emek: jest tu błąd funkcja tgx nie została rozciągnięta (jej częstotliwość) −−−> 1/2, czyli 2 razy szersza być powinna

Jakub: Pomyliłeś się. To tg¹₂x rozciągamy w poziomie (dwa razy szersza). Jak mam ¹₂tgx to kształt funkcji zmienia się w pionie, tak jak narysowałem.

maturzysta: Do wartości, w których funkcja przyjmuje zero można dojść inaczej niż przez spojrzenie na wykres (co jest daleko niedokładne) a jednocześnie bez wykorzystania kalkulatora. Mianowicie:

	1
y=		tgx−2
	2

1
	tgx−2=0
2

1
	tgx=2
2

tgx=4 Teraz odczytuję z tablicy wartości funkcji tryg. dla jakiego kąta tangens wynosi 4: tangens przyjmuje wartość 4,0108 dla kąta 76st. Zamieniam stopnie na radiany: 76 − x 180 − π

76π
	=0,4(2)π
180

Na wykresie zaznaczam: x₀≈0,42π A w odpowiedzi piszę: x₀=0,4(2)π+kπ : k∊C @Jakub Wydawało mi się, że w niektórych zadaniach z tego działu stosujesz podobny jak ja sposób, jednak teraz nie potrafię znaleźć tych przykładów. Jeśli chodzi o zapis w tym konkretnym zadaniu, to nie chcę deprecjonować twojego sposobu, ale czy nie jest tak, że zapis który proponujesz (x₀≈1.33+kπ) opiera się na oznaczaniu osi na aż dwa sposoby: w radianach (druga część, tj. "kπ") oraz w standardowy sposób (tak jak np. przy funkcji liniowej) − liczbami całkowitymi (pierwsza część, tj. "1.33"). W praktyce, choć łatwo je odczytać z wykresu, to sprawa się komplikuje kiedy trzeba je przenieść na wykres (oczywiście nie w tym zadaniu), który trzeba w takim wypadku oznaczać na dwa wspomniane sposoby. Ponadto jest on [sposób] znacznie mniej precyzyjny. Jednak, co muszę przyznać, to, że z pewnością jest szybszy. Czy na maturze rozszerzonej dokładność z jaką przedstawiłeś miejsce zerowe jest akceptowana, tj. czy w takim zadaniu dostałbym maksymalną ilość punktów jeśli oznaczyłbym miejsce zerowe tak jak ty? Nb. w trakcie pisania doszedłem do tego, że przy przenoszeniu wyniku zapisanego w podany przez ciebie sposób nie trzeba oznaczać osi na dwa sposoby, a wystarczy jedynie dokonać prostego przekształcenia aby sprowadzić oznaczenia układu do samych liczb całkowitych: 0,4(2)*π≈1,32 lub do samych radianów: (1,33/π)π=0,42π Nie jestem jednak pewien tego ostatniego przekształcenia ((1,33/π)π=0,42π). Czy jest stosowalne do każdego przypadku? Czy jest w ogóle uzasadnione? Bo skąd w zasadzie mam wiedzieć, że szukam iloczynu π i ilorazu 1,33 i π? Ściśle mówiąc pytam o to jakich przekształceń należy dokonać aby dojść od 1,33 do 0,4(2)π. Innymi słowy, jak udowodnić, że: 0,4(2)π≈1,33? Oraz o to czy te przekształcenia zawsze będą wyglądały tak samo?

Jakub: Najpierw wyjaśnię, skąd wziąłem to 1,33 jako miejsce zerowe. Najpierw próbowałem rozwiązać równanie, tak jak Ty

1
	tgx − 2 = 0
2

Jednak po dojściu do tgx = 4, stwierdziłem, że nie da się to rozwiązać, w żaden prosty sposób. Zadanie nie polega na rozwiązywaniu skomplikowanego równania tgx = 4, tylko na podaniu

	1
własności funkcji f(x) =		tgx − 2, których jest wiele, więc nie ma co się skupiać tylko
	2

na miejscu zerowym. Dalej po prostu odczytałem miejsce zerowe z wykresu. Tak na oko wydawało

	1
mi się, że pierwsza wykres przecina oś x w		kratki, więc dałem, że miejsce zerowe to
	3

	1
1 +		≈ 1,33
	3

Czy to dobry pomysł? Twoje rozwiązanie, z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych na 406, jest dokładniejsze, więc lepsze. Muszę poprawić moje rozwiązanie. Teraz druga część Twojego pytania. Na osi Ox są radiany, ale co to są radiany? To są jednostki miary łukowej. Miara łukowa kąta jest liczona tak jak na 408 przez podzielenie długości łuku przez długość promienia. Czyli dzielisz np. centymetry przez centymetry

	10cm
np.		= 5 i wychodzi 5 radianów. Tylko te cm się skracają. W rzeczywistości radian
	2cm

to taka pseudo jednostka. Nie można podać jej definicji, czemu się równa. Tak więc np. 5 radianów to na osi x 5 kratek. 1.33 radiana to jedna kratka i .33 kratki π ≈ 3,14 to 3 kratki i 0,44 kratki

π		3,14
	=		= 1,57 to 1 kratka i 0,57 kratki
2		2

Tak więc 1,33 radianów zaznaczasz po prostu jak liczbę 1,33

maturzysta: Napisałeś: "W rzeczywistości radian to taka pseudo jednostka. Nie można podać jej definicji, czemu się równa". Wydaję się, że o definicję radiana nietrudno. Ot, radian, to równość długości łuku okręgu o środku w wierzchołku kąta alfa i jego promienia r. Definicja ta odpowiada też na pytanie: czemu radian się równa; otóż równa się mierze − wspomnianego w definicji − kąta alfa (1rad=alfa). Piszę to jednak zapewne z przekory − domyślam się bowiem, że tobie chodziło o to, że radian wyraża stosunek, a nie rzeczywistą wielkość, jak np. metr. Zgodnie z tym co napisałeś można powiedzieć, że liczba 5 z twojego przykładu jest wyrażona w radianach; a czy można również powiedzieć ta liczba jest wartością niemianowaną? tzn. nieposiadającą jednostki? Bo wydaje się, że wzajemny stosunek dwóch wielkości nie wymaga jednostki, tym bardziej, że w rachunku jednostki się skracają − jak pokazałeś. Chyba można więc uznać radian za jednostkę uzupełniającą, a mającą swoje właściwe, jakby pełne zastosowanie przede wszystkim w opisie ruchu obrotowego, a nie kąta płaskiego?

Jakub: Lepiej to bym nie ujął Jest dokładnie tak, jak piszesz. Oczywiście źle napisałem, że nie można podać definicji radiana, bo można i jest taka jak napisałeś. Chodziło mi, że nie można ją wyrazić przez inne jednostki, bo licząc radiany jednostki długości się skracają i na końcu zostaje sama liczba.

Rafio: Jak wyliczyć na maturze miejsce zerowe tej funkcji bez użycia kalkulatora naukowego. y = ¹₂tgx − 2 ¹₂tgx − 2 = 0 ⇔ ¹₂tgx = 2 ⇔ tgx = 4 Rzucam okiem na tablicę wartości funkcji trygonometrycznych i szukam dla jakiego kąta α, funkcja tgx przyjmuje przybliżoną wartość 4. Z tablic wynika, że jest to kąt 76°. Przeliczam stopnie na liczby, wiedząc że 180° = π ≈ 3,14.

	3,14
76° *		Stopnie się skrócą i otrzymam liczbę x = x0 ≈ 1,33.
	180°

Nie zapominam o tym, że funkcja jest okresowa. Dodaję okres podstawowy T = π i uzyskuję wynik końcowy x₀ ≈ 1,33 + kπ, gdzie k∊Z.