wielomiany salamandra: Suma wszystkich współczynników wielomianu W(x)= (7x³−5x²−2x+8)⁵ stojących przy nieparzystych potęgach zmiennej x wynosi: Nie rozumiem dlaczego w odpowiedziach jest obliczany W(1) oraz W(−1), a nie po prostu dodanie tych współczynników przy x nieparzystych? Dlaczego brany jest W(1) oraz W(−1) skoro wynik powinien być dla zmiennej x, a nie konkretnej wartości? Przecież jakbym wziął W(2), to suma tych współczynników już by się różniła

a7: https://matematykaszkolna.pl/forum/62683.html

a7: https://matematykaszkolna.pl/forum/364876.html

a7: W(1)−W(−1) to podwojona liczba sumy współczynników przy nieparzystych potęgach zajrzyj do linków tam jest to pokazane nie dodajemy przy nieparzystych bo ich nie znamy masz piątą potęgę!

a7: np. (a−b)³=a³−2a²b+3ab²−b³ rozumiesz?

a7: tam oczywiście chochlik −3a²b

a7: np. też (3a²−2a)³=27a⁶−54a⁵+36a⁴−8a³

salamandra: No właśnie przeczytałem te dwa wpisy i nadal nie potrafię zrozumieć, dlaczego bierze się W(1) i W(−1)

a7: najpierw czy rozumiesz dlaczego nie da się dodać 7−2=5

salamandra: no tak, bo najpierw trzeba wykonać potęgowanie

a7: ano dlatego, że nasz wielomian jest do piątej potęgi i (po wymnożeniu) będzie miał postać 16807x¹5−................+32768 i nie ma sensu podnosić go i męczyć się z liczniem skoro można zauważyć że wielomian od jedynki odjąć wielomian od minus jedynki dadzą podwojoną sumę współczynników przy nieparzystej potędze

Blee: salamandra ... powiedzmy, że jeszcze w tym przypadku można by było wymnożyć i się 'bawić' w sumowanie czynników ale co by było gdybyś miał to wyrażenie podniesione do potęgi ¹⁷ a nie ⁵ Życzę powodzenia w wymnażaniu w takiej sytuacji

salamandra: "i nie ma sensu podnosić go i męczyć się z liczniem skoro można zauważyć że wielomian od jedynki odjąć wielomian od minus jedynki dadzą podwojoną sumę współczynników przy nieparzystej potędze" Czy jest to jakaś ogólna zasada, którą trzeba po prostu znać? Nie mógłbym na przykład wziąć W(2) oraz W(−3), nie działałoby to wtedy? Czy działałoby, ale po prostu byłoby więcej liczenia?

a7: teraz np. wczytaj się w drugi link i sprawdź na prostym przykładzie, że to prawda czyli np. W(x)=3x²−18x+67 N=−18 P=70 W(1)=52 W(−1)=88 W(1)−W(−1)=−36 −36/2=−18 i potem (7x³−5x²−2x+8)⁵ W(1)=8⁵=32768 W(−1)=(−2)⁵=−32 W(1)−W(−1)=32768−(−32)=32800 32800:2=16400 wczytaj się jeszcze raz w drugi link i daj znać

janek191: w(x) =a x³+ b x² + cx + d W(1) = a + b + c + d suma wszystkich współczynników oraz W(− 1) = − a + b − c + d Odejmujemy W(1) − W(−1) = [ a + b + c + d] − [ − a + b − c + d ] = 2 a + 2 c więc

W(1) − W(−1)
	= a + c − suma współczynników nieparzystych
2

janek191: W(x) = ( 7 x³ − 5 x² − 2 x + 8 )⁵ Mamy W(1) = ( 7 − 5 − 2 + 8)⁵ = 8⁵ W(−1) = ( − 7 − 5 + 2 + 8)⁵ = (− 2)⁵ więc

W(1) − W(−1)		85 − (−2)5
	=
2		2

salamandra: Dzięki, teraz troche jaśniej, jednak nadal mnie nurtuje, dlaczego trzeba wykonać aż taką kombinację, a nie na przykład już wziąć, wstawić 1, i obliczyć po prostu (7−2)⁵, w końcu dodaję tylko współczynniki przy nieparzystych potęgach

a7: ano dlatego, że nasz wielomian jest do piątej potęgi i (po wymnożeniu) będzie miał postać 16807x¹⁵−................+32768 i już będą inne współczynniki przy nieparzystych potęgach

a7: (przy parzystych też)

salamandra: No tak, ale parzyste mnie nie obchodzą i mówię o wstawieniu 1 na początek, przecież Wy też jak obliczacie w(1) i w(−1) to nie wymnażacie tej piątej potęgi w pierwszej kolejności

janek191: Dlatego liczy się W(1) i W(−1) aby nie wymnażać wyrazów wielomianu.

janek191:

W(1) + W(−1)		2 b + 2 d
	=		= b + d suma współczynników parzystych
2		2

salamandra: No to liczę W(1), i dlaczego na podstawie tego, nie mogę sobie dodać współczynników stojących przy nieparzystej potędze, czyli przy x³ (które zniknie po wstawieniu 1), oraz przy x, a te przy parzystych po prostu nie brać pod uwagę? Przepraszam, jeśli zbyt bardzo w to brnę, ale chcę to zrozumieć i pamiętać na przyszłość

Mila: Konkretny przykład: w(x)=a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀ w(1)=a₃+a₂+a₁+a₀ w(−1)=−a₃+a₂−a₁+a₀ w(1)+w(−1)=2a₂+2a₀=2*(a₂+a₀)− podwojona suma wsp. przy parzystych potęgach Od sumy wszystkich wsp. odejmujemy sumę wsp. przy parzystych potęgach x.

	w(1)+w(−1)
(1) W(1)−		=a3+a2+a1+a0−a2−a0=a3+a1
	2

albo tak: (2) w(1)−w(−1)=a₃+a₂+a₁+a₀−(−a₃+a₂−a₁+a₀)= =a₃+a₂+a₁+a₀+a₃−a₂+a₁−a₀=2a₃+2a₁=2*(a₃+a₁) ==================================================== W(x)= (7x³−5x²−2x+8)⁵ w(1)=(7−5−2+8)⁵=8⁵ w(−1)=(−7−5+2+8)⁵=(−2)⁵ wg(1)

85+(−2)5		215−25
	=		=214−24 − suma wsp. przy parzystych potęgach x
2		2

8⁵−2¹⁴+2⁴=2¹⁵−2¹⁴+2⁴=2¹⁴*(2−1)+2⁴=2¹⁴+2⁴= =2⁴*(2¹⁰+1) Lepiej wg (2)

W(1)−W(−1)		85−(−2)5		215+25
	=		=		=
2		2		2

=2¹⁴+2⁴= =2⁴*(2¹⁰+1)

janek191: W(1) − masz sumę wszystkich współczynników

salamandra: Dziękuję za pomoc @janek191, wiem, że W(1) to byłaby suma wszystkich, ale nie mogę zrobić tak, że W(1) = (7−5−2+8)⁵ i de facto pominąć te stojące przy parzystych?

janek191: Sprawdź czy czy tym Twoim sposobem otrzymasz ten sam wynik

salamandra: No nie otrzymam, bo już próbowałem , domniemam dlaczego to nie działa, skoro logicznie wydaje mi się to dobrze

Mila: A nie możesz przeczytać mojego wpisu?

Mila: Nie możesz tak zrobić, (20:52) .

salamandra: Rozumiem Twój wpis, jesli ktoś jeszcze byłby w stanie wytłumaczyć dlaczego nie mogę zrobić jak w 20:52, to już będzie temat wyczerpany

a7: a możesz zobaczyć wpis 20:02, co jest jak dodasz wspołczynnki przed podniesienieim do potęgi a co jest jak dodasz wspóczynniki po wymnożeniu (podniesieniu do potęgi) liczby te NIE są równe i o to się nam cały czas rozchodzi

salamandra: Czyli idąc tym tokiem myślenia, jak mam (2−6)², to najpierw powinienem to rozbić na 2²−24+6² = 4−24+36 = 16, czyli to samo, jakbym najpierw odjął, a potem podniósł do potęgi

a7: no w tym wypadku Ci wyszedł wynik niby ok (suma przy nieparzystych 2x−6 była 2) a powymnożeniu było 4x²−24x+36 suma przy nieparzystych była −24 więc NIE jest to to samo NIE są te liczby równe!

a7: więc NIE wyszedł Ci wynik ok

salamandra: No w sumie racja, bo ja tak naprawdę obliczając te (2−6)² to w cudzysłowie obliczyłem sumę "wszystkich" współczynników, więc w tym wypadku nie ma różnicy czy najpierw spotęguję, czy dodam/odejmę w nawiasie, a później spotęguję

a7: super! gratulacje!