wze: Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji. 1) f(x)=x²-4x+5 2) f(x)=-3+ln(x-3/x²)

Basia: w (2) nie wiem jak to ma być x-3 -3 + ln(----------) x² 3 czy -3 + ln(x - ------) x²

wze: ten pierwszy wariant

Basia: 1. D=R liczymy pochodną f'(x) = 2x -4 f'(x) = 0 ⇔ 2x -4 =0 ⇔ 2x =4 ⇔ x=2 f'(x)<0 ⇔ 2x-4<0 ⇔ 2x<4 ⇔ x<2 f'(x)>0 ⇔ 2x-4>0 ⇔ 2x>4 ⇔ x>2 czyli: x∈(-∞; 2) ⇒ f'(x)<0 ⇒ f maleje x∈(2 ; +∞) ⇒ f'(x)>0 ⇒ f rośnie dla x=2 funkcja osiaga minimum x_min=2 f_min = f(2) = 4 - 8 + 5 = 1

Basia: x-3 f(x) = -3 + ln(----------) x² logarytmować można tylko liczby >0 czyli (x-3)/x² > 0 ⇔ x-3>0 ⇔ x>3 D= (3 ; +∞) liczymy pochodną f'(x) = 1 / [(x-3)/x²] * [ (x-3)/x²]' = x² 1*x² - 2x(x-3) x² - 2x² + 6x ------- * --------------------- = ------------------------ = x-3 x⁴ x²(x-3) - x² + 6x x(6-x) ------------------ = ------------------- x²(x-3) x²(x-3) f'(x)=0 ⇔ x(6-x) =0 ⇔ x=0 lub x=6 0 odpada bo nie nalezy do dziedziny badamy znak pochodnej najprościej tak: narysować wykresy funcji: y=x y=6-x y=x-3 i z wykresu odczytać znak pochodnej x∈(3,6) ⇒ f'(x)<0 ⇒ f maleje x∈(6, +∞) ⇒ f'(x)>0 ⇒ f rośnie x_min=6 f_min = f(6) = -3 + ln(3/36) = -3 +ln(1/12) swprawdź czy się nie pomyliłam w rachunkach

jan: 2x/x²−4 oblicz ekstrema i monotoniczność...pomocy

john2: Zacznij od wyznaczenia dziedziny.

jan: x²−4 nie = 0 więc x =2,x=−2...

jan: D={R/2,−2}

jan: ?

john2: OK Teraz postępuj według tego https://matematykaszkolna.pl/strona/387.html

	2x
czyli teraz licz pochodną z
	x2 − 4

jan: (2x)'*x²−4−(x²−4)'*2x/(x²−4)².......=2x²−8−2x⁴/x⁴−4x²−16

jan:

john2: Niewiele widać z Twojego zapisu. Stosuj zapis U { licznik} { mianownik} (pisane bez spacji) albo przynajmniej liczniki/mianowniki dawaj w nawias. Coś pomyliłeś. Przyjrzyj się dobrze drugiemu wzorowi od dołu https://matematykaszkolna.pl/strona/359.html Ma wyjść

	−2x2 − 8
	(x2 − 4)2

jan: jak bys mg. go rozpisac ...

jan: zrobilem wedle wzoru

john2:

	2x		(2x)' * (x2 − 4) − 2x * (x2 − 4)'
(		)' =		=
	x2 − 4		(x2 − 4)2

	2 * (x2 − 4) − 2x * 2x
=		= ...
	(x2 − 4)2

jan: ok a teraz bierzemy licznik i patrzymy czy≤≥0

john2:

	−2x2 − 8
Robimy		= 0
	(x2 − 4)2

−2x² − 8 = 0 Brak rozwiązań, czyli pochodna nie ma miejsc zerowych. Jeśli się nie mylę, patrzymy jaki znak ma licznik naszej pochodnej

	−2x2 − 8
		.
	(x2 − 4)2

Będzie zawsze ujemny. Więc cała funkcja jest malejąca we wszystkich trzech przedziałach (przedziałach wynikających z dziedziny).

jan: ok stary dzięki już sobie poradze bo przedział od (−∞,−2 ) (2,+∞) a dalej to wiem a ekstrema to liczymy dla tych punktów

john2: Nie. Moim zdaniem jest koniec zadania. Funkcja nie ma ekstremów, bo pochodna nie ma miejsce zerowych. Znak funkcji pochodnej jest ujemny dla wszystkich x (co byś nie podstawił za x w liczniku, będzie minus), czyli nasza funkcja jest malejąca dla wszystkich x (oczywiście nie licząc −2 i 2, bo dla nich funkcja nie ma wartości). Więc funkcja jest malejąca w przedziałach: x∊(−∞,−2) x∊(−2,2) x∊(2,+∞)

jan: aha ok ... jest jeszcze pare prykładó ale powalcze sam dzięki

john2: Powodzenia. Polecam się z tym dobrze zapoznać: https://matematykaszkolna.pl/strona/381.html https://matematykaszkolna.pl/strona/387.html

jan: ok dzięki wielkie "john2"