Rozwiniecie w szereg maclaurina turkistan: Witam! Moze ktos pomoc w rozwinieciu tej funkcji w szereg Maclaurina:

3x−5
x2−4x+3

asdf: pomoge tylko nie chce mi się liczyc Policz n−tą pochodną

turkistan: czyli jaka pochodna? jak sie liczy n−ta pochodna?

Maslanek: A jak się liczy pierwszą, drugą, trzecią?

turkistan: no to do n to znaczy ile tych pochodnych? z 4?

MQ: Ponieważ x²−4x+3=(x−3)(x−1), więc ja bym to radził rozbić tak:

3x−5		x−3+2x−2		1		2
	=		=		+
x2−4x+3		(x−3)(x−1)		x−1		x−3

i do piero rozwijać.

turkistan:

	−3x2+10x−11
f' =
	(x2−4x+3)2

	6x3 −30x2 + 66x − 58
f'' =
	(x2−4x+3)3

	(6 (83−116 x+66 x2−20 x3+3 x4))
f''' = −
	(3−4 x+x2)4

turkistan:

	−3x2+10x−11
f' =
	(x2−4x+3)2

	6x3 −30x2 + 66x − 58
f'' =
	(x2−4x+3)3

	(6 (83−116 x+66 x2−20 x3+3 x4))
f''' = −
	(3−4 x+x2)4

turkistan:

	−3x2+10x−11
f' =
	(x2−4x+3)2

	6x3 −30x2 + 66x − 58
f'' =
	(x2−4x+3)3

	(6 (83−116 x+66 x2−20 x3+3 x4))
f''' = −
	(3−4 x+x2)4

asdf: dla trzeciej pochodnej masz zle: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28+++%283x+-+5%29+%2F+%28x%5E2-4x%2B3%29++%29+%27%27%27+%3D z resztą..zacznij od prostszych przykladow, np: y = ln(x+1), y = sin(x), y = cos(x) tylko nie rób czasem takich zadan: y = tg(x), y = ctg(x) <− one nie są do wyprowadzenia dla normalnych ludzi

MQ: To jest bardzo prosty przykład −− patrz mój post z 18:28

turkistan: tzn...te rozwiniecie ktore wam zadalem, ja zrobilem tak ze najpierw zrobilem calkie z tego wyszlo mi: ln(x−1) + 2ln(x−3) teraz z tego wyprowadzilem szeregi i potem obliczylem z pochodnych te szeregi:

	2		x
∑n=0−(x)n i −		∑n=0(		)n
	3		3

potem je zcalkowalem, a potem znowu pochodna z calosci i wyszlo mi cos takiego:

	−1xn(3n+2+2)
∑
	3n+2

dobrze wyszlo? tylko ze dla n=0 wychodzi mi to co w tym dla pierwszej pochodnej a dla 0 powinno

	5
wyjsc −
	3

asdf: kurde...ja myslalem, ze Ty dopiero zaczynasz analize, dlatego takim sposobem odradzam jak mój, skorzystaj z podpowiedzi MQ

turkistan:

	x		x
juz wiem czemu zle wychodzi bo ja zrobilem calke (		)n ze to ejst rowne (		)n+1
	3		3

a przeciez stalej sie nie calkuje czyli dobrze bedzie tylko w moim wzorze zamias 3ⁿ⁺² bedzie 3ⁿ⁺¹?

turkistan: aaaaaa rzeczywisice tak jak MQ pokazał jest wiele latwiej.... bo mam od razu przeciez te szeregi heh dzieki za pomoc.... mam jeszcze problem z zadaniem tego typu: Ile wyrazów funkcji ln(x+1) nalezy uwzglednic, aby obliczyć ln 1,5 z dokladnoscia do 10⁻5 no rozumie ze trzeba to zrobic z rozwiniecia:

	(−1)nxn+1
ln(x+1) = ∑n=0
	n+1

x = 1/2 no ale nie wiem co dalej...

MQ: Trzeba policzyć resztę R_n i znaleźć n z warunku: R_n≤10⁻⁵

asdf: to trzeba skorzystac z przyblizenia, tzn: | R_n(x) | < 10⁻⁵, wtedy policzysz n i masz ile trzeba dodac, ale najpierw: dobrze masz tą n−tą pochodną?

asdf: przypomnę tylko:

	f(n)(c)
Rn(x) =		* xn
	n!

turkistan: hm...a te reszte to sie liczy ? znalazlem na wiki reszte calkowa w moim przypadku to bedzie

	(x−t)n
∫x		fn+1(t) dt
	n!

0 tylko jak cos z tego wyliczyc?

asdf: podaj wzór na n−tą pochodną, bo chyba to nie będzie:

(−1)n(xn+1
	, ale moge się mylic
n+1

asdf: jak chcesz to masz jeszcze takie zadanie: przybliż funkcją f(x) = sin²x wartość w punkcie x = 1 z dokładnością 10⁻⁴ Jest proste, jak się skorzysta z małeego przekształcenia po pierwszej pochodnej, inaczej jest to malowykonalne

turkistan: tzn to roziwniecie?

	1	1
ln(x+1)' =			= ∑(−x)n = (−1)n xn no i teraz calke z tego to
	x+1	1−(−x)

	(−1)nxn+1
∑
	n+1

turkistan: ok tylko najpierw tamto zrobmy bo nie moge spac przez nie

asdf: ...az Ci policze n−tą pochodną...: ln(x+1)' = (x+1)⁻¹ ln(x+1)'' = ((x+1)⁻¹) ' = −1(x+1)⁻² ln(x+1)''' = (−1)(−2)(x+1)⁻³

	(−1)n+1*(n−1)!
ln(x+1)(n) =
	(x+1)n

	f(n)(c)		(−1)n+1 (n−1)!
Rn =		{n!}*xn =		* xn =
	n!		n!*(c+1)n

(−1)n+1(n−1)!		(−1)n+1
	* xn =		* xn
n*(n−1)! * (c+1)n		n*(c+1)n

z definicji masz, że c ∊ (x₀, x) (jak x > x₀ else: na odwrot) x₀ = 0, x = 10⁻⁴ mozesz wiec to zapisac jako: 0 < c < 1/2 1 < c + 1 < 1 + 1/2 1ⁿ < (c+1)ⁿ < (1/2 + 1)ⁿ

	1		1
1 >		>
	(c+1)n		(1/2 + 1)n

1		1
	<		< 1
(1/2 + 1)n		(c+1)n

mozesz wiec zamiast wyrazenia:

1
	ograniczyc z gory przez 1, czyli masz:
(c+1)n

	(−1)n+1
| Rn(0.5) | = |		* (0.5)n | =
	n*(c+1)n

1		1
	* (0.5)n <		* (0.5)n
n * (c+1)n		n * 1

teraz musisz policzyc: R_n(0.5) < 10⁻⁴ czyli masz takie cos:

(0.5)n
	< 10−4
n

n
	> 104
(0.5)n

podstaw kilka pierwszych n, np. 1,2,3,4,5,6 i jak zacznie byc wieksze to przestan liczyc, wtedy otrzymasz: n > ... czyli bedziesz wiedziec ile masz podstawic ew. sprawdz czy nie ma u mnei bledow logika w tym wszystkim jest...

asdf: tam powinno być: x₀ = 0 ( to z def szer. Maclaurina), a x = 1/2, pomylilem sie

turkistan: w krysicki wlodarski jest podbne zadanie tylko ze tam trzeba ln 2 i z dkladnosci do 10⁻2 no i nie wychodzi mi twoim sposobem czyli n≥10² w podreczniku jest 99.... tam jest(ile musimy wziac wyrazów szeregu...)

turkistan: @asdf w podrecznki jest dokladnie: Ile musimy wziac wyrazów szeregu: ln(x+1) = x − x² /2 itd.. aby obliczyc ln2 z dokladnoscia do 10⁻2 to czemu sie tutaj nie sprawdza.. (czy sie sprawdza i tzrba wziac po prostu n−1)?

asdf: w podręczniku jest: n > 99?

asdf: jezeli tak, to jest to to samo, jezeli nie, porownaj moje obie definicje...logika w zadaniu na bank jest dobra.

asdf: nie "moje definicje", tylko obydwie *

turkistan: pisze ze 99 wyrazow...

asdf: to sprawdz przyklad tamten, nie mam ksiazki, nie pomoge Ci Sorki, ale ja czasu nie mam, bede wchodzic na forum ~40 minut

turkistan: moze nie licza 0−wego wyrazu

asdf: jak to zerowego?

turkistan: no dla n =0 w szeregu...ale watpie, to czemu tak jest...do tamtego pierwszego nie mam odp ale to wydaje sie dobrze...co moze byc nie tak?

asdf: jakby było 0 to jeszcze bardziej by pogorszyło sprawę w którym? tym pierwszym? − nie wiem jak je zrobić

turkistan: nie znasz kogos kto by doradzil?

Godzio: asdf rozwiązał dobrze zadanie, tylko chcieli mieć przybliżenie 10⁻⁵, a asdf liczył dla 10⁻⁴

MQ: W czym macie problem? Przecież n+1 wychodzi 100, więc n=99 i masz 99 wyrazów szeregu, bo wyraz 0−owy = 0

turkistan: @godzio Ile musimy wziac wyrazów szeregu: ln(x+1) = x − x² /2 itd.. aby obliczyc ln2 z dokladnoscia do 10⁻2 ma wyjsc 99 wyrazow czemu tym sposobem nie wychodzi

turkistan: czyli jak mi wychodzi ze n = 100 czyli poprostu z szeregu trzeba wziac 99 bo zerowy jest rowny 0.... a kolejny problem to jak obliczyc blad przyblizenia?

asdf: przybliżyć jest łatwo: http://www.matematyka.pl/59707.htm

asdf: pamietam, że kiedys robilem takie cos: https://matematykaszkolna.pl/forum/203572.html https://matematykaszkolna.pl/forum/208730.html a tutaj inne: https://matematykaszkolna.pl/forum/206627.html

MQ: n+1 wychodzi 100 n wychodzi 99

MQ: A błąd przybliżenia, to właśnie reszta przecież.

Godzio:

	fn+1(c)
Generalnie ja się uczyłem, że Rn =		(x − x0)n + 1, więc z tego już
	(n + 1)!

wychodzi dobrze, zależy co miałeś podane na wykładzie

1
	≤ 10−2 ⇔ 100 ≤ n + 1 ⇒ n ≥ 99
n + 1

asdf: a wyżej napisałem... "porównaj obie definicje" − to się nie chciało turkistanowi

turkistan: do przyblizenia ktory wyraz sprawdzam w przypadku Godzio za n 99?

turkistan: bo jeszcze mam do policzenia √e z dokladnoscia do 10⁻³ no to robie tak fⁿ⁺¹ = e^x

	fn+1(c)xn+1
Rn =
	(n+1)!

no i teraz 0<c<1 =>> 0<e^c<e¹; zatem

	e
Rn =
	2n+1(n+1)!

	e
to jest mniejsze dla		≤10−3
	2n+1(n+1)!

2ⁿ⁺¹(n+1)!>10⁴ e no i jest to prawdziwe dla n =4. zatem licze wyrazy

	(0,5)0		(0,5)1		(0,5)2		(0,5)3
		+		+		+
	0!		1!		2!		3!

czy jeszcze

	(0,5)4
+		?
	4!

asdf: chyba powinno być: dla c < 1: 0 < e^c < e¹ < 3 dla c < 1/2: 0 < e^c < e^1/2 < √3 √3 < 2 przeciez zalozeniem jest, ze Ty nie znasz liczby "e", tylko wiesz ze granicy ciągu, że:

	1
lim ( 1 +		)n = e1, a mozna to wlasnie ograniczyc w taki sposob:
	n

2 < e < 3, czyli, wiedząc, że f(x) = √x jest różnowartościowa (moze to malo istotne), ale jest rosnąca w całej dziedzinie, więc: 2 < e < 3 ⇒ √2 < √e < √3

turkistan: aaaaaaaaaa.....no to juz czaje a n− pochodna sinusa wyglada tak nie?: sin(x +π/2 *n) i to mozna tak ograniczyc < x +π/2 *n dla x ∊ (0, pi/2) nie?

asdf: −1<sin(x + pi/2 * n) < 1 ⇒ | sin(c + pi/2 *n) | < 1 R_n wygląda tak:

	sin(c + pi/2 *n)
Rn(x) =		* xn
	n!

	sin(c + pi/2 *n)		1		xn
|Rn(x)| = |		* xn | <		* xn} =
	n!		n!		n!

asdf: nie bardzo Cie rozumiem, czemu x można ograniczyć do (0, pi/2) ? Albo to była pomyłka, albo nie wiesz co liczysz...Ty masz oszacować WARTOŚĆ, a nie argument ( argument też źle oszacowany )

asdf: tego argumentu chyba się nie da oszacować − z resztą: po co...