Oszacuj błąd przybliżenia Ewka : Oszacuj błąd przybliżenia:

	x		x2
√1+x ≈ 1 +		−
	2		8

PW: f(x)=√1+x

	1
f'(x)=		=12(1+x)−12
	2√1+x

f''(x)=−¹₄(1+x)^−3₂

	f'(0)		f''(0)
f(x) = f(0) + x		+ x2		+ ...
	1!		2!

Są to pierwsze wyrazy rozwinięcia funkcji f w szereg MacLaurina √1+x = √1+0 + x•¹₂(1+0)^−1₂ +x²•(−¹₈(1+0)^−3₂) + ...

	x		x2
√1+x = 1 +		−		+ R2(x),
	2		8

przy czym

	3	(1+ξ)−52		x3		x3
R2(x) = x3			=		<
	8	3!		16(1+ξ)52		16

(ξ jest liczbą z przedziału (0,x)).

	x3
Tak więc błąd nie przekracza		dla x>0.
	16

Sprawdżmy np. dla x=1:

	1		1
√1+1≈ 1 + {1}{2} −		, a błąd jest mniejszy niż
	8		16

√2 ≈ 1+0,5−0,125 = 1,375, a błąd jest mniejszy niż 0,0625, czyli 1,375 < √2 < 1,4375 Dla mniejszych x przybliżenie jest lepsze, np dla x=0,2

	0,04
√1,2 ≈ 1 + 0,1 −		= 1,1 − 0,005 = 1,095 , błąd nie przekracza 0,0005,
	8

tak więc 1,095 < √1,2 < 1,0955