Suma wyrazów ciągu arytmetycznego Daniel: Jak to rozwiązać? Już znalazłem jakąś odpowiedź na to samo pytanie ale nie rozumiem całkowicie co się tam dzieje. Mógłby więc ktoś proszę rozwiązać to bez tyle skrótów myślowych? https://matematykaszkolna.pl/forum/240557.html Suma m początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego równa jest n, natomiast suma n początkowych wyrazów ciągu równa się m (m ≠ n). Znajdź sumę m + n początkowych wyrazów tego ciągu.

wredulus_pospolitus: A niby jakie 'skróty myślowe' zrobiła Eta To może inaczej −−− czego w jej rozwiązaniu nie rozumiesz

a7: https://matematykaszkolna.pl/strona/264.html oznaczenia: r to różnica ciągu arytmentycznego, a₁ pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego, a_m=(n−1)*r, a_n=(m−1)*r (to pewnie jest niezrozumiałe?) Suma n wyrazów oznaczona jest n S_n=m podobnie S_m=n (litery "pomieszane" tj pozamieniane, żeby było trudniej się "połapać")

	a1+an
z wzoru na sumę mamy S=		*n czyli
	2

	a1+(m−1)*r		a1+(n−1)*r
Sn=		*m=n i analogicznie Sn=		*n=m
	2		2

reszta to przekształcenia czyli mnożymy razy dwa obie strony obu sum i mamy [a₁+(m−1)*r]*m=2n [a₁+(n−1)*r]*n=2m tutaj Eta odjęła stronami (tak można−to chyba jest zrozumiałe?) i wyszło to , co wyszło .... i potem podzieliła przez (m+n) wyznaczyła r i obliczyła S_m+n

	a1+am+n
Sm+n=		*(m+n) (tutaj pewnie było niezrozumiałe skąd się wziął wyraz
	2

a_m+n=a₁+(m+n−1)*r czyli S_m+n wyszło =−(m+n) daj znać, co konkretnie jest niezrozumiałe

wredulus_pospolitus: @a7 a_m = a₁ + (m−1)*r a_n = a₁ + (n−1)*r Eta ma mały błąd w swoim rozwiązaniu, ale ostatecznie się 'zeruje' i wynik ma poprawny

a7: niestety u mnie chochliki literówki, które trochę utrudniają połapanie się

a7: a gdzie niby Eta ma błąd (która linijka bo nie widzę?)

wredulus_pospolitus:

	a + an		a+ a + (n−1)*r
Sn =		*n =		n −−−> 2m = a+ a + (n−1)*r
	2		2

analogicznie 2n = a+ a + (m−1)*r

wredulus_pospolitus: oczywiście: 2m = (a+ a + (n−1)*r)*n 2n = (a+ a + (m−1)*r)*m

wredulus_pospolitus: ale później 2a i −2a będziemy mieli w sumie S_m+n (a nie 'a' i '−a' ) Co właśnie nie wpłynie na końcowy wynik

a7: aaa, już rozumiem, tak u mnie chochlik na chochliku

a7: jeśli S_m=n i S_n=m to znaczy, że

a1+am		a1+an
	*m=n i		*n=m
2		2

a_m=a₁+(m−1)*r a_n=a₁+(n−1)*r czyli [2a₁+(m−1)*r]*m=2n i [2a₁+(n−1)*r]*n=2m teraz Eta odjęła stronami i wyszło [2a₁+(m−1)*r]*m−[2a₁+(n−1)*r]*n=2n−2m (2a₁+rm−r)*m −(2a₁+nr−r)*n=2(n−m) 2a₁m+rm²−rm−2a₁n−n²r+rn=2(n−m) 2a₁(m−n)+ r(m² −m −n² +n)=2(n−m) −2a₁(n−m) +r[(m+n)(m−n)+n−m)]=2(n−m) −2a₁(n−m)+r[n−m −(n−m)(m+n)]=2(n−m) −2a₁(n−m)+r(n−m)(1−m−n)=2(n−m) mnoże przez −1 dla ułatwienia obliczeń 2a₁(n−m) +r(n−m)(m+n−1)=−2(n−m) 2a₁+r(m+n−1)=−2

	−2(a1+1)
wyznaczamy r=
	m+n−1

obliczamy S_m+n S_m+n=

	a1+a1+(m+n−1)*r		−2(a1+1)   a1+a1+(m+n−1)*   m+n−1
=		*(m+n)=		*(m+n)=
	2		2

	2a1−2a1−2
=		*(m+n)=−(m+n)
	2

Eta: Hejjjjjjjjjj To po 6 latach podam takie rozwiązanie S_n= m_e*n gdzie m_e −− mediana , n −−ilość wyrazów w tym zadaniu ( by uniknąć kolizji oznaczeń) k−− mediana i mamy: Sn=k*n=m i Sm=k*m=n kn=m i km=n −−−−−−−−−−− −k(m−n)=m−n ⇒ k= −1 to S_m+n= k*(m+n) S_m+n=−(m+n) =============

a7: hejjjjj nic nie "kumam" przecież dla m wyrazów może być inna mediana niż dla n wyrazów

a7: ?

wredulus_pospolitus: a7 −−− ciąg arytmetyczny

Eta: Mediana taka sama ! ( bo ciąg arytmetyczny)

wredulus_pospolitus: Nie Etuś ... ciąg arytmetyczny −−− więc mediana będzie inna

	a1 + an
men =
	2

	a1 + am
mem =
	2

n ≠ m ... więc a_n ≠ a_m (przy braniu warunków zadania, o ile nie jest to zerowy ciąg) więc m_en ≠ m_em

wredulus_pospolitus: zauważ, że wyszło Ci: km = n oraz kn = m

	n		m		n
czyli k =		oraz k =		= (		)−1
	m		n		m

związku z tym k = 1 czyli n = m sprzeczność