Rozwiąż wielomian Meumann: 21x³ − 64 x² − 64x − 64 = 0 Wiadome jest, że trzeba to zrobić metodą grupowania, a ostatecznie x =4. To, czego nie wiem, to od czego zaczynać przy wielomianach, w których jedynym rozsądnym czasowo rozwiązaniem jest grupowanie. Czy jest jakiś sposób albo jakiś algorytm aby ułatwić tego typu zadania?

ICSP: https://matematykaszkolna.pl/strona/121.html + https://matematykaszkolna.pl/strona/1401.html Twierdzenie pozwala znaleźć pierwiastek a schemat Hornera sprowadzić wielomian do wielomianu o stopień niższego.

Mila: 21x³ − 64 x² − 64x − 64 = 0 Z grupowaniem raczej ciężko, korzystamy z tw. Bezouta Wielomian : W(x)= 21x³ − 64 x² − 64x − 64 ma całkowite współczynniki, szukamy pierwiastka wśród dzielników liczby 64 W(±1)≠0, W(±2)≠0 W(4)=21*64−64*(16+4+1)=21*64−64*21=0 Wielomian jest podzielny przez (x−4) 21 −64 −64 −64 x=4 21 20 16 0 w(x)=(x−4)*(21x²+20x+16) 21x²+20x+16=0 Δ=400−4*64*21<0 brak rozwiązań równania

Mariusz: Pierwszym krokiem będzie przekształcenie równania w ten sposób aby współczynnik przy x² był zerowy Z wzorów skróconego mnożenia wiesz że wielomian trzeciego stopnia łatwo rozłożyć gdy jest przedstawiony w postaci sumy bądź różnicy sześcianów więc starasz się go przedstawić w tej postaci (suma bądź różnica sześcianów funkcji liniowej) Z trygonometrii wiesz że cos(3θ) można przedstawić za pomocą złożenia wielomianu trzeciego stopnia i funkcji cos(θ) Z trygonometrii korzystasz gdy równanie kwadratowe otrzymane podczas sprowadzania wielomianu trzeciego stopnia do sumy sześcianów nie będzie miało rzeczywistych pierwiastków Na równanie czwartego stopnia działa podobny pomysł Z wzorów skróconego mnożenia wiesz że wielomian czwartego stopnia łatwo rozłożyć gdy jest przedstawiony w postaci różnicy kwadratów więc starasz się go przedstawić w tej postaci Tutaj przydatne będą wzory skróconego mnożenia na kwadrat sumy bądź różnicy oraz wyróżnik trójmianu kwadratowego W przypadku równania czwartego stopnia możesz też wymnożyć dwa trójmiany kwadratowe w postaci ogólnej i porównać współczynniki ale sposób ten wymaga na ogół więcej obliczeń niż sprowadzenie do różnicy kwadratów

PW: Mamy proste zadanie − znaleźć miejsca zerowe wilomianu W. Sensowne jest sprawdzenie czy pierwiastkiem jest któryś z dzielników liczby 64 (twierdzenie o wymiernych pierwiastkach wielomianu). Szybko znajdujemy, że pierwiastkiem jest liczba 4. Jeżeli dodamy do tego, że W'(x) = 63x²−128x−64 > 0 dla wszystkich x∊R (bo Δ<0), to koniec zadania − funkcja W(x) jest rosnąca, a więc 4 jest jedynym miejscem zerowym.

PW: Oj, głupstwo napisałem, Δ>0, a więc W(x) nie jest rosnąca na całej osi. Tak łatwo się nie da.