Geometria Godzio: Geometria na płaszczyźnie − rumpek 1.Trójkąty a) Trójkąt równoboczny o boku a podzielono prostą l na dwie figury, których stosunek pól jest równy 1 : 5. Prosta ta przecina bok AC w punkcie D pod kątem 15^o, a bok AB w punkcie E. Wykazać, że |AD| + |AE| = a b) Punkt D leży na boku BC trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC| = |BC|. Odcinek AD dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty równoramienne w taki sposób, że |AD| = |CD| oraz |AB| = |BD|. Udowodnij, że |∡ADC| = 5 * |∡ACD| c) Długości boków trójkąta ABC są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o ilorazie q. Wykaż że miary kątów trójkąta zbudowanego z odcinków o długościach równych długościom wysokości trójkąta ABC są równe miarom trójkąta ABC d) Udowodnij, że trzy środkowe trójkąta dzielą go na 6 trójkątów o równych polach. e) Udowodnij, że dwusieczne przecinają się w jednym punkcie f) Na zewnątrz trójkąta prostokątnego ABC, w którym ∡ACB = 90° oraz AC = 5, BC = 12 zbudowano kwadrat ACDE. Punkt H leży na prostej AB i kąt ∡EHA = 90° . Oblicz pole trójkąta HAE. 2.Okręgi a) Dwa okręgi o środkach A i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest jednocześnie styczny do ramion tego samego kąta prostego. Udowodnij, że stosunek promienia większego z tych okręgów do promienia mniejszego jest równy 3 + 2√2 b) Udowodnić, że w trójkącie prostokątnym suma przyprostokątnych jest równa sumie średnic okręgu wpisanego i okręgu opisanego. 3.Czworokąty a) Na bokach BC i CD równoległoboku ABCD zbudowano kwadraty CDEF i BCGH. Udowodnij że |AC| = |FD| b) Udowodnij, że środki boków dowolnego czworokąta są wierzchołkami równoległoboku. c) Wykaż, że prostokątem, którego obwód wynosi 2p, o największym polu jest kwadrat

	p
o boku
	2

Myślę, że na razie wystarczy

rączszka: Masakryczne te zadania Może porobię z ciekawości, ale nie będę tu wrzucać

Godzio: Zdaje się że 1. a) jest najtrudniejsze

rączszka: Ja tam z planimetrii to leżę, jeszcze stereo to w miarę ogarniam, ale plani to był mój koszmar na maturze dlatego może spróbuję, bo mam dość całek na dziś

rumpek: Ok, drukuje zadanka i biorę je jutro do szkoły

rumpek: Zad 1 b) Skoro |AC| i |BC| są bokami kąta równoramiennego to: ∡BAC = ∡ABC ⇔ α + 2α = 3α ∡ABC = 3α ∡BAC = 3α Suma miar w trójkącie to 180^o α + α + 2α + 3α = 7α 7α = 180^o ∡ADC = 180^o − 2α ⇔ 7α − 2α = 5α Więc prawdziwe jest ∡|ADC| = 5 * ∡|ACD| Tak może być ?

rumpek: Dobra widzę, że Godziu na forum to robię dalej 1 c) sobie póki co odpuszczę wrócę do niego jak zacznę ciągi 1 d) Póki co do głowy przychodzi mi, że: − środkowa dzieli trójkąt na dwa równe pola − stosunek środkowych jest 2 : 1 Na podstawie drugiej myślnika:

y		2
	=
x		1

q		2
	=
z		1

b		2
	=
a		1

Zakładając, że x, a, z są równej długości (x = a = z) oraz y, q, b również są równej długości (y = q = b)

	ah
No i jak chyba dobrze myślę to można skorzystać ze wzoru: P =
	2

Jako iż trójkąt AFS oraz BFS mają podstawy i wysokość równej długości więc mają i takie same pole. P_AFS = P_BFS Podobnie trójkąt AES oraz CES mają podstawy i wysokości równych wielkości więc mają takie same pola. P_AES = P_CES I ten ostatni podobnie. Trochę to naciągane wykazanie może takie być czy co innego obmyślać ?

rumpek: Dobra na dobranoc zrobię sobie jeszcze jedno zadanko 4c L = 2a + 2b P = a*b 2p = 2a + 2b /: 2 p = a + b ⇒ a = p − b P = (p − b) * b = −b² + pb Jest to funkcja kwadratowa z ramionami zwróconymi w dół, więc największą wartość ma w wierzchołku.

	−p		p
bw =		=
	−2		2

c.n.u. Dobranoc

Godzio: Sprawdze to jutro, wlasnie wrocilem i bylem ciekaw czy zadanka sa ruszone

Godzio: Zad. 1 b) Niezbyt rozumiem oznaczenia, kąt przy podstawie ma 3α to kąt między ramionami ma α ? Dlaczego tak oznaczyłeś ? d) Jeszcze pomyśl , nie można założyć, że x = a = z Zad. 4

	p		p
c) bw =		⇒ a =		i teraz ok
	2		2

rumpek: Zad 1 b) Najpierw wyszedłem od zaznaczenia kątów w trójkącie: ADC Jest on równo ramienny więc zaznaczyłem sobie tam α,α, 180^o − 2α Następnie zobaczyłem na trójkąt ABD zaznaczyłem sobie 2α, 2α, i póki co niech będzie 180^o − 4α Teraz dlaczego tam dałem 3α Trójkąt ABC jest równoramienny więc |AC| = |BC| Przy kącie ∡BAC dodałem α + 2α = 3α Jest on równoramienny więc po drugiej stronie też tyle będzie więc 3α odpowiada 180 − 4α i dalej już chyba wiadomo Jak jeszcze coś nie gra to mogę spróbować drugim sposobem który mam w głowie

rumpek: Zad 3 a) Oczywiście CGBH jest kwadratem , trochę rysunek nie wyszedł Do zadanka: |AC| = |FG| więc wykaże na podstawie przystawiania |AB| i |CD| jest równych długości ponieważ CDEF jest kwadratem, zatem boki: |AB| = |CD| = |CF| = |ED| = |EF| Kwadrat ma sumę kątów wewnętrznych 360^o. Kąt ∡DCF ma miarę 90^o (kwadrat CDEF) oraz kąt ∡GCB ma również miarę 90^o (kwadrat CBGH). Suma wszystkich kątów równoległoboku wynosi 360^o natomiast przy jednym boku suma dwóch kątów wynosi 180^o. Rozpatrzmy zatem : 90^o + γ + 90^o + α = 360^o γ + α = 180^o W równoległoboku: α + β = 180^o ⇔ α = 180^o − β Podstawiamy i otrzymujemy: γ + 180^o − β = 180^o γ = β Boki |CB| i |AD| są równej długości ponieważ CGBH jest kwadratem więc: |AD| = |BC| = |CG| = |BH| = |GH| Zatem |AC| = |FG|

rumpek: Zad 3 b) zrobię później bo muszę się nad nim zastanowić (obstawiam że trzeba będzie zastosować twierdzenie Talesa )

rumpek: Zaraz będą okręgi tylko coś zjem

Godzio: Zad. 3 a) Git

Godzio: 1. b) Teraz rozumiem

K+K: zadnie 2a jest dosyć proste można skorzystać z zależności promieni okręgów stycznych zewnętrznie i rozwiązać równanie (R+r)²=2(R−r)² przy czym R to promień dużego kręgu a r to promień małego okręgu

rumpek: Zad 2 a) 1 rysunek ogólny zarys − ze środka wychodzą 2 promienie (a jak promienie to więc są równe) tworzą więc kwadrat ABCD. Teraz trochę objaśnień co do rysunku numer 2 Niebieska strzałka " r −> " oznacza promień od środka do punktu A Środek (dolna czerwona strzałka) nazwałem punktem F Punkt zetknięcia okręgów nazwałem punktem E (czerwona górna strzałka) Skoro to jest kwadrat więc : |AB| = |CB| = |CD| = |AD| = R |CE| = R Przekątna kwadratu (ABCD) wynosi R√2. Przekątna tego kwadratu składa się z odcinków: |AC| = |AF| + |EF| + |EC| R√2 = r + r√2 + R Od razu napiszę skąd wziąłem r√2 − dokładnie tak samo jak z kwadratem ABCD. Na rysunku numer 2 widać różowe małe boki − są to boki kwadratu. A odcinek |AF| jest przekątną więc r√2 Na tym rysunku numer 2 nie można dostrzec ale tam jest jeszcze taka niewielka odległość którą specjalnie zaznaczyłem na rysunku numer 1 (zielona strzałka)(u siebie na kartce mam znacznie wyraźniej ) Dobra jedziemy dalej: jak mamy już: R√2 = r + r√2 + R To pozostaje tylko: R√2 − R = r√2 + r R(√2 − 1) = r(√2 + 1) Moim zadaniem jest udowodnić, że stosunek promienia R do r wynosi 3 + 2√2 więc dzielę przez r: R(√2 − 1) = r(√2 + 1) / :r

R(√2 − 1)
	= √2 + 1 / : (√2 − 1)
r

R		√2 + 1
	=
r		√2 − 1

Usuwam niewymierność:

R		√2 + 1		√2 + 1
	=		*
r		√2 − 1		√2 + 1

R		(√2 + 1)2
	=
r		2 − 1

R		2 + 2√2 + 1
	=
r		1

R
	= 3 + 2√2
r

c.n.u. Może być ? Tymczasem muszę uciekać i będę koło 23, na pewno jakieś zadanko jeszcze ruszę

Godzio: 2. a) jest ok

rumpek: Dobra czas wziąć się za resztę zadań Zacznijmy pierwsze (głęboka woda) a) Trójkąt równoboczny o boku a podzielono prostą l na dwie figury, których stosunek pól jest równy 1 : 5. Prosta ta przecina bok AC w punkcie D pod kątem 15^o, a bok AB w punkcie E. Wykazać, że |AD| + |AE| = a Taki rysunek może być ?

Godzio: Może być

rumpek: I dalej nie wiadomo co robić Szybko przeleciało mi przez myśl coś z podobieństwa figur ale wywaliłem tę myśl Jakaś wskazówka ?

Godzio: Wyraź b i c poprzez a, (pole i tw. sinusów). To jest wskazówka

rumpek: Tylko przeczytam co to twierdzenie sinusów bo tego nie miałem

Krzys: Godziu skad wziely CI sie tam te katy 60, 105 i 15?

Godzio: Przeczytaj polecenie, a będziesz wiedział

rumpek: 180^o = 60^o + 15^o + α 180^o − 60^o − 15^o = α α = 115^o Stąd Godziu mam prośbę do Ciebie − mógłbyś jakieś znaleźć zadania z zastosowaniem twierdzenia sinusów ? Chciałbym sobie je przećwiczyć zanim zacznę robić to zadanie

Godzio: Dany jest trójkąt o bokach 3 i 7 i kącie 45^o(jak na rys.) oblicz sinus kąta α, takie zadanie na szybko wymyślone

rumpek:

3		7
	=
sin45o		sinα

3		7
	=
√2   2		sinα

	7√2
3sinα =		/ :3
	2

	7√2
sinα =
	6

Tak?

Godzio: Tak

rumpek: Dobra muszę uciekać będę za jakies 2h wiece jakbys Godzio znalazł jakieś fajne zadania jeszcze z Twierdzenia Sinusów to bardzo chętnie zerknę

Godzio: z tego nic ciekawego nie ma prócz tego typu, to ma zastosowanie w bardziej rozbudowanych zadaniach które wymagają innych twierdzeń więc tyle wystarczy żebyś umiał póki co

rumpek: Godzio znalazłem chyba jakieś zadanie z zastosowaniem twierdzenia sinusów mógłbyś sprawdzić czy dobrze ? Jakbyś miał podobne to chętnie zobaczę W trójkącie ABC są dane: AC = 10, BC = 10√2. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie: R = 10. Oblicz miarę kąta ACB. Rysunek przykładowy na górze Twierdzenie sinusów:

a		b		c
	=		=		= 2R
sinα		sinβ		sinγ

1^o

10√2
	= 2 * 10
sinα

10√2
	= 20 / *sinα
sinα

20sinα = 10√2 / : 20

	√2
sinα =		(α = 45o)
	2

2^o

10
	= 2 * 10
sinβ

10
	= 20 / * sinβ
sinβ

20sinβ = 10 / : 20

	1
sinβ =		(β = 30o)
	2

Kąt γ: 180^o = α + β + γ 180^o = 45^o + 30^o + γ γ = 105^o Dobrze ?

Godzio: Jest ok

rumpek: To mam kolejne zadanie: W trójkącie ABC mamy dane: |AC| = √3 i |∡ACB| = 90^o. Przez wierzchołek C poprowadzono prostą, która utworzyła z bokiem AC kąt 60^o i przecięła bok AB w punkcie D tak, że |AD| : |DB| = 1 : 3. a) Wykonaj rysunek b) Oblicz długość boków AB i BC oraz długość odcinka CD a) Rysunek wyżej, dobrze ?

Godzio: Ok, tylko jakby miałby być porządny to BC powinien być dłuższy niż AC

Godzio: Tylko to zadanie, o ile się nie mylę wymaga też twierdzenia cosinusów

rumpek: Wyjdzie w praniu robię dalej

Godzio: Tylko |∡A| = 120^o − α

rumpek: Racja

Godzio: A jednak nie trzeba, zmyliło mnie to (180 − α)

rumpek: Ok, to robię dalej |AB|² = |AC|² + |BC|² 16x² = 3 + y² y² = 16x² − 3 y = √16x² − 3 W trójkącie ACD twierdzenie sinusów:

√3		x
	=
sinα		sin60o

√3		x
	=
sinα		√3   2

	√3
sinα * x =		* √3
	2

	3
sinα =
	2x

W trójkącie CDB: (skorzystam z sin(180^o − α) = sinα )

y		3x
	=
180o − α		sin30o

√16x2 − 3		3x
	=
sinα		1   2

√16x2 − 3		3x
	=
3     2x		1   2

	3		1
3x *		= √16x2 − 3 *
	2x		2

9		√16x2 − 3
	=		/ *2
2		2

9 = √16x² − 3 / ()² 81 = 16x² − 3 84 = 16x² / : 16

	21
x2 =
	4

	√21		√21
x =		v x = −		∉ N
	2		2

Podkładam pod: y = √16x² − 3

	21
y = √16 *		− 3
	4

y = √84 − 3 y = 9 |BC| = 9

	√21
|AB| = 4 *		= 2√21
	2

Teraz myślę jak obliczyć |CD|

Godzio: Może tak łatwiej: sin(180 − α) = sinα

y		3x		y
	=		⇒		= xsinα
sinα		sin30		6

x		√3		3
	=		⇒ xsinα =
sin60		sinα		2

y		3
	=
6		2

y = 9 16x² = y² + √3² 16x² = 81 + 3

	84
x2 =
	16

	2√21		√21
x =		=
	4		2

rumpek: Ale ten sam wynik Co mnie cieszy

rumpek: I tutaj chyba jednak trzeba będzie skorzystać z twierdzenia cosinusów

Godzio: No i tutaj bym to zrobił z tw. cosinusów

Godzio: No właśnie

rumpek: Tylko przeczytam o co chodzi w tw. cosinusów i robię dalej

rumpek: To bez znaczenia w którym trójkącie zastosuje twierdzenie cos.? (Czy w trójkącie ADC czy może CBD)

Godzio: Tak

rumpek: Ok, jeszcze raz rysunek wyżej x² = (√3)² + b² − 2 * (√3) * b * cos60^o

	1
(U{√21{2})2 = 3 + b2 − 2√3 * b *
	2

21
	= 3+ b2 − √3b / * 4
4

21 = 12 + 4b² − 4√3b 4b² − 4√3b + 12 − 21 = 0 4b² − 4√3b − 9 = 0 Δ = (−4√3)² − 4 * (−9) * (4) = 48 + 144 = 192 √Δ = √192 = 8√3

	4√3 − 8√3
b1 =		= U{−4√3{8} ∉ N
	8

	4√3 + 8√3		12√3		3√3
b2 =		=		=
	8		8		2

	3√3
|CD| =
	2

Dobrze?

rumpek: W trzeciej linijce powinno być:

	√21		1
(		)2 = 3 + b2 − 2√3 * b *
	2		2

A w 10 linijce:

	4√3 − 8√3		−4√3
b1 =		=		∉ N
	8		8

rumpek: Dobrze ?

Godzio: Jest ok, musiałem odejść od kompa

rumpek: Robię kolejne podejście do: "Udowodnij, że trzy środkowe trójkąta dzielą go na 6 trójkątów o równych polach." Rysunek powyżej. Najpierw krótko o środkowych trójkąta: − przecinają się w jednym punkcie − jedna środkowa dzieli trójkąt na dwa trójkąty o równych polach 1^o Odcinek |CD| jest środkową w trójkąta ABC, czyli na podstawie tego co wyżej napisałem: P_ADC = P_CDB, zatem: Pole P_ADC składa się z c + c+ a, natomiast pole P_CDB z: b + b + a. Przyrównując to ze sobą: c + c + a = b + b + a ⇔ 2c + a = 2b + a ⇒ 2c = 2b : 2 ⇒ c = b 2^o Odcinek |AE| jest środkową w trójkąta ABC, czyli znowu: P_AEC = P_AEB, zatem: Pole P_AEC składa się z c + c+ b, natomiast pole P_AEB z: b + a + a. Przyrównując to ze sobą: c + c + b = b + a + a ⇔ 2c + b = 2a + b ⇒ 2c = 2a : 2 ⇒ c = a 3^o Odcinek |BF| jest środkową w trójkąta ABC, czyli: P_BFA = P_BFC, zatem: Pole P_BFA składa się z a + a + c, natomiast pole P_BFC z: b + b + c. Przyrównując to ze sobą: a + a + c = b + b + c ⇔ 2a + c = 2b + c ⇒ 2a = 2b : 2 ⇒ a = b Zatem mają równe pola ponieważ mają odpowiednie części (połowy) równe. c.n.u Tyle wystarczy czy coś dopisać? Czy może coś zmienić ?

rumpek: Godzio zerkniesz ?

Godzio: Właśnie chodzi o to że nie możesz skorzystać z tego, że dzielą trójkąt na dwa trójkąty o równych polach, musisz tego dowieść, bo jeśli z tego skorzystać to nie ma dowodu, możesz skorzystać z tego że dzielą się w stosunku 2:1 i przecinają w jednym punkcie

rumpek: Z tego próbowałem korzystać wyżej

Godzio: "Zakładając, że x, a, z są równej długości (x = a = z) oraz y, q, b również są równej długości (y = q = b)" Napisałem że takiego założenia zrobić nie można

rumpek: Muszę co innego wymyślić "Wykaż" to najgorsze co może być Ale mam kolejne zadanie zrobione Z trójkątów to ostatnie (trzeba było raczej z podobieństwa skorzystać ) Zaraz wrzucę

rumpek: Zadanie 1 f) "Na zewnątrz trójkąta prostokątnego ABC, w którym ∡ACB = 90° oraz AC = 5, BC = 12 zbudowano kwadrat ACDE. Punkt H leży na prostej AB i kąt ∡EHA = 90° . Oblicz pole trójkąta HAE. " Rysunek powyżej (trochę taki prostokąt wyszedł ale nic nie szkodzi chyba bo to tylko przykładowy rysunek ) Skoro bok |AC| ma długość 5 to boki kwadratu ACDE też będą tyle miały, oraz przekątna mniejszego trójkąta będzie miała 5 (|AE|). W tym większym trójkącie oznaczyłem już kąty. Skąd się wzięło 90^o − α , chyba wiadomo (180 − 90^o (bo trójkąt prostokątny) − α ⇔ 90^o − α ) I ten mniejszy trójkąt jest podobny do tego większego mający kąt prosty ∡AHE (zaznaczyłem). Możemy wyliczyć przeciwprostokątną |AB| większego trójkąta: |AB|² = |AC|² + |CB|² |AB|² = 5² + 12² |AB|² = 25 + 144 |AB|² = 169 |AB| = 13

	1
PABC =		* a * h
	2

	1
PABC =		* 5 * 12
	2

P_ABC = 30 [j²] Na podstawie: https://matematykaszkolna.pl/strona/517.html Bok |AB| jest podobny do |AE|

	5
zatem skala podobieństwa wynosi: k =
	13

Pole dużego trójkąta obliczyłem, a pole mniejszego to jest tylko pole dużego razy skala podobieństwa. Teraz korzystając z https://matematykaszkolna.pl/strona/780.html mam pole, a więc muszę mieć skalę podobieństwa pól (k²)

	25
k2 =
	169

	25
PAEH =		* 30[j2]
	169

	750
PAEH =		[j2]
	169

Dobrze?

Godzio: Dobrze

rumpek: Spróbuje 3 b) Tak jak pisałem będę coś próbował z Talesa skręcić

rumpek: 3 b) Rysunek powyżej Środkiem odcinka |AB| jest punkt E Środkiem odcinka |BC| jest punkt F Środkiem odcinka |CD| jest punkt G Środkiem odcinka |AD| jest punkt H Z twierdzenia Talesa mamy:

|HD|		|AD|
	=
|DG|		|DC|

Zatem na podstawie tego twierdzenia odcinek |HG| jest równoległy do odcinka |AC| (przekątna tego czworokąta ). Korzystając z podobieństwa trójkąta GDH do trójkąta CDA otrzymujemy:

|DH|		|DA|		|DH|		2|DH|
	=		⇔		=		⇒ |DH|*|AC| = 2|DH| * |HG|
|HG|		|AC|		|HG|		|AC|

⇒ |AC| = 2|HG| Zajmijmy się przeciwnym "trójkątem − FEB" Znowu Twierdzenie Talesa:

|BF|		|BC|
	=
|BE|		|BA|

Zatem na podstawie tego twierdzenia odcinek |EF| jest równoległy do odcinka (przekątnej) − |AC|. Teraz korzystając znowu z podobieństwa trójkąta FBE do trójkąta CBA otrzymujemy:

|BF|		|BC|		|BF|		2|BF|
	=		⇔		=		⇒ |BF|*|AC| = 2|BF| * |EF|
|EF|		|AC|		|EF|		|AC|

⇒ |AC| = 2|EF| Teraz jak mamy już dwa boki podstawiamy jedno równanie do drugiego: |AC| = 2|HG| |AC| = 2|EF| 2|EF| = 2|HG| ⇔ |EF| = |HG| Więc skoro dwa boki są równoległe i równe jest to równoległobok. c.n.u. Ufff Godziu tak może być ?

rumpek: Na dzisiaj chyba starczy, może coś w nocy jeszcze pomyśle z okręgami (2b) bo nie wydaje się być trudne Tymczasem idę oglądać film

Godzio: Ja to już sprawdzę jutro bo dzisiaj nie mam sił

rumpek: ok

rumpek: Dobra czas znowu spróbować: "Udowodnij, że trzy środkowe trójkąta dzielą go na 6 trójkątów o równych polach. " Najpierw jednak spróbuje zrobić prostsze czyli: "Udowodnij, że środkowa trójkąta dzieli go na 2 trójkąty o równych polach" Rysunek powyżej No to teraz wykazanie:

	1		ah
PADC =		* a * h =
	2		2

	1		ah
PDBC =		* a * h =
	2		2

Zatem P₁ = P₂ Dobrze ? Muszę od czegoś zacząć

Godzio: Tamto ok, póki co to też ok

rumpek: To z Talesem i podobieństwem dobrze ? Szocke

rumpek:

	x		1
Pisałeś żeby wykorzystać ten stosunek:		=		to przychodzi mi do głowy tylko to aby
	y		2

wykorzystać pole : P = a*b*sinα Zaraz zrobię Chyba już wiem o co chodzi

Godzio:

	1
P =		absinα, Myślę, że zaraz dojdziesz do rozwiązania
	2

rumpek:

	1
Racja literówka zapomniałem o
	2

Już rysuję trójkąt

rumpek: Sorki musiałem na chwile wyjść, już piszę: Rysunek wyżej. Na podstawie tym że "Środek ciężkości dzieli każdą środkową w stosunku 2 : 1" otrzymujemy: −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− * środkowa |CD|:

	|CG|		2
		=
	|DG|		1

|CG| = 2|DG| Teraz dla ułatwienia oznaczmy sobie: |DG| = x, więc |CG| = 2x (już oznaczyłem tak na rysunku) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− * środkowa |AE|:

	|AG|		2
		=
	|EG|		1

|AG| = 2|EG| Teraz dla ułatwienia oznaczmy sobie: |EG| = y, więc |AG| = 2y (już oznaczyłem tak na rysunku) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− * środkowa |BF|:

	|BG|		2
		=
	|FG|		1

|BG| = 2|FG| Teraz dla ułatwienia oznaczmy sobie: |FG| = z, więc |BG| = 2z (już oznaczyłem tak na rysunku) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Teraz łatwo zauważyć, że trzeba przyrównać te pola, a mam podane bok: a i b (na podstawie https://matematykaszkolna.pl/strona/503.html ) Więc dopisuje odpowiednie kąty. Dla trójkątów: △AGF oraz △BGE będzie to kąt: α Dla trójkątów: △AGD oraz △CGE będzie to kąt: β Dla trójkątów: △CGF oraz △BGD będzie to kąt: γ Są to kąty wierzchołkowe (chyba nie pamiętam jak to się nazywało ) No to teraz tak jak wyżej, kombinujemy z polem tylko teraz ze wzorem:

	1
P =		* a * b * sinα.
	2

To jedziemy: * dla sinα:

	1		2zysinα
P3 =		*2z*y*sinα =		= zysinα
	2		2

	1		2yzsinα
P4 =		*2y*z*sinα =		= zysinα
	2		2

* dla sinβ:

	1		2yxsinβ
P2 =		*2y*x*sinβ =		= xysinβ
	2		2

	1		2xysinβ
P5 =		*2x*y*sinβ =		= xysinβ
	2		2

* dla sinγ:

	1		2zxsinγ
P1 =		*2z*x*sinγ =		= xzsinγ
	2		2

	1		2xzsinγ
P6 =		*2x*z*sinγ =		= xzsinγ
	2		2

Widzimy więc że P₃ = P₄ ∧ P₂ = P₅ ∧ P₁ = P₆ (pamiętamy o tym, że środkowa dzieli trójkąt na dwa równe trójkąty − można zauważyć to co wyżej wykazałem − poprzedni któryś post ) Zatem prawdziwe jest P₁ = P₂ = P₃ = P₄ = P₅ = P₆ c.n.u. Tak może być Godziu? To rysowanie trójkątów z środkowymi jest trochę męczące

Godzio: O to chodziło

rumpek: Uff, to teraz może spróbuje to z dwusieczną. Myślę coś aby wykorzystać to że przecinają się pod kątem prostym.

eee: Rumpek zdajesz mature za 6dni?

rumpek: Nie za rok

eee: idz za mnie napisac odale Ci 100zl od godziny

eee: odpale*

rumpek: Nie chcę nic mówić ale Godzio maturkę napisze podstawową na 100% w 30 minut, a rozszerzoną też na 100% max 1h

Godzio: Ta Zwłaszcza jak mi dadzą jakąś rzeźnie z prawdopodobieństwa

eee: ale godziu pisze w tym roku, a Ty za rok, wiec sie czasem z godziem nie pokryje, wchodzisz w to?;> bedziesz sam ja na sali pisali

rumpek: Poradzisz sobie To 10 zadań zrobisz w nie całą godzinkę, a na prawdopodobieństwo będziesz miał 2h więc 100% luźno będzie, poza tym zasługujesz na te 100%

Godzio: Miejmy nadzieję

rumpek: Zanim zacznę to główne zadanko z dwusieczną to na razie takie moje wprowadzające: "Wykaż, że dwusieczne dwóch sąsiednich kątów w równoległoboku są do siebie prostopadłe." Nawet to zadanko proste. Znowu korzystam z tego że suma kątów przy jednym ramieniu wynosi 180^o (bodajże korzystałem z niech przy 3a) 2α + 2β = 180^o α + β = 90^o No i teraz rozpatrujemy trójkąt: ABE: 180^o − (α − β) = 90^o c.n.u. No i teraz moje pytanie: skoro są do siebie prostopadłe to właśnie tutaj się przecinają teoretycznie

Godzio: Ale tak nie jest To musi być romb

Godzio: A dobra, dwusieczne to ok Tylko nie dopisałem do polecenia, chodziło mi o trzy dwusieczne w trójkącie

rumpek: A tobie z rombem o co chodziło ?

Godzio: Nie, nie ważne

rumpek: Bo o ile się nie mylę to dwusieczne są przekątnymi rombu?

Godzio: Zgadza się, ale chodziło mi o trójkąt

rumpek: Możesz podać pełne polecenie jakie miało być ? I takie pytanie: "Udowodnij, że dwusieczne przecinają się w jednym punkcie " do tego polecenia może być taki dowód jaki przeprowadziłem w górnym dowodzie ?

Godzio: Udowodnij, ze dwusieczne kątów w trójkącie przecinają się w jednym punkcie Takiego polecenia być nie może bo nie zawsze jest prawdziwe, po za tym nie napisałem czego się tyczy

rumpek: Taki rysunek może być?

Godzio: Może być

rumpek: I teraz moje pytanie: żeby coś takiego wykazać to: − można skorzystać z tego tak jak pokazywałem o tych środkowych (chodzi o pola) − może tym równaniem: https://matematykaszkolna.pl/strona/498.html − czy na kątach

Godzio: Tutaj zbytnio nie mam jak podpowiedzieć Ale to Ci raczej nic nie da

rumpek: Nie masz jak podpowiedzieć? Bo jakbyś podpowiedział to byłoby to rozwiązanie ?

Godzio: Mogę Ci tylko podpowiedzieć tyle, spójrz na definicję dwusiecznej

rumpek: Z tej strony: https://matematykaszkolna.pl/strona/497.html ?

rumpek: Koło wpisane w trójkąt ?

Roksana: godziu zobacz https://matematykaszkolna.pl/forum/93297.html prosze

Godzio: To nic nie daje

rumpek: Trzeba napisać jakieś wzory czy coś, czy słownie ?

Godzio: Słownie

rumpek: Coś za proste mi się wydaje to co zrobiłem, musi być jakiś haczyk

rumpek: Dobra napisze to bo dopiero chyba teraz tak naprawdę zrozumiałem o co chodzi w dwusiecznej trójkąta I wychodzi na to że zostanie jedno zadanie z okręgiem do zrobienia i to najgorsze pierwsze (Do tego z ciągiem tak jak pisałem wrócę − jak będę miał ciągi jeszcze w tym roku to przed wakacjami, a jak nie bede mial ciagów w tym roku szkolnym to będę miał co robić przez wakację .Ogólnie wakacje mam już zarezerwowane dla ćwiczenia z matematyki i robieniu ciekawych zadań )

rumpek: Rysunek taki jak przedtem Dwusieczna dzieli kąt na 2 równe kąty 1^o Rozpatrzmy najpierw to że każdy punkt obrany na dwusiecznej |CD| jest w równych odległościach od odcinków |AC| oraz |CB|. (Niebieskie otwarte kropeczki) 2^o Teraz rozpatrzmy drugą dwusieczną |AE| również każdy punkt obrany na tej dwusiecznej jest w równych odległościach od |AB| oraz |AC|. (Czerwone otwarte kropeczki) 3^o Teraz pozostała nam tylko ostatnia dwusieczna: |BF|. Każdy punkt obrany na tej dwusiecznej jest w równych odległościach od |BC| oraz |AB| (zielone otwarte kropeczki) Więc na pewno dwusieczne trójkąta przetną się w jednym punkcie. c.n.u. Godziu tyle starczy, czy coś dopisać ?

Godzio: Raczej starczy

rumpek: Dobra uciekam, wieczorem postaram się zrobić to z okręgiem a jutro rzeźnia z tym pierwszym

rumpek: Tak jak pisałem zrobię z okręgiem Cóż, że po miesiącu − liczą się chęci "Udowodnić, że w trójkącie prostokątnym suma przyprostokątnych jest równa sumie średnic okręgu wpisanego i okręgu opisanego. " 1. Promień okręgu wpisanego w trójkąt:

	2P
r =
	a + b + c

	1
P =		ab
	2

2. Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym:

	c
r =		, gdzie c jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego
	2

Skoro mają to być średnice, więc wszystko razy dwa i otrzymujemy: a² + b² = c²

	2ab		c2 + ca + cb + 2ab
2r + 2r1 = c +		=		=
	a + b + c		a + b + c

	a2 + 2ab + b2 + ac + bc		(a + b)2 + c(a + b)
=		=		=
	a + b + c		a + b + c

	(a + b)(a + b + c)
=		= a + b
	a + b + c

c.n.u. Na ten tydzień zostawię sobie to pierwsze Najtrudniejsze

Jack: masakrycznie przekombinowałeś to zadanie − nie widziałem jeszcze tak zawiłego rozwiązania tego zadania...

Kejt: nie widziałeś bardziej przekombinowanego, bo ja go jeszcze nie robiłam

rumpek:

Jack:

Godzio: "w trójkącie prostokątnym" więc:

	1
R =		c
	2

	a + b − c
r =
	2

2R + 2r = c + a + b − c = a + b c.n.d. i tyle

rumpek: Napisałeś we wskazówce, żeby skorzystać twierdzenia sinusów i wyrazić b i c poprzez a Czyli w tym wypadku 5a ?

rumpek: Skorzystać z : P = cbsin60^o

	√3
P =		cb
	2

rumpek:

sin105o		sin15o
	=
c		b

	√6 − √2
sin15o = sin(45o − 30o) =
	2

sin105^o = sin(45^o + 60^o) = sin45^ocos60^o + cos45^osin60^o =

	√2 + √6
=
	4

rumpek: Oczywiście powinno być:

c		b
	=
sin115o		sin15o

rumpek:

c		b
	=
√2 + √6   4		√2 − √6   4

rumpek:

c(√2 − √6)		b(√2 + √6)
	=		/ * 4
4		4

c(√2 − √6) = b(√2 + √6) / : (√2 − √6)

	√2 + √6		√2 + √6
c = b *		*
	√2 − √6		√2 + √6

	(√2 + √6)2
c = b *
	2 − 6

	2 + 2√12 + 6
c = b *
	−4

Tak czy gdzieś na znaku poległem ?

Godzio:

	√6 − √2		√2 − √6
sin16 =		, a nie
	4		4

Godzio: sin15 *

rumpek: Ale w tą mańkę iść ?

Godzio: Tak

rumpek:

c(√6 − √2)		b(√2 + √6)
	=		/ * 4
4		4

c(√6 − √2) = b(√2 + √6) / : (√6 − √2)

	√2 + √6		√6 + √2
c = b *		*
	√6 − √2		√6 + √2

	(√2 + √6)2
c = b *
	6 − 2

	2 + 2√12 + 6
c = b *
	4

	2b(4 + √12
c =
	4

	b(4 + 2√3)
c =
	2

c = b(2 + √3) Takie coś ? Skąd masz takie fajne zadanko ?

rumpek: "W tę*" − moja polonistka pewnie zamordowałaby mnie

rumpek: I tak jak pisałem skorzystać z : P = cbsin60^o

	√3
P =		cb
	2

?

rumpek: c = 2b + √3b

√3
	* (2b + √3b)
2

P = (√3b + 2b) * b P = √3b² + 2b² Coś chyba nie tak

Godzio: To zadanie było zdaje się na jakiejś próbnej maturze z wyborczej Kombinuj, wykorzystaj to co masz w poleceniu

rumpek: ale dobrze to co napisałem ?

rumpek: Masz może jeszcze jakąś wskazówkę w zanadrzu? I prośba: mógłbyś znowu coś uszykować ?

Godzio:

	a2√3
6P =		⇒ P = ...
	4

	1
P =		bcsin60o
	2

Myślę, że tyle wystarczy

rumpek: A tamto co wyżej pisałem ma jakiś logiczny sens ? Czy nie potrzebne przy tym zadaniu?

Godzio: No ma ma bo obliczyłeś już pole, teraz przyrównaj je i wyznacz "b" w zależności do "a", a następnie c i pokaż że b + c = a

rumpek: Pisałeś też zeby skorzystać z twierdzenia sinusów więc myślałem, że oto chodziło xD

Godzio: Z tw. sinusów już skorzystałeś