przypadki Blitz: Mam pytanie natury ogólnej Kiedy w trygonometrii jest jeden przypadek a kiedy dwa?

krystek: O jakie przypadki pytasz?

krystek: jezeli w równaniach to sinx i cosx ma dwa rozwiazania w swoim podstawowym okresie. a tg i ctg jedno.

xxy: Przypadki: 1. Mianownik kto? co? sinus 2. Dopełniacz kogo? czego? sinusa itd.

krystek: @xxy , nie chciałam być złośliwa , też tak chciałam odpowiedzieć.

Blitz: dobra dobra nie naigrywać się tu proszę ze mnie chodziło o równania

Blitz: a co znaczy "w swoim podstawowym okresie?

krystek: A ile wynosi okres f sinx i cosx

krystek: https://matematykaszkolna.pl/strona/426.html

krystek:

	√2		π		π
sinx=		⇒x=		+2kπ lub x=(π−		+2kπ
	2		4		4

Blitz: ale chodzi tylko o 2π czy o −2π też? bo właśnie rozwiązuje takie proste równanka i przy cosx=−1 w odpowiedzi jest tylko jedno rozwiazanie..

Blitz: dlaczego nie ma dwóch odpowiedzi?

krystek: ponieważ −1 f przyjmuje w podstawowym okresie tylko raz. cosx=−1 ⇒x₁=π +2kπ lub x₂=(2π−π)+2kπ ⇒x₂=π+2kπ i widzisz ,że x₁=x₂

krystek: https://matematykaszkolna.pl/strona/427.html

Blitz: ok dzięki

krystek: https://matematykaszkolna.pl/strona/1578.html Zapoznaj sie z prostymi równaniami

Blitz: jeszcze jedno pytanie dlaczego liczyac 2 przypadek przy przykłądzie z sinusem odejmowałes od π a w cos od 2π ?

krystek: Wzory redukcyjne kłaniaja się . Sin dodatni w I i II ćwiartce cos dodatni w I i IV ćwiartce! stąd II ćwiartka to π−α III ćwiartka to π+α IV ćwiartka to 2π−α ( α kąt ostry)

Blitz: dobra a czemu tu jest tylko jeden przypadek sin5x=1 ?

Blitz:

Blitz: jedno rozwiązanie znaczy się

PW: Równanie sin5x=1 ma nieskończenie wiele pierwiastków (rozpatrywane dla x∊R). Rozpatrywane na (0,2π) ma jeden pierwiastek − wystarczy narysować wykres (widać, że na tym przedziale jest tylko jeden "szczytowy" punkt patrząc po osi OY, czyli maksimum funkcji, równe właśnie 1).

Blitz:

	9π
a np		+ 2kπ dlaczego nie nalezy?
	10

PW:

	2π
No i zmyliłem się sam − jeden pierwiastek na przedziale (0,		).
	5

	2π
Okres funkcji sin5x jest równy		, czyli na przedziale (0, 2π) równanie miałoby aż 5
	5

pierwiastków!

Blitz: no ok, to czemu w odpowiedzi jest tylko jeden?

PW: A jaka była dziedzina równania? Może napisz dokładnie treść zadania.

Blitz: rozwiąż równanie i tyle.

Blitz:

Blitz: PW

PW: Nie ma "równania i tyle". Równanie musi mieć dziedzinę. Jeżeli nie powiedziano nic na ten temat w poleceniu, to zwyczajowo bierze się dziedzinę największą z możliwych, czyli w tym wypadku cały R.

	π
Pierwiastkiem równania sin5x=1 byłby więc x0=		oraz wszystkie różniące się od niego o
	10

całkowitą wielokrotność okresu:

	π		2kπ
xk =		+
	10		10

	(2k+1)π
xk =		, k∊C
	10

PW: Znowu pomyłka − coś jestem rozkojarzony − powinno być

	π		2kπ		2π
xk =		+		(okres jest równy		)
	10		5		5

	(4k+1)π
xk =
	10

Sprawdź jeszcze po swojemu, najlepiej na wykresie. "Po szkolnemu" rozwiazują to tak:

	π		π		2kπ
sin5x=1 ⇔ 5x=		+2kπ ⇔x =		+
	2		10		5

Blitz: Dalej nie wiem kiedy trzeba pisać dwa rowzwiazania kiedy nie. np w równaniu sin²x−3cosx−3=0 jest tylko jedno rozwiazanie cosx=−1 x=π+2kπ a np w równaniu tgx=2sinx sinx=0 x=0+kπ

	1
cosx=
	2

	π		π
x=		+ 2kπ lub x= −		+2kπ
	3		3

W jednym podawane jest jedno rozwiazanie a w drugim 2, od czego to zaalezy? Czemu w pierwszym są 2 cosinusy a w drugim jest 1 cosinus?

PW: sin²x−3cosx−3=0 1−cos²x−2cosx−3=0 cos²x+3cosx+2=0 cosx+1)(cosx+2)=0 cosx=−1 lub cosx=−2 (to drugie jest niemożliwe, więc cosx=−1 Po narysowaniu wykresy widać, że tym razem na przedziale o długości jednego okresu, czyli na <0, 2π) jedynym pierwiastkiem jest x₀=π, a więc wszystkie pierwiastki mają postać π+2kπ. Rozwiązanie jest poprawne.

	π
tgx=2sinx zakładamy, że x≠		+kπ (bo taka jest dziedzina funkcji tangens).
	2

	sinx
		=2sinx
	cosx

	1
sinx(		−2)=0
	cosx

	1
sinx=0 lub cosx=
	2

Oba równania masz rozwiązane poprawnie − rysuj wykresy! Zobaczysz, że sinus przyjmuje wartość 0

	1
co π (dlatego x=kπ), a cosinus przyjmuje wartość		d w a r a z y na przedziale o
	2

długości jednego okresu (wzięto tu dla wygody przedział <−π, π> − łatwiej widać wtedy te dwa symetryczne pierwiastki

	π		π
−		i
	3		3

Blitz: Ok dzięki, troszkę mi się rozjaśniło zobacze jak będzie dalej szło