NieuK: widzę błąd.. trzeci wielomian nawias (x²+9) mozna rozlozyc na (x+3)(x−3) co daje miejsca zerowe x=−3 i x=3

Jakub: Nie ma takiego wzoru a²+b²=(a+b)(a−b) jest tylko taki a²−b²=(a−b)(a+b)

leniwiec: ale ta postać iloczynowa to dopiero nam się pojawia po tym jak zastosujemy wzory skróconego mnożenia,grupowanie wyrazów itd. Tak Oto chodzi

leniwiec: Widzę,że po pomnożeniu (x−5)(x+3)(x+1) = x³ −x² −17x−15 ,ale nie widzę jak x³ −x² −17x−15 zmienia się w (x−5)(x+3)(x+1)... Więc co trzeba zrobić? x²(x1)−17x−15 ? ? ? coś w tym stylu

Jakub: Na tej stronie nie chciałem pokazać jak się rozkłada wielomian na czynniki. Ta strona jest TYLKO do pokazania, że jak już mamy wielomian rozłożony na czynniki, to łatwo z niego odczytać pierwiastki. W jaki sposób rozkładać wielomian na czynniki można poczytać jak klikniesz "Zadania + Rozwiązania" na poprzedniej stronie. Tam masz wiele rozwiązanych przykładów. Również na stronie "równania wielomianowe" tutaj 1691 możesz zobaczyć jak się rozkłada wielomian na czynniki, czyli to co pisałeś: wzory skróconego mnożenia, grupowanie wyrazów itd.

Monika: Dlaczego w ostatnim przykładzie x² − 9 nie ma pierwiastka?

śśśśś: "Dlaczego w ostatnim przykładzie x2 − 9 nie ma pierwiastka? " Wydaje mi sie, że dlatego, bo Δ mniejsza od 0

Jakub: Tam jest x²+9. Takie wyrażenie nie ma pierwiastka, ponieważ pierwiastek to liczba, która wstawiona za x wyzerowuje nam wyrażenia. Co wstawić za x do x²+9, aby wyszło zero? Nie ma takiej liczby, więc nie ma pierwiastka.

Monika: dziekuje mozesz teraz pokazac krok po kroku jak rozlozyles te wielomiany z przykladow na czynniki?

Jakub: Ale jesteście uparci z tym rozkładem na czynniki. Ta strona nie jest o tym. Niech wam jednak będzie. x³ − x² − 17x − 15 = = x³ − x² − 2x − 15x − 15 = = x(x²−x−2) − 15(x+1) = Zamieniam na postać iloczynową: Δ=(−1)²−4*1*(−2)=1+8=9 √Δ=√9=3

	−(−1)−3		−(−1)+3		4
x1 =		= −1 x2 =		=		= 2
	2		2		2

= x(x−(−1))(x−2) − 15(x+1) = = x(x+1)(x−2) − 15(x+1) = = (x+1) (x(x−2) − 15) = = (x+1) (x²−2x−15) = Zamieniam na postać iloczynową: Δ=(−2)²−4*1*(−15)=4+60=3 √Δ=√64=8

	−(−2)−8		−(−2)+8		10
x1 =		= −3 x2 =		=		= 5
	2		2		2

= (x+1)(x−(−3))(x−5) = = (x+1)(x+3)(x−5) = (x−5)(x+3)(x+1) x⁴ + 6x³ + 16x² + 32x = = x ( x³ + 6x² + 16x + 32 ) = = x (x³ + 4x² + 2x² + 8x + 8x + 32 ) = = x ( x²(x+4) + 2x(x+4) + 8(x+4) ) = = x( (x+4)(x²+2x+8) ) = = x(x+4)(x²+2x+8) x⁵ − 4x⁴ + 9x³ − 36x² = = x² ( x³ − 4x² + 9x − 36 ) = = x² ( x²(x−4) + 9(x−4) ) = = x²(x−4)(x²+9) = x²(x²+9)(x−4)

Jakub: Więcej przykładów jak kliknięcie Zadania + Rozwiązania na poprzedniej stronie.

L@rgo: Cholera jasna. Nic z tego nie qmam. Jak już zacząłeś tłumaczyć matmę, to tłumacz od a do z.

Jakub: Napisz czego nie rozumiesz.

Ania19: a ja rozumiem bardzo dobrze tłumaczysz

Tren: Ja też rozumiem. Nie wiem jak można pisać, żeby tłumaczyć od a do z. Prościej się już chyba wytłumaczyć nie da. Jak ktoś nie rozumie tego, pokazanego w taki sposób to nie zrozumie nigdy. To tak zwany syndrom "nigdy nie będę miał bladego pojęcia o matematyce" który posiada jakieś 0,0001% populacji.

Jakub: Tylko 0,0001% populacji? Tren jesteś optymista

jan: przepraszam, skoro nie chciales pokazac jak sie rozklada wielomianu na czynniki to dlaczego taki jest tytul?

jan: bo wlasnie w tym jest problem, jak to rozlozyc na te czynniki

Jakub: No racja Jan. Nieszczególnie to wyszło. Pokazywanie, że z postaci iloczynowej wielomianu zajmuje większość strony, co się nie pokrywa z tytułem. Zmienię to.

Konrad: a jak poznać ze wielomianu nie da sie rozłozyc na czynniki?

Jakub: Każdy wielomian stopnia większego niż 2 można rozłożyć na czynniki. Tylko czasami jest ciężko zauważyć w jaki sposób. Trzeba próbować.

Kidma: Mam problem z wielomianami. Potrzebuję małej podpowiedzi. Nie rozumiem ich i nie wiem jak się oblicza miejsca zerowe =( Pomóżcie mi

Jakub: Rozkładanie na czynniki wielomianów możesz nauczyć się na stronie 1691.

dash: mam tak problem: W(x)=2x³+mx−5=0, x0=−2, jak obliczyć m?

nrv: pod x w równaniu podstaw 0 po prostu: W(x)= 2* (−2)³−2m−5=0 2*(−8)−2m−5=0 −16−2m−5=0 −21−2m=0 2m=−21/:2 m=−10.5

Beata: Myślę, że powinniście się cieszyć że Jakub w ogóle taka strone stworzył i pomaga nam zrozumiec matematyke, sami wiecie że to łatwe nie jest... a rozszerzona to juz w ogóle... więc powinniście być wdzięczni i grzecznie prosic jak czegos nie rozumiecie.. Ja tego nie kumałam, ale poczytałam w spokoju tutaj wszystko i już wiem co i jak, wystarczy trochę chęci i wysiłku a nie domagać się mieć podane wszystko na tacy.. niektórzy tutaj nie doceniają wysiłków innych... nieładnie

zel: Czesc, moglbys wytlumaczyc jeszcze tylko jedna rzecz, bo za nic nie moge jej teraz 'rozkminic'? = x(x+1)(x−2) − 15(x+1) = (x+1) (x(x−2) − 15) Chodzi mi jak z tego u gory wyszedles do tego na dole. (x+1) x(x−2) − 15(x+1) (x+1) (x²−2x − 15x −15) (x+1) (x²−17x−15) Chyba, ze (x+1) zostawiles juz jako pierwiastek, to pominales go na koncu, w takim wypadku powinno sie go chyba jeszcze zrobic jako (x+1)², zastosowac wzor skroconego mnozenia i znowu obliczyc delte? Czy w takim wypadku, jak mamy dwa takie same pierwiastki, to jeden pomijamy bo i tak jest tym samym? pozdrawiam

Jakub: Mam różnicę dwóch wyrażeń x(x+1)(x−2) − 15(x+1) W obu wyrażeniach powtarza się (x+1). Wystawiam to (x+1) przed nawias. Z pierwszego wyrażenia zostało x(x−2), z drugiego tylko 15. (x+1)(x(x−2) − 15) dalej już prosto. O to chodziło?

zel: Aaa, to tak tak, o to chodzilo, dzieki juz widze i rozumiem

Labrador: Nie można bo (x+3)(x−3) = x kwadrat minus 9 a tam jest plus 9

Jakub: Labrador napisał komentarz do pierwszego postu w tym wątku.

misiekTSP: trochę z tą zamianą na postać iloczynową jest dziwnie. w końcu rozkładamy na czynniki wielomian po to, żeby łatwiej obliczyć pierwiastki. tylko po co to robić, kiedy po drodze rozkładania na czynniki wielomianu liczymy przy okazji pierwiastki? x1, x2, x3 to są przecież nasze rozwiązania. a to potem wstawiamy w nawiasie jako iloczyn (x−x1), tylko po to... żeby policzyć x1, który już znamy...

Jakub: Czasami wyjdzie po drodze wyrażenie kwadratowe, dla którego liczysz pierwiastki, a czasami nie wyjdzie. Dla porządku zawsze na końcu piszę wielomian w postaci iloczynowej i wypisuję pierwiastki. Jednak masz racje. Jak ci wyjdą pierwiastki wcześniej, to nie musisz pisać postaci iloczynowej.

Andrzej JLB: A jak Rozwiązać Taką Nierówność x³−7x−6≤0

Szara mysza: Dane są Wielomiany W(x)=(ax²+bx+3)(x+1) oraz H(x)=3x³+7x²+7x+3. Wyznacz "a" oraz "b" aby wielomiany W(x) oraz H(x) były równe

ziomek: "Szara mysz" z wielomianu H musisz wyciągnąć x+1 wtedy reszta będzie musiała być równa ax² + bx + 3 a to z kolei osiągniesz gdy przy x o tych samych stopniach będą takie same wspólczynniki w obu wielomianach. jeśli x w danym stopniu nie ma w jednym z wielomianów możesz go wyzerować przez współczynnik 0 .

Kone: W przykładzie,który podajesz o rozkładaniu wielomianu na czynniki wkradł Ci się mały błędzik : Δ=(−1)2−4*1*(−2)=1+8=3 √Δ=√9=3 1+8=9

Jakub: Dzięki. Poprawiłem.

Michał: Jakub siedze nad tymi wielomianami już troche i nie kumam jak je rozłożyc na te czynniki jak rozwiązać równanie wielomianowe.Czy ja musze opanować to twierdzenie bezu aby to zrobić.Bo strona fajna tylko na tych wielomianach sie zatrzymałem bo cięzko mi pojąc jak to zrobić.W sumie jak widze już całyprzykład roziązany to wszystko jest proste tylko niewiem jak samemu to rozwiązać .Czy to są jakieś wzory ,w co mam zajrzeć co powtórzyć.

Michał: Już umiem teraz mam tylko nadzieje że nie będzie twierdzenia bezu na podstawowym poziomie i że równanie wielomianowe bęzie jakies proste bo z tego co wiem to zawsze jest nier iownośc kwadratowa a pozniej jakiś wielomian do rozwiązania

Jakub: Twierdzenia Bezout'a nie ma poziomie podstawowym. Równania wielomianowe na maturach są raczej proste. Takie jak na 1691.

MarcinK: ja tego rozkładu to się wykułem na pamięć z tej stronki,, w sumie nie takie trudne trzeba wiedziec tylko kiedy wzór użyć skóconego mnożenia

Adam: pytanie: po co liczyć deltę do rozkładu na czynniki? nie można zauważyć: (x + y)*(x − z) t. że y+z = −1 oraz y*z = −2?

Jakub: Zgadza się Adam. To jest taki sprytny sposób rozkładu wyrażenia kwadratowego na czynniki. Jednak mało osób to zna. Może kiedyś go opiszę.

Michał:

a+b−2√ab		(√a)2−2√ab+(√b)2		(√a−√b)2
	=		=		≥0
2		2		2

Patryk: Czy istnieje zasada odnosnie wyłaczanie minusa przed nawias, trzeba czy tylko mozna to zrobic i czy wynik z wyciagniętym minusem przed nawias bedzie sie różnił od tego drugiego ?

Jakub: Czy wyciągniesz minus przed nawias czy nie, wynik zawsze pozostanie ten sam. Wyciągnięcie przed nawias to tylko przekształcenie wyniku do innej postaci, ale nie jego zmiana (czyli, aby się nie równał poprzedniemu). Np. −3+a to jest to samo co −(3−a). Inaczej wygląda, ale się równa. Wyłączać można nie trzeba i często wyłączam tylko dlatego, że z wyłączonym minusem wynik lepiej wygląda.

Alicja : Jakubie jesteś cudowny! dziękuję za dogłębne wytłumaczenie

Izaaa: x³+2x²−3x+6=0 jak to zrobić?

Sebek: a na przyklad z wielomianiu x³−x²−17x−15 to nie lepiej delte obliczyc?

Jakub: Tylko z funkcji kwadratowej można delte liczyć. Z wielomianu trzeciego stopnia już nie.

Rere12: witam rozłóż wielomian na czynniki W(x)= 6x³ −2x W(x)= 5x⁶ +3x⁴ W(x) = 2x⁶ + 6x⁴ + 4x²

Mathreak: Oczywiście nieaktualne, ale w takiej sytuacji jak tu podana najłatwiej wyciągnąć x ze współczynnikiem(jeśli dzielniki współczynników w równaniu na to pozwalają) przed nawias, czyli: W(x)=6x³−2x; W(x)=2x(3x²−1), czyli nasze pierwiastki to 0;¹₃;−¹₃ W przypadku następnych równań, które są równaniami dwukwadratowymi dla obliczenia pierwiastków(rozłożenie wielomianu zgodnie z poleceniem wymaga tylko wyciągnięcia x do odpowiedniej potęgi przed nawias) możemy podstawić pod każdego x²(oraz x⁴,x⁶ itd.) inną literkę(najczęściej używa się literki t), czyli: W(x)=2x⁶+6x⁴+4x²; Zakładamy, że x²=t W(x)=2t³+6t²+4t następnie obliczamy pierwiastki nowego wielomianu poprzez wyciągnięcie t przed nawias jak wyżej.2t(t²+3t+2)=0; z czego wynika: 2t=0 v t²+3t+2=0; Δ=3²−(4*1*2); Δ=1; t₁=⁻³⁻¹₂; t₂=⁻³⁺¹₂ t₀=0 v t₀=−2 v t₀=−1 Następnie znowu wracamy do naszego pierwotnego x² i porównujemy go z naszymi pierwiastkami. x₀²=0; x₀=0 x₀²= −2; równanie sprzeczne, odrzucamy ten wynik. x₀²= −1; j. w. Rozwiązanie: Równanie ma jeden pierwiastek i wynosi on 0. Oczywiście ten przykład ma wartość poglądową. Wprawiony matematyk od razu zauważy, że przy samych składnikach ze zmienną x i znakach dodatnich jedyną opcją jest 0

Asia: x³+2x−3 <−− trzeba rozłożyć na czynniki i obliczyć pierwiastki

Olciak: Przepraszam , nie rozumiem dlaczego przy rozkładaniu na czynniki zalicza sie równania z Δ<0? Przecież nie można wtedy określić miejsca zerowego. Byłabym wdzięczna gdyby ktoś wytłumaczył

Jakub: Co znaczy zalicza? Przy rozkładaniu na czynniki może wyjść wyrażenie kwadratowe, którego delta jest ujemna. Tego nie da się uniknąć i trzeba po prostu napisać ,,Δ < 0'', co oznacza, że z tego wyrażenia kwadratowego miejsc zerowych nie otrzymamy.

Zakręcona: hej, ogólnie ogarnęłam rozkład na czynniki, btw − dzięki! − ale mam problem z czymś takim : rozłóż wielomian na czynniki : (x²−3x−4)(x²+5x+4) obliczyć pierwiastki potrafie a na czynniki nie? dziwnie proszę o pomoc!

Jakub: Policz delty i pierwiastki dla obu funkcji kwadratowych, a następnie przedstaw je w postaci iloczynowej a(x−x₁)(x−x₂). Na stronie 69 więcej o tym.

Zakręcona: Dzięki bardzo! Już rozumiem