Równanie - przypadki Karolina: √x−4=2 Określenie dziedziny: x−4 ≥ 0 x ≥ 4 D ∊ <4, +∞) √x−4=2 |² | x−4| =4 x−4=4 ∨ x−4=−4 \\ x=8 ⋁ x=0_{∉ D∊<4, +∞ )} Rozwiązanie: x=8 Chciałam zapytać, dlaczego niektórzy rozwiązujący w ogóle nie rozpatrują drugiego przypadku: x−4=−4? Czy tak można? Jeśli tak, to skąd powinniśmy wiedzieć, że tego przypadku nie trzeba rozpatrywać, ponieważ nie należy do dziedziny, bez rozpisania na dwa przypadki, tak jak ja to zrobiłam? Z góry bardzo dziękuję za odpowiedź.

mat: jak podnosisz obie strony do kwadratu to maasz po porstu x−4 = 2 (skad wartość bewzglena?)

mat: x−4=4**

Maciess: Podnosisz stronami do kwadratu (to nie jest przejście równoważne) i rozwiązań może nieco przybyć. Właśnie po to jest ta dziedzina ustalana na początku. I należy sprawdzić czy rozwiązanie należy do dziedziny (lub analiza starożytnych). Generalnie zawsze trzeba rozpatrzeć te przypadek. Jak ktoś ma doświadczenie i widzi, że to drugie nie spełni to może pomija zapis tego. Ale generalnie trzeba umieć wytłumaczyć dlaczego to się pominęło. Myśle, że w szkole nauczyciel obciąłby ci punkty za nierozpatrzenie drugiego przypadku. Może wrzuć tutaj przykłady pomijania, bo może o coś innego Ci chodziło.

chichi: Chcesz sprawdzać kiedy wartość wyrażenia podpierwiastkowego wynosi −4. Skoro jest to pierwiastek stopnia parzystego, to czy może w ogóle takową wartość przyjmować?

Karolina: Pewnie chodzi o to, że zakładamy, że wyrażenie pod pierwiastkiem zawsze jest większe lub równe zero, więc nie ma możliwości, żeby było równe −4?

ICSP: Chodzi o to, że równań i nierówności nie można bezkarnie podnosić stronami do kwadratu. Dla przykładu: Równanie: x = 1 ma jedno rozwiązanie równe x = 1 natomiast podnosząc je do kwadratu dostaniesz: x² = 1 które ma już dwa rozwiązania: x = ± 1 Jak widzisz podniesienie równania do kwadratu w tym wypadku dodało Ci jedno rozwiązanie. Co do twojego rozwiązania: Podnosisz stronami do kwadratu(możesz to zrobić ponieważ obie strony są dodatnie): (√x−4)² = 4 Kwadrat nie znajduje się pod pierwiastkiem, więc nie korzystasz z wzoru √x² = |x|, tylko zwyczajnie znosisz pierwiastek z kwadratem dostając: x − 4 = 4 Odpowiadając na pytanie: "Dlaczego niektórzy nie rozpatrują drugiego przypadku?" Ponieważ go nie ma.

Karolina: Bardzo dziękuję Chciałam tylko jeszcze zapytać czy ewentualne (choć zbędne) rozpatrzenie tego drugiego przypadku nie stanowi błędu, jeśli na końcu tak jak ja to zrobiłam, je odrzucimy, ponieważ nie należy ono do dziedziny?

ICSP: Rozpatrzenie czegoś co powstało w wyniku błędu samo w sobie jest błędem.

Karolina: Dziękuję bardzo jeszcze raz.

Karolina: Zastanawiałam się jeszcze nad wzorami [latex] √x²=|x| oraz (√x)²=x. Skąd wynika taka a nie inna teoria? Po podstawieniu dowolnej liczby, mamy np.: √9²=√81=| 9| = 9 ⋁ −9, więc według mnie również: (√9)²=√9 * √9= √9 * 9= √81 = | 9 | = 9 ⋁ −9 Z góry dziękuję za wyjaśnienie moich wątpliwości, skąd wynika brak wartości bezwzględnej w drugim wzorze (na przykładzie pokazałam dlaczego nie rozumiem jego idei)

ABC: czy ty znasz w ogóle określenie pierwiastka arytmetycznego ? w każdym porządnym podręczniku do szkoły średniej jest

Karolina: Tak, po prostu myli mi się już, kiedy nakładamy wartość bezwzględną po obliczeniu pierwiastka, a kiedy nie. Czyli jeśli mamy np. √9= tylko i wyłącznie 9, a jeśli mamy np. √x²=3 to wtedy x=−3 ⋁ x=3

RysiO: Wartość bezwzględna liczby jest ZAWSZE nieujemna. Pierwiastek arytmetyczny wolno Ci wyciągać tylko z liczby nieujemnej. Weźmy √x²=|x|. Dlaczego tak jest? Otóż pierwiastek arytmetyczny nie może być liczbą ujemną, więc jest to pewne "zabezpieczenie". Możemy podstawić np. x=−5, bo (−5)²=25, a więc wyciągamy pierwiastek z liczby nieujemnej, ale nie wolno nam napisać, że √(−5)²=−5. Dzięki temu możemy uniknąć takich błędów. Weźmy teraz (√x)²=x. Wynika to z tego, że pierwiastek arytmetyczny narzuca nam nieujemność liczby x. Zatem w tym przypadku nie możemy podstawić x=−5, bo wyciągalibyśmy pierwiastek z liczby ujemnej.

chichi: Ona nie widzi różnicy pomiędzy stałą, a zmienną

Karolina: Bardzo dziękuję ♥

Karolina: Stała to liczba, a zmienna to niewiadoma