całka luk20: Jak ugryźć taką całkę? ∫e^xcosxdx

Godzio: Dwa razy przez części

luk20: Zastanawiam się nad znakami... po dwóch zastosowaniach przez części mam tak: e^xsinx+e^xcos − ∫e^xcosxdx, no i ten ostatni znak mnie bardzo zastanawia (przed ostatni w sumie też), bo po jednym zastosowaniu metody przez części mam e^xsinx − ∫e^xsinxdx, czyli ten minus jakby stoi przez całym wyrażeniem, to czy potem ten minus nie zmienia znaków?

Godzio: Zmienia, ale cosx też je zmienia, więc ogólnie nic się nie dzieje, przenosisz to co masz po prawej (całkę) na lewo i wychodzi 2∫e^xcosxdx = e^x(sinx + cosx) czyli ...

Trivial: 83401 129434 130466

luk20: To już rozumiem, a przykład ∫x²e^xdx, próbowałem przez części, ale nie wiem czy mi dobrze wyszło: e^xx²−2xe^x−2e^x

Trivial: [e^x(x²−2x−2)]' = e^x(x²−2x−2) + e^x(2x−2) = e^x(x²−4) ≠ x²e^x. Poprawny wynik to: e^x(x²−2x+2) gdyż [e^x(x²−2x+2)]' = e^x(x²−2x+2) + e^x(2x−2) = x²e^x.

Godzio: + 2e^x chyba

luk20: czyli znowu coś ze znakami pomieszałem...

Mila: ∫e^xcosxdx= ( ) e^x=u dv=cosxdx e^xdx=du v=∫cosxdx=sinx ( )=e^xsinx−∫e^xsinxdx= .... e^x=u dv=sinxdx e^xdx=du v=∫sinxdx=−cosx stąd ...=e^x sinx−(−cosx*e^x+∫e^xcosxdx)= =e^xsinx+e^xcosx−∫e^xcosxdx czyli 2∫e^xcosxdx=e^xsinx+e^xcosx

	1
∫excosxdx=		(exsinx+excosx)
	2

luk20:

	1
∫arctgxdx= xarctgx −		ln(x2+1)?
	2

luk20:

	1		1
albo ∫xlnxdx=		lnx−		x2?
	2		4

luk20:

	1		1
po = powinno być		x2lnx−		x2
	2		4

Godzio: Jak chcesz sobie tylko sprawdzić wynik to wpisuj w wolframa: np ∫arctgx wpisz "int arctgx" i Ci wyskoczy wynik

Mila: ∫x²e^xdx= x²=u dv=e^xdx 2xdx=du v=e^x =x²e^x−2∫xe^xdx= x=u dv=e^xdx v=e^x =x²e^x−2(xe^x−∫e^xdx)=x²e^x−2xe^x+2e^x = e^x(x²−2x+2)

luk20: Dzięki czyli zrobiłem dobrze

luk20: A mam takie pytanie, w twierdzeniu o całkowaniu przez części jest tak: ∫fg'dx=fg−∫f'gdx, czy ma znaczenie, którą funkcję jak sobie oznaczymy, np w przykładzie ∫xlnxdx

Godzio: No jasne, że ma, zależy którą funkcję chcesz "zmniejszyć" (nie mogłem znaleźć dobrego określenia )

	x2
∫xlnxdx = ∫(		)' * lnxdx = ... i ze wzoru
	2

luk20: bo jeżeli wezmę sobie tak: f(x)=lnx g'(x)=x f'(x)=¹_x g(x)=¹₂x² to idzie łatwo ale w drugą stronę jest gorzej...

luk20: Obliczyłem w drugą stronę i wyszło to samo, troszkę się pomęczyłem, ale jak już ogarniam te całki to nie jest tak źle...

luk20: Chodzi mi przede wszystkim czy wyjdzie coś innego?

Godzio: zacznijmy od tego, że nie wiem czy Ci wyjdzie innym sposobem (bo później i tak trzeba liczyć sam lnx więc powrót do tej samej metody i zapętlenie bez sukcesu), a wyjść musi zawsze to samo, ewentualnie przesunięcie o stałą, ale to nie zmienia wyniku ∫e^xdx = e^x + C, ale również ∫e^xdx = e^x + √5 + C

luk20: No a ten sposób, że jak wyjdzie mi po prawej stronie to samo co po lewej tylko z minusem to przeniosę na prawo, mam 2 przed całką i dzielę wtedy na 2 (jak w przykładzie ∫e^xcosxdx) też jest chyba dobry?

Godzio: Też

luk20: To jeszcze jedno małe pytanko i chyba już wszystko wiem − czy jak zapomnę dopisać +C to jest duży błąd? Jutro mam egzamin i wolę sobie to zapisać na czole, że nie zapomnieć

Trivial: Niektórzy nie tolerują wyników całek bez +C. Niektórym to wisi.

Mila: Trzeba zawsze dopisać +C.