ciag
Sawa: | | 4 | |
Dany jest ciag a0=1 oraz an+1=log3(3√an3+1)+ |
| . Wykaż ze ten ciag jest zbiezny. |
| | 3 | |
Tam jest (a
n3+1)
1/3
2 sie 22:58
mat: Pokaż ze ciąg jest rosnący i ograniczony z góry (przez 2, i to wlasnie jest jego granica)
2 sie 23:17
Sawa: no ale jak wiem ze taki jest schemat ale jak to pokac ze jest rosnacy
2 sie 23:19
mat: no co to znaczy, ze rosnący? ze a
n+1>a
n
czyli ze
2 sie 23:21
Sawa: czemu wziłaes an?
2 sie 23:23
mat: an+1 jest wyrażony za pomocą an, więc przy pokazaniu, że an+1>an warto z tego
skorzystać (zostaje tylko jedna zmienna − an)
2 sie 23:24
Sawa: nie rozumiem czemu nie bierzesz a
n+1
2 sie 23:27
2 sie 23:28
Sawa: napisałes log3(an3+1)1/3+4/3 >an nie wiem skad to?
2 sie 23:31
kochanus_niepospolitus:
Bo przecież:
an+1 = log3( (an3+1)1/3 ) + 4.3
2 sie 23:34
kochanus_niepospolitus:
więc:
a
n+1 > a
n ⇔ log
3..... + 4/3 > a
n ... rozumiemy
2 sie 23:35
Sawa: ok a ak wykazać to
1/3log3(an3+1)+4/3>an
2 sie 23:37
kochanus_niepospolitus:
no kombinuj ... to już Twoje zadanie
2 sie 23:39
Sawa: No wiem że moje ale tak można napisac kazdemu
2 sie 23:47
mat: troche nieładnie z twojej strony, no zacznij cokolwiek rozpisywać!
2 sie 23:49
kochanus_niepospolitus:
Jednym słowem chcesz gotowca bo sama nic nie zrobisz, tak
2 sie 23:49
Sawa: log3(an3+1)>an−4 ale nie wiem moze podpowiedz?
2 sie 23:56
mat: masz pokazać, że log3(x3+1)+4>3x, dla 1≤x<2
2 sie 23:57
2 sie 23:58
Sawa: czemu x nalezy do przezdziału [1,2) ?
3 sie 00:00
mat: bo pytanie było krótkie i na temat, tutaj są etapy i chcemy zebys sama zaliczyla chociaz jeden
z nich.
Skoro robisz zadania, tzn. ze kiedys z czegos takiego sie będzie trzeba gdzies rozliczyc
i kto pomoze wtedy?
3 sie 00:00
mat: bo to nam wystarczy, (powiedziałem ci, że an<2 dla każdego n ) <−−−to tez trzeba pokazac,
mozesz nawet od tego zacząć
3 sie 00:00
mat: jak cos, to indukcja sie przyda!
3 sie 00:02
Sawa: a skąd to ze an<2 ?
3 sie 00:02
mat: no masz to pokazac, czytasz co pisze?!
3 sie 00:02
Sawa: ale skad nagle 2
a nie np 3 albo 1.5
3 sie 00:04
mat: jeżeli granica istnieje to wynosi jakieś g, policzmy je
3g=log
3(g
3+1)+4
i widać, że g=2 spełnia
3 sie 00:08
mat: i teraz trzeba pokazać, ze ta granica istneiej, czyli ze
an+1>an oraz an<2 dla każdego n
3 sie 00:09
Sawa: Ok a jeśli bylo sprawdz czy jest zbieżny to tez tak można?
I jak wykazć tę nierówność log3(x3+1)+4>3x w przedziale [1,2)
3 sie 00:13
mat: zeby pokazać, że ciąg rekurencyjny jest zbieżny NAJCZĘSCIEJ pokazuje sie, ze:
1) jest monotoniczny
2) jest ograniczony
to przez co jest ograniczony, wynika najczęsciej z policzenia granicy jaką by miał gdyby był
zbiezny
3 sie 00:16
Sawa: ok to jak wykazać tę nierównoś
3 sie 00:18
mat: Miałaś pochodne?
3 sie 00:21
mat: bo jakby y=log3(x3+1)−3x+4
to masz pokazać, że y>0 dla x∊[1,2)
Pokażemy ze nawet od 0 tak jest, czyli dla x∊[0,2)
y(0)=log31−3*0+4=4>0
y(2)=log39−3*2+4=2−6+4=0
więc wystarczy pokazać, że y jest malejaca dla x∊(0,2)
to będzie oznaczało, ze y>0 dla x∊[0,2)
3 sie 00:26
Sawa: No ale jak sprawdzic czy maleje bo pochodna wyszła taka
| 3 x2 | |
| − 3 |
| x3 log(3) + log(3) | |
3 sie 00:37
mat:
y'(0)=−3
| | 3*4 | | 3 | |
y'(2)= |
| −3= |
| −3<0 |
| | 8ln3 | | 2ln2 | |
spróbuj pokazać, że ogólnie y'(x)<0 dla x∊(0,2) nie jest to trudne!
3 sie 00:40
mat: wolphram ci działa, to świetnie!
3 sie 00:40
mat: otóż taka uwaga, wolfram pisze log na ln
3 sie 00:41
Sawa: nie widze skąd y'(x)<0
wolfram to strona taka
3 sie 00:46
mat: różysz coś móżdzkiem dzis?
juz naprawde wszystko masz na tacy, zostawilem ci wisienke!
3 sie 00:48
mat: ruszysz*
3 sie 00:49
Sawa: a moze podpowiedz jak wykazać że y'(x)<0
3 sie 00:55
mat: no napisałem ci, że na krancach jest istonie mniejsza od zera,
problemy mogą być ewentualnie w ekstremum y' (o ile jest) (w przedziale (0,2) )
3 sie 00:57
Sawa: nie wiem czemu x2<(x3+1)ln3
3 sie 00:57
mat: przeczytaj co napisałem wyżej i sie zastanów
3 sie 01:00
Sawa: gdyby to był przedzial (1,2) to by było łatwiej
3 sie 01:02
mat: moze byc (1,2) bo ten potrzebujemy, jak ci ''prosciej"
3 sie 01:02
Sawa: no to w tym przdziale ta nierowność x2<(x3+1)ln3 jest zwsze spelniona
czyli jest on ograniczony przez 2, a monotoniczność jak pokazć?
3 sie 01:04
mat: to wszystko to była monotonicznosc..
idz dziewczyno spać prosze!
3 sie 01:06
Sawa: a nie ograniczoność an<2 ?
3 sie 01:08
mat: przeczytaj to sobie jutro na spokojnie! ja ide spac, powodzenia
3 sie 01:10
Sawa: No ale korzystalismy z tego ze an<2 a to jest ograniczoność czy sie mylę?
3 sie 01:15
kochanus_niepospolitus:
Dlaczego Tobie gotowca nie chciałem dać (a na którego tak liczysz) ... bo w momencie w którym
zadajesz takie pytania (jakie zadajesz) to pokazujesz, że KOMPLETNIE nie rozumiesz co się
pisze, czyli jeżeli sama nie wymęczysz zadania to nie ma bata, abyś to zrozumiała.
3 sie 08:45
3 sie 08:52
kochanus_niepospolitus:
Nie wiem, natomiast po Twoich wpisach o 23:27 i 23:31 miałem pewność, że Ty nie masz bladego
pojęcia o co chodzi.
Więc po wpisie 23:37 widziałem, że chcesz gotowca. Gotowca, którego przepiszesz bezmyślnie i
nic to nie zmieni.
3 sie 09:11
3 sie 09:38
Sawa: A może wróćmy do problemu ..............
3 sie 09:39
3 sie 09:44
kochanus_niepospolitus:
Nie wiem skąd masz te zadania, ale natychmiast można zauważyć, że są one poza Twoim poziomem
wiedzy.
3 sie 09:45
Sawa: Ludzie nie kłóćie się, nie kazdy jest ideałem i wszystko wie, więc po to jest forum chyba
3 sie 09:49