Całki Magda: Całki prosze o wytłumaczenie skąd to się wzięło chodzi mi głównie skąd sie to wzięło i dlaczego tak mozna robić, a mianowice na tym przykładzie: https://matematykaszkolna.pl/strona/2291.html Chodzi mi o wiersz 5 od góry poniżej tego czerwonego wiersza o co w tym chodzi to jest przedstawione za pomocą iloczynu pochodnych mozna tak, b nie rozumiem Prosze o pomoc

jo: To jest tylko taki 'skrócony zapis', zrób tak jak robisz zawsze metodą podstawiania i wyjdzie Ci to samo co jest w drugiej linijce pod czerwonym zapisem.

Magda: właśnie chodzi, że mam to liczyć przez części, całość nadal nie rozumiem o co w tym chodzi może ktoś wytłumaczyć dokładniej

jo: W ogóle przez części nic nie liczyłaś?

Trivial: To jest z twierdzenia o całkowaniu przez części. ∫udv = uv − ∫vdu Dowód: (∫udv)' = udv (uv − ∫vdu)' = vdu + udv − vdu = udv. Zatem O.K. Również nie przepadam za zapisem w taki sposób jak na tamtej stronie − dużo pisania, a wcale nie jest bardziej przejrzyście.

	u=ex dv=cosxdx du=exdx v=sinx
∫excosxdx =		= ex*sinx − ∫sinxexdx =

	u=ex dv=sinxdx du=exdx v=−cosx
= ex*sinx − ∫exsinxdx =		=

= e^x*sinx − [e^x*(−cosx) − ∫e^x*(−cosx)dx] = e^x*sinx + e^x*cosx − ∫e^x*cosxdx Zauważamy teraz, że dotarliśmy do takiej samej całki, z jaką użeraliśmy się na początku, a więc radośnie przenosimy ją na drugą stronę. 2∫e^xcosxdx = e^x(sinx + cosx)

	1
∫excosxdx =		ex(sinx + cosx) + c.
	2

Koniec.

Magda: nie było mnie na lekcji.... Ponoć przez części liczymy tak jak w notatkach: ∫e^xcosx dx v= e^x v'=e^x u= sinx u'= cosx i korzystam ze wzoru: ∫v*u' dx= v*u − ∫v' * u dx podstawiam: ∫ e^xcosx dx= e^xsinx− ∫e^xsinx dx i tym samym otrzymuje ten 3 wiersz pod czerwonym tekstem i nie wiem co dalej

Magda: Trivial możesz pomoć i spojrzeć na to jak my to robimy u siebie...

Trivial: Wyobraź sobie, że u' = du, a v' = dv. Teraz przeanalizuj jeszcze raz.

jo: Wszystko masz już powyżej, co napisał/a Trivial. Dobrze masz zastosowany wzór ale jest jeszcze całka do obliczenia więc ją też przez części.

Magda: czyli chodzi tylko o to, żeby tą całkę którą otrzymujemy czyli ∫e^xsinx dx jeszcze raz przez części i tyle ? jak coś to najwyżej podpytam się jutro i wrócę do tego posta

jo: Tak, następnie przenosi się na drugą stronę itd tak jak Trivial pięknie opisał/a

Trivial: ł.

Magda: ok, dzięki wielkie wam

jo: Ok, to już powinnam zapamiętać