Wyprowadź zależność rekurencyjną I need help: Budujemy wieżę z klocków 1 × 2 w 3−kolorach oraz 2 × 2 w 2−kolorach o wymiarach 2 × n. Wyprowadź zależność rekurencyjną a następnie postać jawną na dwa sposoby, wykorzystując równanie charakterystyczne, a następnie funkcję tworzącą

wredulus_pospolitus: https://matematykaszkolna.pl/forum/403192.html

kat666: A_n=3A_n−1+11A_n−2 A₁=2 a₂=20

Mariusz: Ta sama rekurencja https://matematykaszkolna.pl/forum/408992.html

Mariusz: Mając równanie rekurencyjne z postacią jawną nie powinno być problemów mam jednak wątpliwości czy rekurencja zaproponowana przez wredulusa jest poprawnie określona W wątku do którego odnośnik podałem rozwiązana jest ta sama rekurencja co podał użytkownik kat666 tyle że z nieco innymi warunkami początkowymi Funkcją tworzącą tak się rozwiązuje równania rekurencyjne (na przykładzie rekurencji podanej przez kat666) A(x)=∑_n=1^∞ a_nxⁿ Rekurencja zachodzi dla n≥3 więc zaczynasz sumowanie od n=3 ∑_n=3^∞ a_nxⁿ=∑_n=3^∞ 3a_n−1xⁿ+∑_n=3^∞11a_n−2xⁿ ∑_n=3^∞ a_nxⁿ=3x(∑_n=3^∞ a_n−1xⁿ⁻¹)+11x²(∑_n=3^∞ a_n−2xⁿ⁻²) ∑_n=3^∞ a_nxⁿ=3x(∑_n=2^∞ a_nxⁿ)+11x²(∑_n=1^∞ a_nxⁿ) ∑_n=1^∞ a_nxⁿ−2x−20x²=3x(∑_n=1^∞ a_nxⁿ−2x)+11x²(∑_n=1^∞ a_nxⁿ) A(x)−2x−20x²=3x(A(x)−2x)+11x²A(x) A(x)−2x−20x²=3xA(x)−6x²+11x²A(x) A(x)−3xA(x)−11x²A(x)=14x²+2x A(x)(1−3x−11x²)=14x²+2x

	14x2+2x
A(x)=
	1−3x−11x2

	14x2+2x
A(x)=
	3   9   44   (1− x)2− x2− x2   2   4   4

	14x2+2x
A(x)=
	3−√53   3+√53   (1− x)(1− x)   2   2

14x2+2x		Aλ1x		Bλ2x
	=		+
3−√53   3+√53   (1− x)(1− x)   2   2		1−λ1x		1−λ2x

Aλ₁x(1−λ₂x)+Bλ₂x(1−λ₁x)=14x²+2x Aλ₁(1−λ₂x)+Bλ₂(1−λ₁x)=14x+2 Aλ₁−Aλ₁λ₂x+Bλ₂−Bλ₂λ₁x=14x+2 λ₁λ₂=−11 Aλ₁+11Ax+Bλ₂+11Bx=14x+2 Aλ₁+Bλ₂=2 11A+11B=14 Aλ₁+Bλ₂=2

	14
B=		−A
	11

	14
Aλ1+(		−A)λ2=2
	11

	14
Aλ1+		λ2−Aλ2=2
	11

11Aλ₁+14λ₂−11Aλ₂=22

	22−14λ2
A=
	11(λ1−λ2)

	14(λ1−λ2)−22+14λ2
B=
	11(λ1−λ2)

	22−14λ2
A=
	11(λ1−λ2)

	22−14λ1
B=−
	11(λ1−λ2)

	7		√53
A=		−
	11		583

	7		√53
B=		+
	11		583

	7		√53		3−√53
A(x)=(		−		)(∑n=1∞(		)n)+
	11		583		2

	7		√53		3+√53
(		+		)(∑n=1∞((		)n)
	11		583		2

	7		√53		3−√53		7		√53		3+√53
an=(		−		)(		)n)+(		+		)((		)n)
	11		583		2		11		583		2

kat666: ''W wątku do którego odnośnik podałem rozwiązana jest ta sama rekurencja co podał użytkownik kat666 tyle że z nieco innymi warunkami początkowym'' Bo kat666 się pomylił/a. Powinno być jak w linku: A₁=3 A₂=20

Mariusz: Jeśli chodzi o funkcję tworzącą to w definicji funkcji tworzącej zaczynamy sumować od pierwszego elementu który jest zdefiniowany Tutaj tym elementem jest a₁ więc naszą funkcją tworzącą jest A(x)=∑_n=1^∞a_nxⁿ Natomiast gdy wstawiamy szereg do równania rekurencyjnego zaczynamy sumować od pierwszego n dla którego rekurencja zachodzi tutaj zachodzi dla n≥3 Ciekawszym pytaniem niż to jak otrzymać postać jawną jest to jak otrzymać ten wzór rekurencyjny Czy użytkownik kat666 mógłby pochwalić się jak otrzymał to równanie rekurencyjne ?

kat666: Nie ma się czym chwalić. Wieżę o wysokości n można uzyskać na trzy sposoby: 1) do wieży o wysokości n−1 dokłada się mniejszy klocek w pozycji poziomej 2) do wieży o wysokości n−2 dokłada się dwa mniejsze klocki w pozycji pionowej 3) do wieży o wysokości n−2 dokłada się większy klocek . Każdą inna sytuację można sprowadzić do jednego z powyższych. Ze względu na kolory klocków sposoby te mnożę przez: 1) x3 2) x3x3 3) x2 i stąd: A_n=A_n−1x3+A_n−2x3x3+A_n−2x2 A_n=3A_n−1+11A_n−2