 | |
Δ = (− |
| )3 + ( |
| )2 = ... = |
| (wierząc obliczeniom Benny'go |
| | 3 | | 2 | | 27 | |
, ale wolfram podaje Δ = −968 (
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E3+-+x+-+6+ )
Mamy dwie różne wartości delty (co istotniejsze różnią się znakami)
Pytanie: Czy gdzieś jest błąd ?
Oczywiście podam odpowiedź :
Nie
Dotarliśmy do miejsca w którym kolejne pytanie powinno być oczywiste nie ma nawet sensu go
zadawać
18 cze 01:31
Benny: O masakra co się namęczyłem, żeby to do wzoru zwinąć.
u+v=y=2
x=2+1=3
x
2=i
√2−1
x
3=−i
√2−1
x
3−3x
2+2x−6=(x−3)(x+i
√2+1)(x−i
√2+1)
18 cze 13:10
Benny: Tylko czemu jak to wymnożę to się nie zgadza?
18 cze 13:16
ZKS:
Nie wiem czy za każdym razem uda nam się tak policzyć, ale można spróbować.
v + u = p
To pierwiastki pewnego trójmianu kwadratowego o zmiennej przykładowo t.
| | | | 242 | |
t1 = |
| = [3 − ( |
| )1/2]1/3 |
| | 2 | | 27 | |
| 1 | | 4 | | 4 | |
| * [p3 − 3p2(p2 − |
| )1/2 + 3p(p2 − |
| ) − |
| 8 | | 3 | | 3 | |
| | 4 | | 4 | | 242 | |
(p2 − |
| )(p2 − |
| )1/2] = 3 − ( |
| )1/2 |
| | 3 | | 3 | | 27 | |
Porównujemy części wymierne
4p
3 − 4p − 24 = 0
p
3 − p − 6 = 0
(p − 2)(p
2 + 2p + 3) = 0 ⇒ p = v + u = 2
| | 242 | |
Teraz wstawiamy za p = 2 i możemy zobaczyć jak wygląda [3 − ( |
| )1/2]1/3. |
| | 27 | |
18 cze 13:35
Benny: z delty wyszły mi normalne "i"
(x−3)(x−i√2)(x+i√2)=0
tylko czemu jak liczyłem to wyszło mi x2=i√2−1 x3=−i√2−1
18 cze 13:36
ZKS:
| | 1 + i√3 | | 2 | | 1 − i√3 | | 2 | |
− |
| * [1 − ( |
| )1/2] + − |
| * [1 + ( |
| )1/2] = |
| | 2 | | 3 | | 2 | | 3 | |
−1 + i
√2
18 cze 13:52
Benny: No tak mi właśnie wyszło a jak rozkładam x
2+2 to mam (x−i
√2)(x+i
√2) i czemu tak?
18 cze 13:54
ZKS:
To jest dopiero y! Teraz dodać do tych liczb 1 i masz x.
18 cze 14:11
Benny: Aj no tak. Gapa ze mnie
18 cze 14:49
Mila:
Trzeba było
Benny tak przedstawić deltę:
18 cze 15:15
Benny: Tak właśnie zrobiłem
18 cze 16:37
Benny: Tylko tutaj zapis zmieniłem.
18 cze 16:38
Mila:
18 cze 17:38
Mila:
Rozumiem, że znasz metodę.
18 cze 17:39
Benny: Policzę parę przykładów i te wzorki się utrwalą + zwijanie do sześcianu trzeba poćwiczyć
18 cze 17:42
Mila:
Teraz takie równanie:
x3+5x−6=0
18 cze 20:15
Benny: x
3+5x−6=0
więc p=5, q=−6
u+v=1
x=1
| | −1−√23 | | −1+√23 | |
x3+5x−6=(x−1)(x− |
| )(x− |
| ) |
| | 2 | | 2 | |
Milu masz jakieś rady do zwijania wyrażeń do wzorów na sześcian?
18 cze 22:26
ZKS:
Napisałem przecież jak można próbować zwijać albo od razu obliczać sumę.
v + u = p
| | | | 4 | |
t1 = |
| = (3 − |
| √69)1/3 |
| | 2 | | 9 | |
| 1 | | 20 | | 20 | |
| * [p3 − 3p2(p2 + |
| )1/2 + 3p(p2 + |
| ) − |
| 8 | | 3 | | 3 | |
| | 20 | | 20 | | 4 | |
(p2 + |
| )(p2 + |
| )1/2 = 3 − |
| √69 |
| | 3 | | 3 | | 9 | |
Porównując część wymierną mamy
p
3 + 3p
3 + 20p = 24
p
3 + 5p − 6 = 0
(p − 1)(p
2 + p + 6) = 0 ⇒ p = v + u = 1
18 cze 22:43
Benny: Zauważ, że znowu wróciłeś do podstawowego równania x3+5x−6=0
18 cze 22:48
ZKS:
Jasne wynika to z podstawienia, ale masz nawet
| | | | 4 | |
t1 = |
| = (3 − |
| √69)1/3 |
| | 2 | | 9 | |
Możesz szukać samemu takiego p który da Ci równość.
18 cze 23:08
Saizou : możemy też postępować inaczej (jak nie było to tu nigdzie napisane) a mianowicie w momencie
kiedy mamy równanie w postaci
| | p | |
x3+px+q=0 możemy pod y=z− |
| |
| | 3z | |
i uzyskać równanie 2 stopnia po podstawieniu za z
3=t
18 cze 23:09
18 cze 23:12
Mila:
Metoda Harriota prowadzi do równania II stopnia, ale też trzeba obliczać pierwiastki 3 stopnia.
Spróbuj :
x
3+5x−6=0
p=5
18 cze 23:49
Mariusz: Podstawienie u+v jest o tyle dobre że nie trzeba uważać na dzielenie przez zero
Sposób użytkownika Mila to tak naprawdę skrót tych podstawień u+v czy tego podanego przez
Saizou
i jak to ze skrótami bywa po jakimś czasie możesz zapomnieć go ponieważ nie wiadomo skąd się
wziął
Możesz też kombinować z różnicą sześcianów
W celu uniknięcia liczb zespolonych możesz skorzystać z trygonometrii
(jak wygląda wzór na cosinus kąta potrojonego)
19 cze 05:22
19 cze 05:50
Benny: x
3+5x−6=0
z
3=t
| | 5 | |
podstawiając z do równania x=z− |
| dostajemy x=1 |
| | 3z | |
19 cze 12:33
19 cze 15:07