ciągi anonim123: Jak zrobić zaznaczone zadania? https://zapodaj.net/3f6145ecfa406.jpg.html

a7: 4.82 https://matematykaszkolna.pl/forum/405026.html

anonim123: A jak dojść do tego przekształcenia ln[1+1/n]ⁿ

Jerzy:

	n + 1		n		1		1
Bardzo prosto: .... = n*[ln		] = n*[ln(		+		) = n*ln( 1 +		)
	n		n		n		n

	1
= ln(1 +		)n
	n

a7: odejmujemy logarytmy

	n−1
n*ln
	n

dzielimy przez n n*ln[1+1/n] wprowadzamy n do potęgi liczby logarytmowanej zgodnie ze wzorem k*log_ab=log_b^k i mamy ln[1+1/n]ⁿ tutaj wzory na logarytmy https://matematykaszkolna.pl/strona/218.html

Jerzy: @7, popraw pierwszą linijkę

anonim123: A pozostałe przykłady? już nie mam czasu ich robić.

Jerzy:

	a
Nie "odejmujemy logarytmy", tylko korzystamy ze wzoru: lna − lnb = ln
	b

a7: aby odjąć logarytmy korzystamy z wzoru , nie rozumiem, nie widzę błędu

Jerzy: Wykorzystujemy wzór na różnicę logarytmów o tej samej podstawie.

a7: dalej nie jasno się wypowiadasz, odejmujemy logarytmy jest, moim zdaniem, poprawnie powiedziane...

anonim123: A co z pozostałymi przykładami?

a7: a są odpowiedzi czy tylko polecenie, żeby policzyć granice tych ciągów?

a7: 2.80 https://www.wolframalpha.com/input/?i=limes+sin%28n%21%29*n%2F%28n%5E2%2B1%29%2B2n%5E2%2F%283n%2B1%29*1%2F%281-3n%29

a7: 2.83 https://www.wolframalpha.com/input/?i=limes+ln%281%2B3%2Fn%29%2F%281%2Fn%29 (?)

a7: niestety nie umiem zrobić,

anonim123: tylko polecenie

anonim123: Może ktoś inny umie?

anonim123: o 15:00 mam kolokwium i nie wiem jak rozwiązać te zadania

getin: kojarzysz twierdzenie o 3 ciągach ?

a7: 2.83 korzystamy z tego, że lim_n→∞ (1+1/n)ⁿ=e

	ln(1+3/n)
limn→∞		=limn→∞ n*ln(1+3/n)=limn→∞ [ln(1+3/n)n/3)]3=
	1/n

=lim_n→∞ lne³=3

anonim123: getin tak

anonim123: A 2.80 i 2.81?

getin: to w 2.80 i 2.81 skorzystać warto z tego twierdzenia 2.80 biorąc pod uwagę pierwszą część tego ciągu, czyli

	n
(sin n!) *		to robisz np. tak:
	n2+1

−1 ≤ (sin n!) ≤ 1 zatem

	n		n		n
−1 *		≤ (sin n!) *		≤ 1 *
	n2+1		n2+1		n2+1

ponieważ

	n
lim −1 *		= 0
	n2+1

	n
oraz lim 1 *		= 0
	n2+1

	n
to lim (sin n!) *		= 0
	n2+1

więc liczysz granicę tego drugiego:

	2n		n		2n2		2
lim		*		= lim		= −
	3n+1		1−3n		1−9n2		9

	2
zatem lim un = −
	9

Jerzy: 12:11 , to jest źle rozwiązanie.

	3
... = limn→∞(1 +		)n = e3
	n

a7: @Jerzy tam jest jeszcze ln i wszystko się zgadza, tym razem się mylisz...

Jerzy: Masz rację, nie zauważyłem tego logarytmu , sorry ...

Jerzy:

	3
Niemniej jednak lim(1 +		)n/3 ≠ e3
	n

Jerzy:

	3
Krótko: .... = limn→∞ln(1 +		)n = limn→∞lne3 = 3
	n

anonim123: Jerzy to ile się równa?

Jerzy: Masz wyżej rozwiązanie.

anonim123: getin od tego momentu nie rozumiem włącznie więc liczysz granicę tego drugiego:

anonim123: Jerzy dzięki

anonim123: getin już rozumiem

anonim123: A 2.81?

anonim123: Nie wiem jak wykonać 2.81

Mila: 2.81

	2n		n+1		n		n*(−1)n		1
limn→∞		*cos(		−		*		=0+		*0=0
	2n2−1		2n−1		1−2n		n2+1		2

	2n		n+1
1)		→0 natomiast ciąg an=cos(		) jest ograniczony, to
	2n2−1		2n−1

	2n		n+1
ciąg :		*cos(		)→0
	2n2−1		2n−1

2)

	n		n*(−1)n		1
bn=		*		→−		*0=0
	1−2n		n2+1		2

n
	→0 a ciąg (−1)n− ciąg ograniczony
n2+1

Mila:

ABC: nie zaliczyła kolosa pewnie

anonim123: Dzięki

anonim123: Wydaje mi się, że zaliczyłam, ale czekam na odpowiedzi do niektórych zadań

anonim123: Dziękuję za pomoc kolokwium zaliczone na 3+

ABC:

6latek: Kiedy napisalem opuszczamy wartosc bezwzledna to PW odpisal ze jego pan profesoe mowil ze opuszczac to mozna ale spodenki Ale i tak nie wiem dalej jak to prawidlowo napisac