moniia7: Nierozumiem całej paraboli \;9 ico mam zrobić||?:(

Jakub: Przeczytaj jeszcze raz i napisz konkretnie czego nie rozumiesz.

Enived: z całym szacunkiem po co dodatkowe oznaczenia na współrzędne wierzchołka paraboli? to jest p i q a obok odnośnik do postaci kanonicznej i tu jedne oznaczenia a tu drugie. brak jakiejkolwiek konsekwencji to tylko miesza w głowach

Jakub: Gdy liczę współrzędne wierzchołka wolę używać oznaczenia (x_w, y_w), aby podkreślić, że chodzi o współrzędne. Tak samo miejsca zerowe funkcji kwadratowej oznacza się x₁, x₂. Przy zamianie wzoru funkcji kwadratowej do postaci kanonicznej liczę p i q. Prawda, że x_w =p, y_w=q i mógłbym zamiast liter p i q pisać oznaczenia x_w i y_w. Tylko że nigdzie nie widziałem takiego wzoru w postaci kanonicznej y=a(x−x_w)²+y_w. Z tego powodu stosuję litery p i q. Te litery biorą się z tego, że wykres funkcji y=a(x−p)²+q otrzymujemy przez przesunięcie wykresu funkcji y=ax² o wektor [p,q]. Często współrzędne wektora oznacza się literami p, q ,r , s , t... Jednak pewne zamieszanie tu widzę. Ważne aby pamiętać, że x_w = p i y_w = q.

HeńU: według mnie , wszystko fajne troche sie połapałem . jednak jeżeli chodzi o wykres kompletnie blady jestem . lepiej by było po kolei opisać każdą czynność , byłoby to wtedy bardziej przejrzyste i zrozumiałe.

Gonzo: Wykresy są przedstawione w najlepszy możliwy sposób. Brawa dla autora za czytelność omawianego materiału.

Gustlik: Jakubie, czasami łatwiej jest policzyć y_w=f(x_w) albo q=f(p). Na ogól nie mówią o tym w szkołach, ale znajomość tego sposobu się przydaje, zwlaszcza przy nieopełnych funkcjach kwadratowych typu f(x)=ax²+bx czy f(x)=ax²+c, przy których zazwyczaj nie liczymy Δ potrzebnej do standardowego wzoru. Współrzędną p (x_w) liczymy ze wzoru p=−b/2a, a q=f(p). Ten sposób obliczania q przydaje się również np. przy przekształcaniu funkcji kwadratowej z postaci iloczynowej na kanoniczną, przedstawiłem ten sposób tu: https://matematykaszkolna.pl/forum/forum.py?komentarzdo=73 .

maciek: a ja nie rozumiem ostatniego przykladu kiedy zczytujemy z postaci kanonicznej. y=x²−6 skad wiemy ze Weirzcholek jest w punkcie (0, 6) jak to jest zczytane?

Jakub: Zamiast y=x²−6 można napisać y=(x−0)²−6. Teraz lepiej widać, że wierzchołek y=x²−6 to (0,−6).

Rafał: Proponował bym dopisać xw=p yw=q przed przykładami z odczytywaniem współrzędnych wierzchołka z postaci kanonicznej. Mogło by to odrobinę "rozjaśnić" dlaczego najłatwiej jest odczytać z tej postaci.

Jakub: Dodałem na 69.

adaaa: dlaczego gdy w nawiasie p jest dodatnie to oznaczamy go ujemnie jak wypisujemy dane ? a gdy jest ujemna to piszemy dodatnia ?

Jakub: Wynika to ze wzoru na postać kanoniczną, który jest y=a(x−p)²+q, gdzie wierzchołek W=(p,q). Tak więc jak masz y=(x+3)²+5, to wierzchołek W=(−3,5).

Piotrek88: Dzięki Jakub twoja strona jest fajnie zrobiona i wszystko jest tu fajnie wyjaśnioneWreszcie zaczynam to rozumieć

eneo: mam pytanie bo na stronie e−zadania.pl jest taki przyklad jak koles rysuje wykres funkcji z wysciowego wzoru w postaci kanonicznej y=−2(x+1)2−1 i tam on to robi tak ze nie wyznacza z tego p i q tylko przesuwa wykres wyjsciowy o 1 jedn w lewo i 1 jedn w dół. Z tąd moje pytanie dlaczego na tej stronie takie przyklady nie zostaly omówione, tylko sa tu takie z ktorych liczymy poprostu p i q bez zadnego przesuwania Troche tamta strona mi namieszala

Jakub: Jak nie zostały omówione? Zobacz 1681 i rozwiązania do y = x²−4x+3, y = −2x²−8x−5, y = x²−6x+10. Ten sam sposób co na e−zadania.pl Zobacz też wcześniejsze zadania są rozwiązane inną metodą, ale też fajną.

Kamil: Witam. Mam pytanie, jeżeli liczę wierzchołek mając funkcje f(x)=2x²−8x+6 to czy mogę skrócić to przez 2 w ten sposób: 2x²−8x+6=0 / :2 to da nam x²−4x+3=0 wtedy delta równa jest 4 a W=(2,−1) a licząc z tego pierwszego wzoru funkcji W=(2,2) i moje pytanie brzmi czy jest to błąd czy delte musimy liczyć ze wzoru ogólnego funkcji? bo wtedy wyjdą 2 różne rozwiązania..

Jakub: Tak. To jest błąd. Funkcje f(x) = 2x²−8x+6 i f(x)=x²−4x+3 to są zupełnie dwie różne funkcje. Mają różne wykresy i różne wierzchołki. Tak więc wierzchołek tej drugiej funkcji nie jest taki sam jak wierzchołek pierwszej. Jak masz równanie f(x) = 2x²−8x+6, to owszem możesz podzielić obustronnie na 2. f(x) = 2x²−8x+6 /:2

f(x)
	= x2−4x+3
2

Otrzymujesz coś takiego, co nie wiadomo, co oznacza. Dlatego dzielić można, ale nie ma sensu tego robić Co innego, gdy masz równanie 2x²−8x+6 = 0. Wtedy możesz dzielić obustronnie na 2 i otrzymasz x²−4x+3 = 0. Rozwiązanie tego równania jest jednocześnie rozwiązaniem równania 2x²−8x+6 = 0. Tylko, że w zapisie funkcji f(x) = 2x²−8x+6 nie masz zera po lewej stronie i dzielenie jest bezsensu.

lwg: lwg: (x,y) to uporządkowana para taka, że x → y, tzn. każdemu elementowi x zbioru X jest przyporządkowany jednoznacznie (dokładnie jeden) element y zbioru Y, co oznacza, że element y może być przyporządkowany więcej, niż jednemu elementowi x zbioru X; x jest poprzednikiem w parze (x,y), argumentem funkcji, zmienną niezależną funkcji, bo niezależną od y z uwagi na x → y, albowiem y jest przyporządkowany x, a nie na odwrót (y jest dla x); y jest więc następnikiem w parze (x,y), wartością funkcji, zmienną zależną, bo zależną od x z uwagi na x → y − stąd f(x) = y jest wartością funkcji dla argumentu x, równą y; X to zbiór wszystkich argumentów funkcji zwany dziedziną funkcji; Y to zbiór wszystkich wartości funkcji zwany przeciwdziedziną funkcji. Aby określić funkcję f (symbol funkcji) musimy podać jej dziedzinę X oraz przepis przyporządkowania poszczególnym argumentom wartości funkcji. Stąd mamy zapis x → y = f(x) i x ∊ X. 15 sie 17:05lwg: Jeżeli każdy element y zbioru Y jest przyporządkowany co najmniej jednemu elementowi x zbioru X, to mówimy, że funkcja odwzorowuje (przekształca) zbiór X na zbiór Y, a więc że jest przekształceniem (odwzorowaniem). Aby stwierdzić czy istnieje odwzorowanie zbioru X na zbiór Y: X → Y, nie muszą być wyznaczone wszystkie pary (x,y), lecz mimo tej niedoskonałości przyjmujemy, że jeżeli funkcja przebiega, to odwzorowanie istnieje. Dwie funkcje są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają jednakowe dziedziny i jednakowe wartości dla tych samych argumentów. http://lwgula.pl.tl/ <><><><><><><> Dla x=0, f(0)=6 i g(0)=3. Zatem funkcje te nie są równe. Krótko: funkcje są rózne. Błąd wynika z błednego zapisu. Do zapisu symbolu funkcji używamy różnych liter. Tu powinno być f(x)≠g(x), bo 2x²−8x+6≠x²−4x+3.

lwg: Niech y=4x²−8x+3. Co o tym wiesz? 1. To jest trójmian kwadratowy (wielomian stopnia drugiego), wzór (przepis) funkcji kwadratowej, której dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych R (skoro nie zapisano dziedziny) czyli x ∊ R, tj. x ∊ (−∞;∞), zmienna zależna y=f(x), zaś współczynniki trójmianu wynoszą: a=4,b=−8,c=3. 2. f(x)=4[x²−2x+p²−p²]+3, gdzie poprzednik wierzchołka paraboli W jest równy p=−b/(2a)=8/(2*4)=1. Dlatego f(x)=4(x²−2x+1−1)+3=4(x−1)²−1=(2x−2)²−1=(2x−1)(2x−3), skąd następnik wierzchołka W paraboli jest równy q=−1, a miejsca zerowe trójmianu, a więc naszej funkcji f(x) wynoszą: x₁=1/2 i x₂=3/2, czyli f(0,5)=f(1,5)=0. Parabola ma gałęzie zwrócone w górę, a współrzędne jej wierzchołka, to W=(p,q)=(1,−1). 3. f(x) maleje ⇔ x ∊ (−∞;1). 4. f(x) osiąga wartość najmniejszą równą q=−1 dla x=1=p. 5. f(x) rośnie ⇔ x ∊ (1;∞). 6. f(x) < 0 dla x ∊ (0,5; 1,5). 7. f(x) > 0 dla x ∊ (−∞;0,5) lub dla x ∊ (1,5; ∞). 8. f(x) maleje od ∞ do minus 1, a rośnie od minus 1 do ∞. 9. Osią paraboli jest prosta o równaniu x=1. Teraz będzie nam łatwiej korzystać ze znanych wzorów. Powyżej mamy postaci kanoniczną i iloczynową trójmianu kwardatowego. http://lwgula.pl.tl/

lwg: x jest poprzednikiem w parze (x,y), argumentem funkcji, zmienną niezależną funkcji, bo niezależną od y z uwagi na x → y=f(x), albowiem tylko jedna wartość y jest przyporządkowana dla co najmniej jednego argumentu x, co oznacza, że element y może być przyporządkowany więcej, niż jednemu elementowi x zbioru X=D.