Sumy szeregow Zewu Jun: Wiadomo jest mi ze

1		1		1
	=		−
n(n+1)		n		n+1

Pytanie nr 1 Jak do tego dojsc ? Stosujac podobna technike mam zsumowac takie szeregi

	1		1		1		1
∑n=1 ∞		=		+		+		+....
	(n+3)(n+7)		4*8		5*9		6*10

	1		1		1		1
∑n=1 ∞		=		+		+		+.....
	n(n+1)(n+2)		1*2*3		2*3*4		3*4*5

Blee: drugi szereg:

1		A		B
	=		+		=
n(n+1)(n+2)		n(n+1)		(n+1)(n+2)

	A(n+2) + Bn
=
	n(n+1)(n+2)

Więc : A + B = 0 −> B = −1/2 2A = 1 −> A = 1/2 więc:

1		1		1		1
	=		(		−		)
n(n+1)(n+2)		2		n(n+1)		(n+1)(n+2)

jc: Po prostu odejmij ułamki. Drugie zadanie: https://matematykaszkolna.pl/forum/391727.html suma = 1/12 Zadanie pierwsze.

1		1		1		1
	=		(		−		)
(n+3)(n+7)		4		n+3		n+7

	1
suma =		( (1/3 − 1/7) + (1/4−1/8) + (1/5 − 1/9) + (1/6−1/10) + ... )
	4

	1		1		1		1		1
=		(		+		+		+		)
	4		3		4		5		6

(to nie jest dowód, ale raczej wskazówka)

jc: Blee, proponuję dwie inne sumy do policzenia:

	1
∑n=1∞
	n(n+1)(n+2)(n+3)

	n
∑n=1∞
	n4+n2+1

Blee: pierwszy szereg

1		A		B
	=		+
(n+3)(n+7)		n+3		n+7

A + B = 0 7A + 3B = 1/2 4A = 1/2 −> A = 1/8 B = − 1/8

1		1		1		1
	=		(		−		)
(n+3)(n+7)		8		n+3		n+7

Zewu Jun: Blee mam pytanie To co napisales w 1 linijce to nie jest klasyczny rozklad na ulamki proste ? Pytam bo wyzej tlumaczyles ten sam szereg Mozesz mi to wytlumaczyc dlaczego tak ? Pozdrawiam 6latek

Zewu Jun: Witam jc

jc: To nie jest rozkład na ułamki proste. Po prostu tak jest prościej. Jeśli wiesz, że a_n=b_n − b_n+1 i b_n →0, to ∑_n=1^∞ a_n = b₁. Dlatego zapisanie a_n w takiej postaci rozwiązuje zadanie.

Zewu Jun: jc Czytam teraz ksiazke szeregi liczbowe Marcin Kuczma Biblioteczka Matematyczna nr 40 tam wlasnie jest takie cwiczenie i chodzilo mi o to wyprowadzenie bo autor przyjmuje ze wszystkie te pojecia powinny byc znane zwlaszcza granice Potem beda kryteria zbieznosci .

Blee: Zewu − co do drugiego szeregu .... tutaj rozkładałem na ułamki proste: https://matematykaszkolna.pl/forum/391718.html