dwaj zawodnicy rzucają na przemian monetą
Aska: 1.Dwaj zawodnicy rzucają monetą, a wygrywa ten, który pierwszy wyrzuci orła. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że wygra ten zawodnik, który rzuca monetą jako drugi?
2.Trzej zawodnicy rzucają monetą w ustalonej kolejności tak długo, aż wypadnie orzeł. Oblicz,
dla każdego z zawodników, prawdopodobieństwo tego, że wyrzuci on orła.
Wiem tylko że prawdopodobieństwo jest równe sumie nieskończonego ciągu geometrycznego, ale nie
umiem tego zastosować w praktyce
więc będę wdzięczna za jakąkolwiek pomoc
asd: musisz sobie to wyobrazić. Pierwszy gracz zaczyna i już na starcie ma on 50% szansy na wygraną
no bo albo rzuci orła i wygrywa albo nie. czyli a
1 dla pierwszego gracza mamy
12. Drugi
gracz nie ma już tak dobrze, chociaż też rzuca 1 raz, ponieważ jeżeli chce założyć, że wygra
przy tym swoim pierwszym rzucie to musi jeszcze założyć, że będzie w ogóle miał okazje rzucać
(no bo jak 1 graczowi się uda i wyrzuci orła już na starcie to po grze pierwszy wygrywa i już,
a drugi nawet nie będzie miał okazji spróbować). Czyli jest to tzw. prawdopodobieństwo
warunkowe −−−>
1020. Licząc a
1 dla 2 gracza mamy
12 (czyli, że pierwszy gracz jednak
nie wygra) *
12 (że drugi wygra) =
14. Czyli popatrz prawdopodobieństwo wygrania w
pierwszej kolejce jest dwa razy większe dla 1 gracz. Ale mamy policzyć ogólne szanse na
wygraną. Sam bym na to nie wpadł, i dobrze, że zauważyłaś, że tutaj można zastosować wzór na
sum.ę nieskończonego ciągu geometrycznego −−−>
297.
Liczymy dla 2 gracza (jak w zadaniu 1)
mamy a
1 =
14, czyli wychodzi na to, że potrzeba nam jeszcze jedynie 'q'
q to wartość o którą to prawdopodobieństwo będzie się zmniejszać wraz z kolejnymi kolejkami.
Wyobraź sobie np. jeśli chcielibyśmy policzyć prawdopodobieństwo wygrania w kolejce 10.
musielibyśmy założyć, że wszystkie rzuty do tej pory były nieskuteczne, wypadała reszka i ze
ten rzut o któty chodzi był dobry. w tych zadaniach akurat zarówno prawdopodobieństwo wygrania
jak i przegrania jest jednakowe =
12.
q możemy policzyć ze wzoru ze strony −−−> [[279]. q=
wyraz 2wyraz 1. wyraz 2=a
2, wyraz
1=a
1. nie mamy a
2, czyli prawdopodobieństwa wygrania w drugiej kolejce. więc policzymy.
Pierwsze na logike. zeby dugi gracz wygrał za drugim razem to tak −−> 1 za 1 razem musi
przegrać (
12), później 2 też musi przegrać, ma wygrać dopiero za 2 razem (
12),
później pora na 1 znowu i też przegrywa (
12) i pora na 2 rzut gracza 2, tym razem wygrywa
(0,5) . Mamy
12*
12*
12*
12 =
116. liczymy q= jedna szestansta
dzielone przez jedna czwarta = jedna szesnasta razy 4 = jedna czwarta = q =
14. I teraz
możemy spokojnie policzyć S, czyli sume ciągu geometrycznego nieskończonego. będe pisał w
ułamkach dziesiętnych.
| | 1 | |
S = a11− q = 0,251 − 0,25 = 0,250,75 = 14 * 43 = |
| . I mamy |
| | 3 | |
prawdopodobieństwo , że wygra gracz 2.
Teraz zajmijmy się 1. Jeśli gracz 2 ma ogólnie
13 szansy na wygranie to gracz 1 ma
23
−−−> 1 −
13 =
23.. Sprawdźmy czyby tak faktycznie wyszło. mamy a
1 dla 1 gracza =
12. trzeba q, a żeby policzyć q trzeba a
2, czyli prawdopodobieństwo wygrania gracza 1 za
2 razem. (wszystko tak samo jak powyżej gdy liczyliśmy dla gracza 2). czyli a
2 =
12
(ponieważ za 1 razem gracz 1 nie wygrywa) *
12 (następnie gracz 2 też nie wygrywa) *
12 (teraz za 2 razem gracz 1 wygrywa) =
18.
q =
jedna ósmajedna druga =
18 *
21 =
14.
| | 1 | |
I pora na S. S = 0,51 − 0,25 = 0,50,75 = |
| * 43 = 46 = |
| | 2 | |
23.
Jeślibyś czegoś nie wiedziała to pytaj.