Kilka pytan dotyczacych rekurencji liniowych niejednorodnych Robert: 1. Czym jest rownanie charakterystyczne? 2. Czy w jakiś sposób je wyznaczamy?

Adamm: mając rekurencję y_n+α₁y_n−1+...+α_ky_n−k=g(n) wielomianem charakterystycznym nazywamy wielomian x^k+α₁x^k−1+...+α_k

Robert: Okej rozumiem, a mając równanie charakterystyczne i wyraz wolny jak mam wyznaczyc rozw. szczególne przykład: f(n)=2*3ⁿ x²−5x+6=0 jak wyznaczyć rozw. szczególne? bo mam napisane: Jeżeli f(n)=γ*βⁿ szukamy rozw. szczególnego postaci: an⁽²⁾=A*βⁿ+nⁱ gdzie i jest krotnościa β jako pierwiastka rownania char. Jezeli β nie jest pierwiastkiem to i=0 an⁽²⁾=A*βⁿ I teraz nie wiem czym jest pierwiastek rownania charakterystycznego, i o co chodzi z ta krotnoscia.

Robert: wyliczylem ze an⁽²⁾=A*3ⁿ*n ale nie mam pomyslu jak wyznaczyc te A

Robert: probujac wyznaczyc to A wyszlo mi ze 9A=9A czyli 0=0 wiec nie wiem co zrobic. podstawiajac ze A=0 wychodzi mi ze an⁽²⁾=0 ale wiem ze A=/=0 wiec jesli wychodzi 0=0 to co robic CHYBA ze cos zle licze, prosze o pomoc

Mila: Napisz zadanie, pomogę.

Pytający: a_n=5a_n−1−6a_n−2+2*3ⁿ (0) Równanie jednorodne: a_n−5a_n−1+6a_n−2=0 (1) Równanie charakterystyczne równania (1): r²−5r+6=0 // 119, 143 (r−2)(r−3)=0 (2) Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego (1): a_n^(j)=A*2ⁿ+B*3ⁿ f(n)=2*3ⁿ i 3 jest jednokrotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego (2), więc szukamy rozwiązania szczególnego postaci: a_n^(s)=C*n¹*3ⁿ Podstawiasz do równania (0): C*n*3ⁿ=5C*(n−1)*3ⁿ⁻¹−6C*(n−2)*3ⁿ⁻²+2*3ⁿ 9Cn=15C(n−1)−6C(n−2)+2*9 C=6 a_n^(s)=6n*3ⁿ Stąd rozwiązanie ogólne równania (0) to: a_n=a_n^(j)+a_n^(s)=A*2ⁿ+B*3ⁿ+6n*3ⁿ=A*2ⁿ+(B+6n)*3ⁿ W zależności od podanych a₀, a₁ wyznaczysz A, B i otrzymasz rozwiązanie szczególne dla podanych warunków początkowych.

Robert: w tym momencie przez co podzielilismy 2 strony aby otrzymac dalszy wynik? C*n*3n=5C*(n−1)*3n−1−6C*(n−2)*3n−2+2*3n

Pytający: Przez 3ⁿ⁻².

Robert: ja podzielilem przez n*3ⁿ tez mozna?

Robert: Mam kolejne pytanie: czy wyznaczaniu z wart. początkowych a₀,a₁ to a₀ tyczy się np. A a a₁ tyczy się B? czy jak to jest

Mila: a_n=A*2ⁿ+(B+6n)*3ⁿ a₀=? a₁=? Nie widzę w tym gąszczu komentarzy. Napisz.

Robert: pytam w ogólnym przypadku

Mila: Układasz układ równań. Będę po 20.

Mila: a₀=A*2⁰+(B+6*0)*3⁰ a₁=A*2¹+(B+6*1)*3¹