zadanie z parametrem jaros: Dla jakich wartości parametru m ∈ R równanie (2m² + m – 1)x³ + (5 – m)x² – 6 x = 0 ma trzy różne pierwiastki, które tworzą ciąg arytmetyczny? Wyciągnałem x przed nawais i mam już jeden pierwistek, którym jest zero pozostałe warunki to 1) a≠0 2) Δ>0

	1		−1
Pojawia mi się problem ponieważ z a wychodzmi mi m≠ {−1,		} a z delty m∊R −
	2		7

ktos pomoze?

Saizou : Niech (x₁, x₂, x₃) to ciąg arytmetyczny teraz pierwiastek x=0 może być na 3 miejscach a) (0, x₂, x₃)→2x₂=0+x₃ b) (x₁, 0, x₃)→2*0=x₁+x₃ c) (x₁, x₂, 0)→2*x₂=x₁+0 Przy czym przypadki a oraz c obliczeniowo będą takie same

a7: @jaros a ile Ci wyszła Δ_m?

jaros: Jak mam obliczeniowo wykonać te przypadki

jaros: Nie rouzmiem a7 pytania napisalem chyba wyzej

a7: czy tam jest (5+m)x² czy (5−m)x²

jaros: (5−m)x2

a7: no mi dla (5−m)x² inna delta Δ=(5−m)²−4*(−6)(2m²−m−1)=49m²−34m+1 Δ_m=960=8√15 ?

jaros: (2m² + m – 1) zamiast + przepisujesz −

jaros: delta jest dobra

a7: ok, moment

a7: b)x₁+x₂ bierzemy wzory Viete'a

a7: B)x₁+x₃=−b/a=0 m=5

jaros: Co tu się stało?

a7: a) c) 0, x₁, x₂ x₁=0+r x₂=2r x₁+x₂=3r=−b/a =...... x₁*x₂=2r²=c/a=.....

a7: 22:37 rozpatrujemy przypadek b)

a7: tutaj trochę teorii https://matematykaszkolna.pl/strona/264.html

a7: jeżeli zero jest środkowym pierwiastkiem to pierwszy środkowy wyraz jest równy poprzedni plus następny przez dwa

	x1+x2
0=		x1+x2=0
	2

−b/a=0

	m−5
−b/a=		=0 m−5=0 m=5
	2m2+m+1

jaros: rozumiem ze to z tw sąsiadów ale jak 2x₂=x₁ wstawić do wzorów vietta?

a7: https://matematykaszkolna.pl/strona/1403.html napisałam 22:44

jaros: 2x₂=0+x₃ ale jak to jest obliczone?

a7: jak zero jest pierwsze to x₂=0+r a x₃=0+2r x₂+x₃=3r x₂*x₃=2r²

	m−5
3r=
	2m2+m+1

	−6
2r2=
	2m2+m+1

jaros: wyliczamy z dwóch równan m i r?

a7: no nie wiem może jest jakiś sposób z lepszym pomysłem

jaros: Czyli wie ktoś jak to rozwiązać? Bo ruzmiem jak zero jest na 2 miejscu ale co w przypadku 1 i 3 i czy wyniki sa sumowane czy zbierane w czesc wspolna?

wredulus_pospolitus: zaraz spojrzę

a7: rozwiązałam ten układ równań i wychodzi Δ₃=729 √Δ=27

	1
m1=−0,4 lub m2=
	11

?

wredulus_pospolitus: mamy trzy przypadki: 1) 0, x₁, x₂ wtedy (skoro to ma być ciąg) to x₂ = 2*x₁

	−b + √Δ		−b − √Δ
czyli		= 2*		−> 3√Δ = −b
	2a		2a

2) x₁ , 0 , x₂ wtedy x₁ = −x₂ czyli −(−b − √Δ) = −b + √Δ −> b = 0 3) x₁, x₂, 0 wtedy x₁ = 2*x₂ czyli −b = −3√Δ

jaros: Czy wiliczajac delte z parametrem m z równania wyjsciowageo otrzymam wyniki?

wredulus_pospolitus: Mnie się pytasz? Nie wiem nawet o co się pytasz tak naprawdę −−− ja nie analizowałem Twojego rozwiązania. Analizę wątku zakończyłem na poście z 22:01 I napisałem Ci co należy po prostu policzyć (bez bawienia się we wzoru Viete'a) aby mieć pewność, że trzy pierwiastki będą tworzyć ciąg arytmetyczny (na to dokładasz warunek Δ > 0 oczywiście).

wredulus_pospolitus: wyliczanie 'r' jest CAŁKOWICIE zbyteczne ... my 'r' znamy od początku: 1) 0, x₁ , x₂ −−−> r = x₁ − 0 = x₁ i dlatego x₂ = x₁ + r = 2x₁ 2) x₁ , 0 , x₂ −−−> r = 0 − x₁ = −x₁ i dlatego x₂ = 0 −x₁ = −x₁ 3) x₁ , x₂ , 0 −−−> r = 0 − x₂ = −x₂ i dlatego x₂ = x₁ − x₂ −−> 2x₂ = x₁ te wszystkie Twoje obliczenia są CAŁKOWICIE ZBYTECZNE

jaros: policzysz dla mnie 1 przypadek a ja dokończę resztę?

wredulus_pospolitus: ŹLE POLICZONA Δ Δ = (5−m)² + 24(2m² + m – 1) = 49m² + 14m + 1 = (7m+1)² 1) 3√Δ = −b ⇔ 3*|7m+1| = m−5 ⇒ brak rozwiązań i lecisz dalej

wredulus_pospolitus: a nie ... Ty miałeś/−aś dobrze policzoną Δ. To a7 się rypnęła.

a7: ale to nie ta delta którą Ty liczyłeś ja wyliczałam r i podstawiałam do wzorów Viete'a

a7: To Ty masz błąd

a7: a może nie, już nie wiem

wredulus_pospolitus: (1) wyjaśnienie: 3*|7m+1| = m−5 ma szansę być spełnione dla m ≥ 5, więc wtedy |7m+1| = 7m+1 (bo 7m+1 > 0) więc mamy: 3*(7m+1) = m−5 21m + 3 = m−5 20m = −8 −> m = −2/5 <−−− sprzeczność

jaros: Pomoże mi ktoś rozwiązać układ równian który napisał a7 o 23;05?

a7: ja zaraz napiszę

a7:

	m−5
3r=
	2m2+m−1

	m−5
r=
	3(2m2+m−1)

	−6
2r2=
	2m2+m−1

	−6
r2=
	2(2m2+m−1)

podstawiamy do r² er z pierwszego

(m−5)2		−6
	=
9(2m2+m−1)2		2(2m2+m−1)

wymnażamy na krzyż i po obliczeniach 2m²−20m+50=−108m²−54m+54 55m²+17m−2=0 Δ=729 √Δ=27

	1
m1=−0,4 m2=
	11

jaros: Ja wymazałem wyszko i otrzymałem 110x⁴ + 89x³ − 42x² − 19x + 2 = 0

jaros: wyznaczy teraz p/q?

jaros: o cholera ale tego jest masa do sprawdzenia

a7: nie

a7: wymnażamy 2(m−5)²(2m²+m+1)=−54(2m²+m+1)² dzielimy przez (2m²+m+1) zostaje 2(m−5)²=−54(2m²+m+1)

a7: oczywiście minus jeden zamiast +1

wredulus_pospolitus: jaros −−− to po cholerę upierasz się przy wersji 'na około'

jaros: Jezus jak ja cos takiego dosnute na maturze to sie popłacze

jaros: tak btw to jest przykładowe zadanie maturalne za 7 pkt

a7: a to ze zbioru zadań maturalnych?

jaros: Si

wredulus_pospolitus: bo podejście a7 o ile rozwiązalne jest to jest podejście mocno skomplikowanym zwłaszcza, że Δ = (7m+1)² aż wstyd nie skorzystać z tego. No ale rób jak se uważasz.

a7: lepiej zrobić metodą Wredulusa

a7: wczytaj się 23:26, ja już chyba zrozumiałam mogę wytłumaczyć jakby co

a7: 23:55 Wwredulus zrobił błąd − wychodzi m=1/11

a7: ?

a7: nie, ja pasuję, nie wiem

jaros: Ej czyli wynik to m ∊ {−5/2;1/11;5}?

jaros: podbijam

a7: u mnie m ∊ {−2/5; 1/11 ,5}

Mariusz: jaros jeśli chodzi o równanie z 4 mar 2020 18:18 to gdy Vax dał swoje równanie czwartego stopnia to podałem mu rozdział książki Sierpińskiego Zasady algebry wyższej (książka ta jest dostępna w pdf) http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon11/mon1110.pdf

a7: @Mariusz to jest zadanie na poziomie matury rozszerzonej, czy umiesz może podać rozwiązanie lub wyjaśnić rozwiązanie Wredulusa

wredulus_pospolitus: patrząc na to co robiłem: 1) brak rozwiązań 2) m = 5 3) m = −2/5 lub m = 1/11 ostatecznie, te trzy wartości m

wredulus_pospolitus: 1) 3*|7m+1| = m−5 <−−− brak rozwiązań 2) 5−m = 0 −−> m = 5 3) 3*|7m+1| = 5−m −−−> m = −2/5 lub m = 1/11

Mariusz: a7 Z równania 110x⁴ + 89x³ − 42x² − 19x + 2 = 0 dostanie te same pierwiastki co ty otrzymałaś ale otrzyma także pierwiastki które zerują mianownik i które trzeba odrzucić 110x⁴ + 89x³ − 42x² − 19x + 2=(55x²+17x−2)(2x²+x−1) Równanie czwartego stopnia można rozwiązać na poziomie matury W pewnym momencie przydatna może być trygonometria i zdefiniowanie funkcji odwrotnej Trzeba by połączyć wpisy tego wredulusa 3 mar 2020 23:26 3 mar 2020 23:47 3 mar 2020 23:55 3 mar 2020 23:58 Aby rozwiązać to zadanie wystarczy tylko rozwinąć pomysł z wpisu wredulusa z 3 mar 2020 23:26

Mariusz: 110x⁴ + 89x³ − 42x² − 19x + 2 = 0 Ja rozwiązałem to równanie w następujący sposób Dzielimy równanie przez 110

	89		42		19		2
x4 +		x3 −		x2 −		x +		= 0
	110		110		110		110

Chcemy uzyskać najpierw różnicę kwadratów a następnie iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych więc zaczynamy od grupowania wyrazów

	89		42		19		2
(x4 +		x3) − (		x2 +		x −		) = 0
	110		110		110		110

Wyrażenie w lewym nawiasie (po naszej lewej) dopełniamy do kwadratu zupełnego zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia na kwadrat sumy

	89		7921
(x4 +		x3+		x2) −
	110		48400

	7921		42		19		2
(		+		x2 +		x −		) = 0
	48400		110		110		110

	89		26401		19		2
(x2+		x)2−(		x2+		x −		)=0
	220		48400		110		110

42*440=18480 18480 + 7921 26401

	89		26401		19		2
(x2+		x)2−(		x2+		x −		)=0
	220		48400		110		110

Teraz zauważamy że wyrażenie w drugim nawiasie od naszej lewej jest trójmianem kwadratowym i będzie ono kwadratem zupełnym gdy jego wyróżnik będzie równy zero Gdybyśmy od razu liczyli wyróżnik to mogłoby się okazać że nie jest on równy zero dlatego trzeba wprowadzić parametr aby uzależnić od niego wyróżnik trójmianu kwadratowego Parametr wprowadzamy tak aby wyrażenie w pierwszym nawiasie od naszej lewej nadal był kwadratem zupełnym (znowu korzystamy z wzoru skróconego mnożenia)

	89		26401		19		2
(x2+		x)2−(		x2+		x −		)=0
	220		48400		110		110

	89		y
(x2+		x+		)2−
	220		2

	26401		89		19		y2		2
((y+		)x2 +(		y+		)x +		−		)=0
	48400		220		110		4		110

Δ=0

	8		26401		89		19
(y2−		)(y+		)−(		y+		)2=0
	110		48400		220		110

	26401		8		52802
y3+		y2−		y−		−
	48400		110		1331000

	7921		1691		361
(		y2+		y+		)
	48400		12100		12100

	42		2571		92512
y3+		y2−		y−		=0
	110		12100		1331000

	z
y=
	110

z3		42		2571		92512
	+		z2−		z−		=0
1331000		1331000		1331000		1331000

z³+42z²−2571z−92512=0 92512:2 46256:2 23128:2 11564:2 5782:2 2891:7 413:7 59:59 1 Do sprawdzenia mamy 2(5+1)(2+1)(1+1) =2*6*3*2=72 dzielników Sprawdzamy z=49 z³+42z²−2571z−92512=0 117649+100842−125979−92512=0 117649 100842 218491 125979 92512 218491 218491 − 218491 = 0 0 = 0 z₁=49

	49
y1=
	110

	89		y
(x2+		x+		)2−
	220		2

	26401		89		19		y2		2
((y+		)x2 +(		y+		)x +		−		)=0
	48400		220		110		4		110

49		26401
	+		=
110		48400

21560+26401		47961
	=
48400		48400

89*49		19
	+		=
220*110		110

4361		19*220		8541
	+		=
24200		24200		2420

2401		2*440		1521
	−		=
48400		4840		48400

	89		49
(x2+		x+		)2−
	220		220

	47961		8541		1521
(		x2 +		x +		)=0
	48400		2420		48400

√4'79'61=219 4 79|41*1 41 3861|429*9 3861 0 √15'21=3 9 621|69*9 621 0

	89		49
(x2+		x+		)2−
	220		220

	47961		8541		1521
(		x2 +		x +		)=0
	48400		2420		48400

	89		49		219		39
(x2+		x+		)2−(		x+		)2=0
	220		220		220		220

	89		49		219		39
((x2+		x+		)−(		x+		))
	220		220		220		220

	89		49		219		39
((x2+		x+		)+(		x+		))=0
	220		220		220		220

	13		1		7		2
(x2−		x+		)(x2+		x+		)=0
	22		22		5		5

(22x²−13x+1)(5x²+7x+2)=0

	13−9		1
x1=		=
	44		11

	13+9		1
x2=		=
	44		2

	−7−3
x3=		=−1
	10

	−7+3		2
x4=		=−
	10		5

Aby rozwiązać to równanie trzeciego stopnia które się pojawiło też nie trzeba było zgadywać pierwiastków wśród dzielników wyrazu wolnego Pomysł na równanie trzeciego stopnia polega na tym aby 1) wyrugować wyraz z x² przedstawiając wielomian trzeciego stopnia w postaci sumy potęg dwumianu 2) tak przekształcić wzór skróconego mnożenia na sześcian sumy aby przypominał on postać równania trzeciego stopnia które chcemy rozwiązać