:) ICSP: Poszukiwany Vax

Ajtek: A za co Cześć ICSP .

ICSP: Witam

Trivial: Czym chcesz męczyć Vaxa?

ICSP: https://matematykaszkolna.pl/forum/238774.html

Trivial: Hmm... Ciekawe zadanko. Pomyślę.

Trivial:

	⎧	a + b + c = −1 −d
	⎨	ab + bc + ca = −1 + d − d2
	⎩	abc = −1 + d3

Hmm interesująca zależność. Może rozważyć wielomian trzeciego stopnia z pierwiastkami a,b,c? W(x) = (x−a)(x−b)(x−c) = x³ − (a+b+c)x² + (ab+bc+ca)x − abc Wygląda obiecująco.

ICSP: Identyczny wielomian napisałem Tylko nie wiedziałem co dalej z nim zrobić

zombi: Tak samo, wielomian mi do głowy przyszedł tylko co dalej.

Trivial: Dla d = −1 rozwiązanie jest (a,b,c) = (1,1,2). (lub dowolna permutacja). Hm...

Trivial: d = −1 ⇒ (a,b,c) = (1,1,−2).

Ajtek: Wielomian stopnia trzeciego, obecność ICSP → wzory Cardano przyszły mi na myśl od razu. Wklepałem w google "wzory Cardano" i dostałem odpowiedź: link 1 http://www.math.us.edu.pl/pgladki/faq/node127.html link 2 http://pl.wikipedia.org/wiki/Równanie_sześcienne link 3 https://matematykaszkolna.pl/forum/99243.html Cztery osoby udzielające się w tamtym wątku nadal są na forum .

Trivial: Przy pomocy wyróżnika Δ można pokazać, że jedynymi liczbami d, które mają szanse zadziałać są d = 0 i d = −1. Dla d = −1, mamy rozwiązania (a,b,c) = (−2,1,1), (1,−2,1), (1,1,−2). Dla d = 0 nie istnieją rozwiązania wymierne.

Trivial: (chyba).

PW: No a (−1,1,−1), od których zacząłem?

Trivial: (−1)(−1)*(1) ≠ −1

PW: Jak zwykle, rachunki

Trivial: Mam błąd w rozwiązaniu, rozwiązałem złą nierówność. Czyli |d| ≥ 2 mogą mieć sens. Wiadomo, że wielomian ma wtedy 3 różne pierwiastki rzeczywiste. A już myślałem, że problem rozwiązany.

PW: W(x) = (x−a)(x−b)(x−c) = x³ − (a+b+c)x² + (ab+bc+ca)x − abc − to jest piękne. Jeżeli wyrazimy to samo "w języku d", to będzie: W(x) = x³ − (d+1)x² + (−1+d−d²)x + d³ −1. Wielomian ten ma mieć − przy założeniu, że d jest całkowita − trzy pierwiastki całkowite. Całkowite pierwiastki tego wielomianu to tylko podzielniki liczby d³ − 1 = (d−1) (d² + d + 1). Dlatego biorąc przykładowe d = −1 szukaliśmy trzech podzielników liczby −2 = (−1−1)(1−1+1). Może wreszcie tym tropem pójdzie?

Trivial: Będzie raczej W(x) = x³ + (d+1)x² + (−d²+d−1)x + (1−d³) ale niestety ten trop rozważyłem na samym początku i nic nie przyszło do głowy.

Trivial: Tym sposobem, problem redukuje się w zasadzie do znalezienia rozkładu na czynniki pierwsze liczby d³−1. Tylko jak go znaleźć dla dowolnego d?

kamczatka: Witam może byłby ktoś chętny pomóc mi w tym zadaniu. Nie dojść jak obliczyć ten 5 warunek pomoże ktoś: https://matematykaszkolna.pl/forum/238938.html

PW: Trivial, a próbowałeś jakieś wnioski wyciągnąć z analizy pochodnej W(x)? Może to jakoś ograniczy d. Nie chcę liczyć, bo się fatalnie mylę co chwila.

Trivial: Przyjmując a < b < c (nierówności mogą być ostre) mamy:

	−(d+1) − √4d2 − d + 4		−(d+1) + √4d2 − d + 4
a <		< b <		< c
	3		3

Co teraz?

PW: Myślałem o czymś prostszym. W'(x) = 3x² + 2(d+1)x −d²+d−1. W(x) ma trzy trzy miejsca zerowe = dwa ekstrema lokalne, więc W'(x) powinna mieć dwa miejsca zerowe − dodatnią Δ.

Trivial: No i ma. 4(4d² − d + 4) > 0 ∀ d.

Trivial: Nie wiem, tutaj potrzeba jakiegoś obskurnego twierdzenia, które na pewno zna Vax.

PW: Ja też się poddaję, zwłaszcza ze jakiś rok temu już to zadanie było i nikt go nie rozwiązał (chyba mnie pamięć nie myli).

Vax: Dobry wieczór Napiszę początek rozwiązania, gdyż dalej to tylko kwestie rachunkowe, każdy sobie policzy Z warunków zadania mamy a+b+c = −1−d , ab+ac+bc = −d²+d−1 , abc = d³−1, skąd wynika, że abc+2 = (a+b+c)(ab+ac+bc) ⇔ 2 = (a+b)(a+c)(b+c) Ale a,b,c są całkowite, więc mamy po prostu parę przypadków do sprawdzenia. Dla każdej trójki a,b,c należy sprawdzić czy będzie istniało d całkowite spełniające jednocześnie wszystkie 3 początkowe równości.

ICSP: aż to jutro sprawdzę

Mila: (−2,1,1,−1) (1,−2,1,−1) (1,1−2,−1)

Mila: Trivial odkrył d=−1.

Trivial: Hm... Szkoda że nie pomyślałem o zależności: (a+b+c)(ab+bc+ca) − abc = (a+b)(b+c)(c+a) która wcale nie jest taka trywialna. PS: sprawdziłem każdy przypadek |d| ≤ 10 000. Działa tylko d = −1.

PW: No i znowu Vax zabił nas śmiechem. A my tu jakieś wielomiany, cuda−wianki. Można tylko zgrzytać zębami − a byłem tak blisko!