W wielomianie w suma współczynników przy parzystych potęgach jest równa sumie ws Ilna: W wielomianie w suma współczynników przy parzystych potęgach jest równa sumie współczynników przy nieparzystych potęgach. Wykaż, że liczba −1 jest pierwiastkiem tego wielomianu. Oczywiście mogę to wykazać na wielomianie o konkretnym stopniu, ale tu nie jest powiedziane na na jakim, więc nie mam pomysłu. Dziękuję.

Benny: A to suma współczynników przy parzystych potęgach jak i nieparzystych potegach W (1)=2A W (−1)=A−A=0

Mila: W(x) =a_nxⁿ+a_n−1xⁿ⁻¹+ ... +a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀ W(1)−suma wszystkich współczynników wielomianu W(−1)=...................−a₃+a₂−a₁+a₀ W(−1) −wartość W(x) dla x=−1 P− suma wsp. przy parzystych potęgach N− suma wsp. przy nieparzystych potęgach W(1)+W(−1)=2P W(1)−W(−1)=2N −−−−−−−−−−−−− odejmujemy stronami 2W(−1)=2P−2N W(−1)=P−N=0⇔ liczba −1 jest pierwiastkiem W(x)