Proszę o pomoc w zadaniu Werve: Oblicz:

1		1		1		1
	+		+		+...+
2*3*4		3*4*5		4*5*6		98*99*100

Blee:

1		A		B		C
	=		+		+		=
(x−1)*x*(x+1)		x−1		x		x+1

	A*x(x+1) + B(x−1)(x+1) + Cx(x−1)
=		=
	(x−1)x(x+1)

	x2(A+B+C) + x(A−C) + (A−B−C)
=
	(x−1)x(x+1)

więc: A+B+C = 0 A − C = 0 A − B − C = 1 czyli: A = 1/2 ; C = 1/2 ; B = −1 więc:

1		1		2		1
	=		−		+
(x−1)x(x+1)		2(x−1)		2x		2(x+1)

więc:

1		1		1		1
	+		+		+ ... +		=
2*3*4		3*4*5		4*5*6		98*99*100

	1		1		2		1		1		2		1
=		(		−		+		+		−		+		+
	2		2		3		4		3		4		5

	1		2		1		1		2		1
+		−		+		+		−		+		+ ...
	4		5		6		5		6		7

	1		2		1
+		−		+		) = ile
	98		99		100

Werve: Co oznaczją A, B i C? I jaki jest wynik końcowy?

Werve: A, B i C rozumiem co oznaczają ale bylbym wdzięczny za końcowy wynik

xyz: ktorego fragmentu tutaj nie rozumiesz? sprobuje wyjasnic

Werve: Napisałem w drugim zadaniu nie ma odpowiedzi więc łatwo znaleźć

xyz: spytalem czego nie rozumiesz, a nie ze podam Ci wynik

Werve: Nie rozumiem od 3 równa się skąd coś takiego się wzięło

Werve: Przepraszam 4 równa się

xyz: ktory fragment to jest "4 równa się" bo nie moge go znalezc czy ten zapis jest jasny?

1		1		2		1
	=		−		+
(x−1)x(x+1)		2(x−1)		2x		2(x+1)

czy juz wczesniej cos nie tak? Ogolnie po co Blee rozbil to na 3 ulamki? Bo sie wiekszosc tej sumy skroci zostanie tylko poczatek i koniec

xyz: Ogolnie wszystko co zostanie to bedzie to:

	1		1		2		1		1		2		1
=		(		−		+		+		−		+		)
	2		2		3		3		99		99		100

i to jest wynikiem. Cala reszta sie skroci

Werve: Ten wcześniej już niejasny

Werve: Jak jest x²

xyz: no to jak masz:

1		A		B		C
	=		+		+
(x−1)*x*(x+1)		x−1		x		x+1

to przekształcam:

A		B		C		A*x*(x+1) + B(x−1)(x+1) + C*x*(x−1)
	+		+		=		=
x−1		x		x+1		(x−1)*x*(x+1)

	A*(x2+x) + B(x2−1) + C(x2−x)
=		=
	(x−1)*x*(x+1)

	Ax2 + Ax + Bx2 − B + Cx2 − Cx
=
	(x−1)*x*(x+1)

Teraz wyłączając x² przed nawias mam: x²(A+B+C) wyłączając samego 'x' przed nawias mam: x(A−C) reszta to wyraz wolny, więc tamten ułamek:

Ax2 + Ax + Bx2 − B + Cx2 − Cx		x2(A+B+C) + x(A−C) − B
	=
(x−1)*x*(x+1)		(x−1)*x*(x+1)

Teraz porownujemy lewa strone i prawa

	1
zeby to:
	(x−1)*x*(x+1)

	x2(A+B+C) + x(A−C) − B
bylo rowne temu:
	(x−1)*x*(x+1)

to jak widzisz mianowniki sa takie same, tylko liczniki trzeba porownac w liczniku ulamka (ten po lewej stronie) mamy "1" czyli zadnego x² tam nie ma, tak samo nie ma zadnego iksa czyli mozna by napisac

1		0x2 + 0x + 1
	=
(x−1)*x*(x+1)		(x−1)*x*(x+1)

bo to jest to samo wiec porownujemy tutaj mamy 0x², tam mamy (A+B+C)*x² więc A+B+C = 0 tak samo druga czesc 0x = x(A−C) zatem A−C = 0 i na koncu 1 = − B wiec rozwiazujac ten uklad rownan {A+B+C=0 {A−C=0 {−B=1 mamy ze B = 1, A = C wiec A = 1/2, B=1, C=1/2 jasne?

Werve: to jest jasne, a to poniezej możesz wytlumaczyc?

Blee: ale co poniżej?

1		1		1		2		1
	=		*(		−		+		)
2*3*4		2		2		3		4

1		1		1		2		1
	=		*(		−		+		)
3*4*5		2		3		4		5

1		1		1		2		1
	=		*(		−		+		)
4*5*6		2		4		5		6

1		1		1		2		1
	=		*(		−		+		)
5*6*7		2		5		6		7

itd. widzisz (w ten sposób zapisując) że większość tych ułamków się sama zredukuje

Blee: To zadanie to troszeczkę trudniejsza odmiana typowego (na poziomie liceum) zadania:

1		1		1
	+		+ .... +		= ....
1*2		2*3		99*100

Werve: Ale od wyliczenia a,b i c nie rozumiem

Blee: czego nie rozumiesz? nie rozumiesz zapisu:

1		1		2		1
	=		−		+
(x−1)*x*(x+1)		2(x−1)		2x		2(x+1)

Blee: Bo później jest to co napisałem o 19:26 ale 'w jednej kupie' A o 19:26 specjalnie tak a nie inaczej zapisałem (łącznie z tymi przerwami w nawiasach), aby było łatwiej Ci 'coś zauważyć'.

Blee: I jakbyś mógł − to zdradź nam swój poziom nauczania.

Werve: Liceum i tak tego zapisu nie rozumiem

Blee: skoro wyliczyliśmy: A = 1/2 B = −1 C = 1/2 to w takim razie mamy:

1

A

B

C

1/2

−1

1/2

=

+

+

=

+

+

=

(x−1)x(x+1)

x−1

x

x+1

x−1

x

x+1

	1		1		1
=		−		+		... a to dalej można zapisać jako =
	2(x−1)		x		2(x+1)

	1		2		1
=		−		+		... a także jako (i z tej postaci później
	2(x−1)		2x		2(x+1)

korzystamy)

	1		1		2		1
=		*(		−		+		)
	2		x−1		x		x+1

Blee: To było jako zwykłe zadanie, czy jakieś zadanie 'z gwiazdką'? Jeżeli zwykłe, to nauczycielowi powinno się przywalić w łepetynę, że bez wprowadzania rozkładu na ułamki proste daje takie zadanie (no chyba że wcześniej było zadanie o jakim pisałem o 19:27)

Werve: z gwiazdka ale podobne przykłady sa w ksiazce

Werve: Dobra ogarnalem to w tym momencie

Werve:

	80852
Czy może mi Pan powiedzieć czy		to dobra odpowiedz?
	1940400

xyz: https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+from+x%3D3+to+99+of+1%2F%28%28x-1%29*x*%28x%2B1%29%29

	1649
to jest wynik. czyli
	19800

jc: Tu masz rachunek: https://matematykaszkolna.pl/forum/391727.html Wynik j.w.

Blee: Werve −−− z całym szacunkiem, ale odpuść sobie zadania z gwiazdką, jeżeli masz takie problemy.