tao: Jest blad. ma byc (x₂ − x₁)(y₂ − y₁) .... Brak indeksu dolnego 2, przy y.

tao: Jednak to ja sie pomylilem. Przepraszam

Matylda: Witam, czy równanie (analitycznie) prostej przechodzącej przez dwa punkty nie powinno być w dziale geometria analityczna, a tutaj równanie kierunkowe i ewentualnie zadania dotyczące wyznaczania równania kierunkowego prostej przechodzącej przez dwa dane punkty? Pozdrawiam serdecznie i duży ukłon za profesjonalną stronę. Matylda

Jakub: W dziale geometria analityczna też jest odnośnik do tej strony. Dałem ją także tutaj (funkcja liniowa), bo zauważyłem, że wiele ludzi korzysta już w pierwsze klasie liceum z tego wzoru. Zamiast rozwiązywać układ równań korzystają z tego. Nie jest to źle, dlatego dodałem odnośnik.

Gustlik: Zadanie można również rozwiązać wykorzystując wzór na współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty: y2−y1 7 − 5 2 a = −−−−−−−−−−−− = −−−−−−−−−− = −−−− = 2 x2−x1 3 − 2 1 Tak obliczony współczynnik kierunkowy wstawiamy do równania prostej: y = 2x + b Wstawiamy do tak utworzonego równania prostej współrzędne jednego z punktów A lub B (do wyboru − mozemy wybrać np. ten z punktów, które ma łatwiejsze do obliczania wspólrzędne) i oblizamy współczynnik b: Np. A = (2, 5) 5 = 2*2+b 5 = 4+b 5−4 = b 1 = b b = 1 Wstawiamy b do równania prostej i otrzymujemy: y = 2x+1 Metoda wydaje się był łatwiesza ze względu na to, że wzór na współczynnik kierunkowy oraz równanie w postaci kierunkowej są łatwiejsze do zapamiętania.

Jakub: Zgoda. To też jest dobry sposób.

Mid: Jeszcze łatwiej można to rozwiązać przez układy równań: Współrzędne pkt A=(2;5) rozumiemy tak, że x=2, y=5 i podstawiamy do wzoru y=ax+b. To samo z punktem B=(3;7). Uzyskujemy taki układ równań: /5=2a+b \7=3a+b i korzystając z dowolnej metody rozwiązywania układów równań można uzyskać równanie prostej

Gustlik: Jakubie − możesz zamieścić na stronie ciekawy sposób badania współliniowości trzech punktów o danych współrzędnych? Metoda wygląda tak: mamy 3 punkty: A=(x_A, y_A), B=(x_B, y_B), C=(x_C, y_C) Liczymy współczynnik kierunkowy prostej AB:

	yB−yA
a1=
	xB−xA

Liczymy współczynnik którejś z pozostałych prostych utworzonych przez te punkty, np. BC

	yC−yB
a2=
	xC−xB

Jeżeli a₁=a₂, to punkty są wspólniniowe, w przweciwnym razie nie są. Można oczywiście obliczyć współczynnik kierunkowy prostej AC zamiast BC, ale do zbadania współliniowości wystarczą dwa z trzech możliwych do obliczenia wspólczynników kierunkowych. Warunkiem współliniowości jest równość tych współczynników. Przykład 1. Sprawdź, czy punkty A=(1, 3), C=(2, 5), C=(3, 7) leżą na jednej prostej: Pr. AB:

	5−3		2
a1=		=		=2
	2−1		1

Pr. BC:

	7−5		2
a2=		=		=2
	3−2		1

a₂=a₁ Współczynniki kierunkowe prostych AB i BC są równe, czyli proste te pokrywają sie, a więc punkty A, B, C są współliniowe. Przykład 2. Sprawdź, czy punkty A=(1, 2), C=(2, 5), C=(3, 9) leżą na jednej prostej: Pr. AB:

	5−2		3
a1=		=		=3
	2−1		1

Pr. BC:

	9−5		4
a2=		=		=4
	3−2		1

a₂≠a₁, więc punkty A, B i C nie są współliniowe.

Jakub: Witaj Gustlik. Ciekawy sposób rozwiązywania. Przez moment nawet myślałem, że błędny. Jednak rozwiązałem nim kilka przykładów i go dokładnie zrozumiałem. Twój sposób jest jak najbardziej prawidłowy. Ja takie zadania rozwiązuję w sposób, który pokazałem na stronach 2510 i 2511. Nie jest to jakiś lepszy sposób niż twój ani gorszy. Po prostu mój W komentarzach do tamtych zadań możesz rozwiązać to swoim sposobem. Pozdrawiam

Aser: Mam prośbę, mógłby ktoś podać mi wzór na: określenie współrzędnych punktu C na prostej v pomiędzy punktami A i B należącymi do tej prostej, gdzie punkt C jest oddalony od punktu A o odległość x w kierunku punktu B

Gustlik: Do Mid−a: układem równań wg mnie jest trudniej, niż "moimi" wzorami. Uczniowie też wola "moje"" wzory − lepiej je rozumieją. Dodam, że wzór na współczynnik kierunkowy można wyprowadzić rozwiązując taki układ równań, jak Twój, tylko "na literach" {y_B=ax_B+b {y_A=ax_A+b − −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− y_B−y_A=ax_B−ax_A y_B−y_A=a(x_B−x_A) /:(x_B−x_A)

	yB−yA
a=		→stąd wzór na współczynnik kierunkowy.
	xB−xA

zbyszek: co jest punktem F(x)=x+1/ x−3 tego wykresu

std: oblicz odległość punktu A=(2,5) od prostej przechodzącej przez punkty B=(0,−1) i C=(6,2)

Daga: Jakubie dlaczego w wzorach które sa dosteopne na maturze nie mam takiego wzoru na prosta przechodzaca przez dwa punkty jak ty tu napisałes . w tablicach na maturze mam taki wzór : A=(xa,ya) B=xb,yb) wzór: (y−ya)(xb−xa)−(yb−ya)(x−xa)

Jakub: Mój wzór to: (x₂−x₁)(y−y₁) = (y₂−y₁)(x−x₁) Mogę go przekształcić: (y−y₁)(x₂−x₁) = (y₂−y₁)(x−x₁) (y−y₁)(x₂−x₁) − (y₂−y₁)(x−x₁) = 0 Jak widzisz, to jest taki sam wzór jak ten z tablic (y−y_a)(x_b−x_a) − (y_b−y_a)(x−x_a) = 0 Tylko ja oznaczam współrzędne punktów tak: A=(x₁,y₁), B=(x₂,y₂), a w tablicach maturalnych jest A=(x_a,y_a), B=(x_b,y_b). Obojętnie jest, którym wzorem się posługujesz, bo one w rzeczywistości niewiele się różnią. Na maturze bierz jednak wzór z tablic. Ja w nowym roku szkolnym, też chyba zmienię go na ten z tablic. Dzięki za zwrócenie uwagi.

Daga: aha rozumiem dziekuje za szybka odpowiedz

Gustlik: Daga, polecam naprawdę nauczyć się wzoru na współczxynnik kierunkowy prostej

	yB−yA
a=		, jest a ten z tablic odstawić. Po kilku zadaniach łtwo wchodzi w głowę.
	xB−xA

Wyliczasz a "moim" wzorem, wstawiasz do funkcji liniowej y=ax+b, podstawiasz do tej funkcji współrzędne jednego z punktów A lub B, wyliczasz b i po sprawie.

	liczba
Gdy wyjdzie Ci a=0 − wtedy yB=yA, masz funkcję stałą y=yA. Gdyu wyjdzie a=		−
	0

wtedy x_B=x_A, masz prostą "pionową" x=x_A. Poza tym ten wzór ułatwia rozwiązywanie zadań, bo w wielu przypadkach do dalszych obliczeń potrzebny jest tylko współczynnik kierunkowy prostej, nie potrzebujemy całego równania. Przykład − omówione powyżej badanie wspołloniowości trzech punktów. Inny przykład to wyznaczanie równania wysokości trójkąta − wystarczy obliczyć "moim" wzorem współczynnik

	1
kierunkowy podstawy trójkąta, a z warunku prostopadłości aa=−		wyznaczyć współczynnik
	a1

kierunkowy wysokości. Podobnie jest z symetralną odcinka − wyznaczasz "moim" wzorem współczynnik kierunkowy odcinka, a współczynnik symetralnej − z w/w warunku prostopadłości.

Gustlik: Prostą przechodzącą przez 2 punkty mozna również wyznaczyć z wektorów: A=(2, 5) B=(3, 7) Liczymy wektor AB^→=[3−2, 7−5]=[1, 2] Wspołczynnik kierunkowy liczymy dzieląc drugą współrzędną wektora (y) przez pierwszą (x):

	2
a=		=2 i wstawiamy go do równania prostej.
	1

Wynika to ze wzorów:

	yB−yA
AB→=[ xB−xA, yB−yA] i a=
	xB−xA

Z porównania wzorów widać, że we wzorze na wsp. kierunkowy w liczniku jest współrzędna "y" wektora, a w mianowniku współrzedna "x" tego wektora. Prosta ma równanie: y=2x+b Teraz wstawiamy do tego równania wspólrzędne jednego z tych punktów, np. A: 5=2*2+b 5=4+b b=1 Odp: y=2x+1

adam: Jakubie takim wzorerm tez mi wychodzi:(y−y_a)(x_b−x_a)−(y_b−y_a)(x−x_a)=0 .Bo w sumie to jest podobny wzor tak?/tylko,ze jak oblicze y tym co podalem to musze pozniej x ze wspolczynnikiem kierunkowym i b przeniescczyli tym wzorem tez tak moge rozwiazywac prawda/?prosze o szybka odp i z gory dziekuje

Jakub: Tak. To jest wzór z zestawu wzorów maturalnych i jest tylko trochę zmieniony w stosunku do mojego. Jednak wciąż jest to ten sam wzór.

artur: zad1−Napisz równanie prostej do której należą punkty A=(−2,3)i B=(8,−2) Zad2 −Prosta x+3y−6=0 zapisana w postaci kierunkowej ma wzór zad3 −oblicz odległość odcinka BC Jeżeli B=(−4,1) i C=(−2,3) potzrebuje to na jutro błagam o pomoc

mam poprawke: a jak sie to wykonuje w druga strone? mam 2 rownania kierunkowe i musze wyznaczyc punkty.

Jakub: Ułóż układ równań i rozwiąż go metodą podstawiania (1673) lub przeciwnych współczynników (1674).

edudamarek@gmail.com: http://matfiz24.pl Jeśli ktoś nadal ma problemy z funkcją liniową, własnościami funkcji, rysowaniem wykresu, szukaniem miejsca zerowego, dziedziny, przeciwdziedziny to zapraszam do niebieskiego linku− mnóstwo tłumaczeń matematycznym w formie VIDEO za darmo. Pozdrawiam.

maniaangelo: co to znaczy ze pkt sa wspolliniowe? i jak to policzyc panie Jakubie?

bonzo: hmm wydaje mi sie ze jest blad, w podstronie "rónanie prostej przechodzacej przez dwa punkty" finalny wyniki czyli ta prosta nie zgadza sie z ta na rysunku, poniewaz wyszlo y=2x+1 a na rysunku widac ze prosta przecina os y w punkcie −1 wiec wydaje mi sie ze powinno wyjsc y=2x−1. Poprawcie jesli sie myle

Jakub: Przykład nie ma nic wspólnego z rysunkiem. Zobacz na rysunku A = (1,1) i B = (2,3). To są inne punkty niż w przykładzie.

MajaL: Moje podsumowanie sposobów: Polecam popróbować robić te zadania różnymi sposobami − Jakuba, układem równań i Gustlika. Każde z nich ma swoje zalety. Z tego, co poćwiczyłam, Gustlika sposób jest najszybszy i ja na przykład robię najmniej błędów używając właśnie tego. Sposób Jakuba pozwala jednak na gotowe rozwiązanie w przeróżnych przykładach, np. w takich, gdzie wzór funkcji nie ma formy y=ax + b (np. y=3) lub nie jest to w ogóle funkcja − np. x=3. W wypadku użycia sposobu Gustlika lub układu równań trzeba troszkę pomyśleć, żeby wiedzieć o co chodzi, jeśli wyjdzie nam układ sprzeczny, lub w przyp. metody Gustlika coś w stylu np.

	5
		, czyli coś co nie istnieje.
	0

Uwielbiam ćwiczyć z tą Jakubową stroną, do wszystkiego można tu dojść samemu (albo z pomocą kochanego Jakuba) mądrzeję z dnia na dzień Tak na serio to chciałabym, żeby pan tu gdzieś panie Jakubie podał numer swego konta, już tu gdzieś widziałam, że kilka osób tak jak i z wdzięczności by się panu trochę dorzuciło Jest tu pewnie trochę osób, które poprawia wynik z maturki z matmy (tak jak ja), więc szkoła to nie jest codzienność i trzeba samemu, na własną rękę wszystko porządnie powtórzyć (a nie każdego stać na korepetycje, zresztą raczej nie mają one sensu przy samej powtórce materiału). Bardzo więc panu dziękuję za tą stronę, bez niej byłabym o wiele bardziej zagubiona w tym wszystkim, inne materiały są niesamowicie chaotyczne w porównaniu do pana dzieła. No i te ich zadania, w których nie ma rozwiązań do większości przykładów... I dojdź tam człowieku do wniosku co źle zrobiłeś. No i oczywiście pana nieoceniona pomoc − odpowiedzi na pytania. Tego nawet nie ma co komentować, tak nam to wszystkim pomaga <3 Z tym numerem konta to przekonywanie jest więc na serio, oprócz małych wdzięcznościowych 'zrzutek', kto wie, może ktoś z nas kiedyś wygra w lotto bo dzięki panu zaprzyjaźni się z matmą, a za parę lat ogranie na tyle rachunek prawdopodobieństwa, że rozkmini ich logikę ?

Loczek: powinno chyba być y=2x−1, a nie y=2x+1, bo nie pasuje do wykresu

kosygin: Już któryś raz korzystam z tej strony. Jest bardzo pomocna przy odświeżaniu wiadomości.

Gustlik: Jest jeszcze jeden fajny i wg mnie najłatwiejszy sposób − wektorowy, zachęcam do zapoznania się z wektorami również tych uczniów, którzy uczą się matematyki na poziomie podstawowym i w podstawie nie maja wektorów, a szkoda, bo wektory są łatwe i powinny wrócić na poziom podstawowy.: A=(1, 2) B=(3, 4) Liczymy współrzędne wektora AB^→ AB^→=[x_B−x_A, y_B−y_A] = [3−1. 4−2]=[2, 2] Jeżeli wektor ma współrzędne [w_x, w_y] to współczynnik kierunkowy prostej wyznaczonej przez ten wektor można obliczyć ze wzoru:

	wy
a=
	wx

Zatem:

	2
a=		=1
	2

Prosta ma równanie: y=x+b Podstawiamy współrzędne jednego z punktów A lub B do wyboru, np. A=(1, 2) 2=1+b b=2−1 b=1 Prosta ma równanie y=x+1

Jakub: Racja Gustlik. Wektory ułatwiają znakomicie rozwiązywanie wielu zadań. Wprawdzie nie ma ich w standardach do matury podstawowej, ale nic nie stoi na przeszkodzie, aby nauczyciele wprowadzili je jako materiał dodatkowy. W wielu wypadkach rozwiązania są krótsze i bardziej intuicyjne.