Nierówność - parametr Karolina: Wyznacz liczbę a, dla której zbiorem rozwiązań danej nierówności x(2−a)<−6 jest zbiór (−1,+∞). Chciałam zapytać czy to rozwiązanie: https://scontent.fpoz4-1.fna.fbcdn.net/v/t1.6435-9/fr/cp0/e15/q65/234718388_2665080387118506_1885216850143956902_n.jpg?_nc_cat=111&ccb=1-5&_nc_sid=ca434c&efg=eyJpIjoidCJ9&_nc_ohc=lPkOGoobTpAAX_jgoUH&_nc_ht=scontent.fpoz4-1.fna&oh=101f970ff852a80bffe8a6c7b23e790c&oe=613FC789 jest w zupełności poprawne i kompletnie? Czy rozpatrywanie drugiego przypadku było konieczne, czy może jest jakieś uzasadnienie, dla którego nie było konieczności rozpatrywania drugiego przypadku i dlatego rozpatrzenie go jest błędem? Z góry bardzo dziękuję za informację.

chichi: https://matematykaszkolna.pl/forum/410848.html

chichi: 2 tygodnie i Ty dalej się bijesz z tym samym zadaniem?

Karolina: Z tego postu wynika według mnie, że powyższe rozwiązanie jest kompletne i poprawne, natomiast chciałabym się upewnić czy dobrze to interpretuję?

chichi: Nie trzeba rozważać żadnego 2 przypadku, sprawa tutaj jest jasna w przypadku takiego zbioru rozwiązań nierówności liniowej. Ale ten zapis z końca 1^o to nie wiem co to jest...

Karolina: Tak, ponieważ znalazłam w internecie rozwiązanie tego zadania: https://youtu.be/NinN8aonKag, w którym nie został rozpatrzony drugi przypadek. I zastanawiam się nad tym, że może nie zauważyłam jakiejś kwestii, dzięki której nie byłoby potrzeby rozpatrywać tego drugiego przypadku?

Karolina: 1° to pierwszy przypadek. Wydawało mi się, że takim symbolem oznacza się przypadki w matematyce.

Karolina: I właśnie nie rozumiem, dlaczego w przypadku takiego zbioru rozwiązań nierówności liniowej sprawa jestest jasna?

chichi: Zapis z końca 1^o − zapis z końca 1 przypadku, mianowicie (...∉x>−1)

chichi: Czego tu nie rozumiesz? Spójrz na ten artykuł, a mianowicie na własności nierówności liniowej.. https://www.medianauka.pl/nierownosc-liniowa

Karolina: W takim razie nie powinnam tak zapisać? A jeśli nie powinnam tego tak zapisać, to jaki zapis powinno się zastosować? Chciałam jakoś oznaczyć to, że dana nierówność nie zajdzie przy określonych warunkach x>1

Karolina: A czy w takim przypadku rozpatrzenie dwóch przypadków jest konieczne?: https://pl-static.z-dn.net/files/db5/3ecb012c455f2565aa7d42c1e8be173f.jpg Jeśli tak, to dlaczego w tym przykładzie powinno się wiedzieć, że trzeba rozpatrzeć dwa przypadki, natomiast w poprzednim przykładzie powinno się wiedzieć, że trzeba rozpatrzeć tylko jeden przypadek? Po czym to się rozpoznaje?

chichi: Naprawdę wystarczy usiąść i się chwilę zastanowić.. Ty chcesz jakichś schematów, ale gdybyś rozumiała co robisz, byłoby lepiej.. Widzisz jaki zwrot nierówności musisz uzyskać po zadanym zbiorze rozwiązań nierówności z polecenia, a następnie tak przekształcasz nierówność, aby zwroty Ci się zgadzały, po co Ci w ogóle przeciwny, do czego Ci ten przypadek?

Karolina: Siedzę i myślę jak Pan sam napisał dwa tygodnie. Po co mi ten drugi przypadek? Ponieważ w tym przykładzie: https://pl-static.z-dn.net/files/db5/3ecb012c455f2565aa7d42c1e8be173f.jpg, drugi przypadek spowodował odszukanie rozwiązania. Gdyby nie rozpatrzyło się drugiego przypadku, to wtedy rozwiązanie byłoby błędne, bo byłoby zbiorem pustym, a jest liczbą 8 ( o ile oczywiście dobrze to zrobiłam, być może znów czegoś nie rozumiem)

Karolina: Skopiuję link jeszcze raz, bo w poprzednim niepotrzebnie wpisałam przecinek i nie chce się wyświetlić: https://pl-static.z-dn.net/files/db5/3ecb012c455f2565aa7d42c1e8be173f.jpg

chichi: Oczywiście, że nie, bo tutaj jednym słusznym przypadkiem do rozpatrywania jest właśnie ten, który daje poprawna odpowiedź, ten zbędny zawsze da zbiór pusty Powtórzę jeszcze raz, patrzysz najpierw na przedział zadany w poleceniu i widzisz czy ostateczna nierówność ma mieć > czy < I wtedy dbasz odpowiednio o wartość tego sparametryzowanego wyrażenie przy dzieleniu (przy założeniu, że nie dzielisz przez 0 oczywiście )

Karolina: Czy w takim razie powinnam rozpatrywać tylko przypadki o nazwie 2° w obydwu tych przykładach, a nie powinnam w ogóle rozpatrywać przypadków o nazwach 1° w powyższych obydwu przykładach?

Karolina: Wtedy od razu odrzucę rozpatrywanie przypadku 1° ze względu na występowanie różnych znaków w nierówności i zbiorze rozwiązań tej nierówności dla 2−a>0.

Karolina: Tak się zastanawiam czy nie powinno się rozpatrzyć czasami trzech przypadków? a>2, a<2 oraz a=2, z czego wszystkie trzy doprowadzą do sprzeczności?

Karolina: Czy nie tak powinno się rozwiązywać wszelakie zadania z parametrem?

Szkolniak: @Karolina jak dla mnie to rozpatrzenie każdego przypadku jest jak najbardziej odpowiednie i nie wydaje mi się by rozpatrywanie przypadków można było nazwać 'błędem'.. Wiadomo, jeśli pewne rzeczy widzi się od razu to może to zaoszczędzić roboty, ale jeśli chce się aby rozwiązanie sprawdził czy to nauczyciel czy ktoś tam, to myślę że warto pokazać swój cały tok rozumowania i pokazać że jednak rozumie się co się robi, a nie na zasadzie że byle szybko Co do zapisu to ja byłem uczony że nie wszystko trzeba zapisywać matematycznie i bardzo ważne są komentarze słowne (jeśli chodzi o maturę oczywiście) Powiem też że jeśli chodzi o te parametry to ja często miałem problemy w zadaniach typu ''Dla jakiej wartości parametru m nierówność (m−2)x²+(m−x)x+5>0 jest zawsze prawdziwa?'' Teoretycznie można od razu lecieć z kwadratówką i nadawać warunki, ale ja często zapominałem o przypadku liniowym i przez to też nauczyłem się że lepiej rozpatrywać niż nie

Szkolniak: Zamiast '(m−x)' oczywiście '(m−2)'

Karolina: Dziękuję Właśnie o tym mówię. Nawet zastanawiam się, czy na maturze nierozpatrzenie któregoś z tych trzech przypadków, nie stanowiłoby nawet błędu przez niepokazanie całego toku rozumowania.

Szkolniak: Dokładnie, ja w takich zadaniach też stosuję taki zapis jak Ty, tzn. 1^o, potem v2^o itd.. Według mnie dobrze i przejrzyście to wtedy wygląda i wiadomo co robisz A takie myślenie w głowie na maturze raczej na dobre nie wyjdzie, egzaminator nie będzie wiedział że w głowie rozpatrzyłaś taki przypadek i nie da punktu i tak Tak samo różne są szkoły jeśli chodzi o te zapiski, ja zawsze zapisywałem np. ''z twierdzenia cosinusów", "z twierdzenia o okręgu wpisanym w czworokąt" i takie tam, wiadomo co skąd się bierze

Karolina: To jeszcze się tylko upewnię czy w przypadku takiego równania: https://matematykaszkolna.pl/forum/410941.html rozpatrzenie drugiego przypadku już jest błędem?

Szkolniak: Według mnie tak i według mnie bardzo dobrze panowie Ci to opisali. Podczas podnoszenia do kwadratu nie powstaje Ci tam żadna wartość bezwzględna, więc tak naprawdę jak dla mnie to bierzesz ten przypadek znikąd.. Dwa przykłady dla ciebie: (1) √x²+6x+9=4 √(x+3)²=4 |x+3|=4 x+3=4 v x+3=−4 x=1 v x=−7 x∊{−7,1} (2) √x²+6x=4 |² x²+6x=16 x²+6x+9=25 (x+3)²=25 itd.. W obu przypadkach pamiętamy o dziedzine W 1 równaniu x∊R W 2 równaniu x²+6x≥0

Karolina: Dziękuję bardzo Czyli rozpatrywanie przypadków stosuje się tylko w zadaniach z parametrem w nierównościach czy również w równościach?

Szkolniak: Niekoniecznie tylko w nierównościach, w równaniach też trzeba, przykładowo takie zadanie: "Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie (m−2)x²+(m−1)x+1=0 ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty." Tutaj należy rozpatrzeć dwa przypadki, gdy m−2=0 oraz gdy m−2≠0

Karolina: Rozumiem, generalnie mam na myśli materiał obowiązujący na maturze podstawowej. Przykład, który podałam w poście, jest jedynym w całym zbiorze, który wymaga rozpatrzenia więcej niż jednego przypadku. Podkreślę, że jest to jedyny taki przykład, nawet nie jedno całe zadanie. Stąd moje zastanowienie w tej kwestii.

Karolina: Wydaje mi się że chyba zaczynam rozumieć. Po prostu nie można mylić parametru z dziedziną. Gdyby przykładowo ,,x−2" było w mianowniku zamiast ,,a−2", to wtedy nie rozpatrywalibyśmy trzech przypadków: x>2, x=2 i x<2, tylko napisalibyśmy w dziedzinie x ≠0, D∊R−{2}. Natomiast w naszym przykładzie:x(2−a)<−6, dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych D∊R. Zastanawiam się czy dobrze myślę, czy aby wszystkiego już nie pokręciłam : (

Szkolniak: A jesteś w stanie podać przykład, który wymaga rozpatrzenia dokładnie jednego przypadku? Mam na myśli z tej książki ''Gdyby przykładowo ,,x−2" było w mianowniku zamiast ,,a−2", to wtedy nie rozpatrywalibyśmy trzech przypadków: x>2, x=2 i x<2, tylko napisalibyśmy w dziedzinie x ≠0, D∊R−{2}.'' Dlaczego tak? Jaką nierówność masz na myśli?

Karolina: Odpiszę jutro po południu, ponieważ idę właśnie spać, dobranoc