Maciek: Czyli mam rozumieć, że np. w przykładzie pierwszym ten wielomian ma 2 + 3 + 4 czyli 9 pierwiastków, z czego 0 jest podwójny, −1 potrójny, a 2 poczwórny?

Jakub: Ten wielomian nie ma 9 pierwiastków, bo to by znaczyło, że musi mieć 9 różnych pierwiastków. Ma on 3 pierwiastki, tylko ich krotność jest równa odpowiednio 2, 3, 4. Nie wiem, dlaczego dodajesz te krotności do siebie. To nic nie oznacza.

Marta: A do czego to się przydaje?

Jakub: Przydaje się na przykład do rysowania wykresów funkcji wielomianowych, co jest potrzebne do rozwiązywania nierówności wielomianowych. Zobacz 142.

Krzysiek: .rozumiem, że jak jest wielomian w postaci w(x) = ax²+bx+c to trzeba policzyć miejsca zerowe i dopiero wyznaczać krotność?

esta: Wydaje mi się, że najpierw trzeba sprowadzić ten wielomian do postaci iloczynowej a później z tych potęg odczytywać krotność. Faktycznie przydaje się przy rysowaniu wykresu funkcji wielomianowych, bo wiesz, ile razy wykres przetnie oś OX

123: A co robic w takim przypadku gdy nie da sie nic wyciagnac i na dodatek wielomian nie jest w postaci iloczynowej a mam znalezc pierwiastki wielomianu i okreslic krotnosci: W(x)= (x+1)⁵ + (x+1)⁴ dałem taki ciekwy przykład ( ma rzekomo wyjść że pierwiastkami są −2 pierw jednokrotny oraz −1 pierwiastek czterokrotny

jaca: da sie przedstawic w postaci iloczynowej, grupowanie i wyciagamy przed nawias (x+1)⁴

123: dalej nie rozumiem jak to zrobić, możecie rozwinąć to co jaca miał na myśli

Jakub: W(x) = (x+1)⁵ + (x+1)⁴ = (x+1)⁴[(x+1)+1] = (x+1)⁴(x+2) i wychodzi x₁ = −1 (czterokrotny), x₂=−2(jednokrotny).

123: Dziękuje panie Jakubie Juz rozumiem

Otis: dzien dobry . czy myślicie ze jest możliwe ze na stronie CKE w odpowiedziach mogą być błędy ? nieraz poprawiałem te zadania i zawsze mi ten sam wynik wychodził [sprzeczny ze stroną]

xdd: (2x+1)(x²+x−6)=0 ?!

Amel: jeśli jest np nierówność x⁵−3x³+8x−24>0 i później to grupuję. wychodzi mi x³(x−3) +8(x−3)=0 (x−3)(x³+8)=0 x₁=3 x₂=−2 to skąd odczytuje krotność?

Jakub: x³−8 można rozłożyć korzystając ze wzoru skróconego mnożenia (zobacz 55) a³+b³ = (a+b)(a²−ab+b²) (x−3)(x+2)(x²−x+4) = 0 Ten ostatni nawias jest nierozkładalny (Δ<0 − sprawdź), a z pierwszego masz x₁=3 (krotność 1) i z drugiego x₂=−2 (krotność 1). Zawsze należy rozłożyć wszystkie nawiasy maksymalnie jak się da, czyli na wielomiany stopnia pierwszego lub wielomiany stopnia drugiego, ale z deltą ujemną.

an: Nie rozumiem jak określić krotność przy delcie dodatniej, np. x²−5x+6

paulina: Δ= (−5)² − 4*1*6 Δ=25−24=1 √1Δ=1

	5+1
x1=		= 3
	2

	5−1
x2=		= 2
	2

wszystko jednokrotnego jak byś miała np. x−10x+25 to jest wzór skróconego (x−5)² i tu widać od razu miejsce zerowe ,którym jest liczba 5 i jest dwukrotny ( bo do kwadratu )

głodzilla: Hmm, tu jest napisane, że krotność podlega pod maturę rozszerzoną... A ja w szkole na poziomie podstawowym muszę się tego uczyć (temat: Pierwiastek wielokrotny). To jak to w końcu z tym jest?

Dżisss: przeczytałem wprowadzenie do tematu + komentarze pod stroną i chyba już wszystko rozumiem,korzystam z tej świetnej strony od dawna ale jeszcze tego nie pisałem ,świetna robota panie Jakubie,pzdr!

Natalia: Mam jedno zadanie i nie mogę się z nim do końca uporać. Mam wyznaczyć pierwiastki wielomianu W(x)=7(x²+6x+9)(x+3)²(x²−81) i określić krotność każdego z nich. Wyznaczyłam pierwiastki wielomianu i wyszło mi −3, 9 i −9. Ale nie rozumiem jak mam wyznaczyć krotność każdego z nich. Z góry dziękuje za pomoc.

jake: moj wykładowca Dr Zbigniew Ł. powiedział że jesli mam ^{(x+2)(4+x)(−2x2+3x−15)}_{(x+2)²(x+3)³} to (x+2) mam krotności czwartej ponieważ te z mianownika sumują sie z tą z licznika. czy to prawda? nie mogłem w to uwierzyć... a drugie pytanie jak w tym przykładzie mam określić znak pierwszego wyrażenia? tego nie rozumiem jakoś niby pierwsze sie zaczyna od plusa bo mam (x+2)(4+x)(−2x²+3x−15)(x+2)²(x+3)³ a jednak mój wykładowca powiedzial że powinienem ten wykres rysować od dołu.. WHY? ty masz inaczej wytlumaczone przecież...

Jakub: Musisz uprościć wyrażenie. Czyli połączyć ze sobą te same nawiasy i wyciągnąć na początek liczby przy największych potęgach (x+2)(4+x)(−2x²+3x−15)(x+2)²(x+3) = (x+2)(x+4)(−2)(x²+³₂x−¹⁵₂)(x+2)²(x+3) = −2(x+3)³(x+4)(x²+³₂x−¹⁵₂)(x+3) Jak widzisz krotność x=3 jest równa 3, ponieważ wykładnik (x+3)³ to 3. Wykres zaczynasz rysować od dołu, ponieważ iloczyn uporządkowanych wielomianów zaczyna się liczbą ujemną.

Smule: Przypuscmy, ze w jednym z nawiasow znajduje sie rownanie (x² +7)³, które jest sprzeczne. Czy powinienem pisać jego krotność?